H160. A la chaîne et en boucle
On considère la liste (L) des cinquante premiers nombres premiers 2,3,5,….,227,229.
Q1 Prouver qu’on sait trouver dix nombres premiers distincts p1,p2,..,p10 choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2pi et du suivant pi+1 est un carré parfait m2i pour i = 1,2,..,9 (i.e 2pi + pi+1 = m2i)
Pour les plus courageux : déterminer la plus longue suite de k nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que 2pi + pi+1 = m2i pour i = 1,2,…,k – 1.
Q1 :
Il existe beaucoup de listes contenant au moins dix nombres premiers, mais il en existe peu qui contiennent exactement dix nombres premiers.
Les voici :
Les plus longues listes possible sont de longueur 14, les voici :
Joint à ce fichier, vous trouverez un programme Excel VBA donnant toutes les listes possibles l’idée de ce programme est la suivante :
A partir d’un nombre premier de départ dans la liste, on teste dans l’ordre l’existence d’un suivant. Ensuite, si l’existence s’avère vraie, on reprend le nombre de départ et on teste à nouveau l’existence d’un éventuel nombre premier différent du (ou des) précédent(s). Et on continue jusqu’à épuisement des possibilités.
Cela donne une (ou des) liste(s) de profondeur 2.
On poursuit les tests dans les différentes profondeurs jusqu’à épuisement, et le programme se termine en donnant la (ou les) listes de longueur maximale.
Procédure pour utiliser le programme :
Dans « Feuil1 » choisir un nombre premier et cliquer sur « OK »
Dans Feuil2 » apparait alors une (ou des) liste(s) de profondeur 2
Cliquer sur « Générer » pour faire apparaître toutes les listes
…………
Cliquer sur « RAZ » pour nettoyer la fenêtre si vous voulez tester un autre nombre premier.
Q2 Prouver qu’on sait trouver huit nombres premiers distincts q1,q2,..,q8 choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2qi et du suivant qi+1 est un carré parfait ni2
pour i = 1,2,..,8 (i.e 2pi + pi+1 = n2i et par convention, p9 = p1) Pour les plus courageux : déterminer le plus grand nombre possible k de nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que 2pi + pi+1 = n2i pour i = 1,2,…,k avec par convention pk+1 = p1.
En utilisant les listes disponibles de la question Q1, on peut facilement répondre à la question Q2, voici des les listes de longueur 8 que l’on peut mettre sur la circonférence d’un cercle (elles sont surlignées en jaune):
Cette liste n’est pas exhaustive car elle a été constituée à partir des listes de longueur maximale.
Dans le programme, pour cette question, j’ai rajouté en « Feuil2 » une action permettant de définir toutes les listes pour une profondeur (longueur) donnée, et de tester, pour cette profondeur, si on peut mettre la liste sur un cercle :
En testant toutes les profondeurs supérieures à 8 sur tous les nombres premiers, je n’ai trouvé aucune liste satisfaisant au critère demandé.
La plus longue liste contient donc au plus 8 éléments.
Dans l’exemple ci-dessus, pour une liste comment par 19, il n’y avait qu’une seule liste qui apparaissait.
Or en utilisant le « choix de la profondeur » (ici 8), il apparait en fait deux listes.
Dans les cellules P1 et Q1 sont écrit les numéros des colonnes des listes recevables pour la profondeur choisie.
ANNEXE : toutes les listes de longueur maxi .
