A423. Association unitaire
Solution proposée par Pierre Leteurtre
Sur la suite de nombres entiers A1, A2, A3, ... An, on définit les fonctions
Pn = A1 x A2 x A3 ... An (produit des nombres) SIn = 1 / A1 + 1 /A2 + 1 /A3 … + 1 / An (somme des inverses)
et SCn = SIn + 1 / Pn (somme complète)
La relation An+1 = Pn + 1 entraîne SCn+1 = SCn
En effet : SCn+1 = SIn + (1 / An+1) + (1 / (Pn x An+1) = SIn + (1 / (Pn +1)) + (1 / (Pn x (Pn +1)) = SIn + (Pn +1) / (Pn x (Pn +1))
= SIn + 1 / (Pn)
= SCn
Donc si SCn = 1 et An+1 = Pn + 1 , on a aussi SCn+1 = 1
SC1 = 1 a pour solution A1 = 2
On obtient donc A2 = 2 + 1 = 3 A3 = 2 x 3 + 1 = 7 A4 = 2 x 3 x 7 + 1 = 43
A5 = 2 x 3 x 7 x 43 + 1 = 1.807
A6 = 2 x 3 x 7 x 43 x 1807 + 1 = 3.263.443 Les nombres A1, A2, A3, A4 et A6 sont premiers.
Mais A5 = 13 x 139
Il n'y a aucune autre solution pour SC2 = 1, SC3 = 1 et SC4 = 1 Par contre, en examinant les combinaisons de 5 nombres premiers : (2, 3, 11, 13, x) est éliminée parce que SC4 >1
(2, 3, 11, 17, 19), (2, 3, 11, 17, 23), jusqu'à (2, 3, 11, 17, 61) : SC5 passe sans transition de >1 à <1 (2, 3, 11, 19, 23), jusqu'à (2, 3, 11, 19, 47 : même chose
(2, 3, 11, 23, 29), (2, 3, 11, 23, 31) : on trouve la seule autre solution à 5 nombres qu'on étend à 6 nombres par la relation A6 = P5 + 1 = 2 x 3 x 13x 17 x 31 + 1 = 47059
et 47059 est premier
Le nombre cherché est alors 2 x 3 * 13 * 17 * 31 * 47059 = 2 214 502 422
Il n'existe pas d'autre solution à 6 nombres premiers. Pour vérifier cette affirmation, un programme informatique a examiné les 66 combinaisons de 5 nombres premiers telles que SC5 <= 1 avec A6 = 0, et SC6 > 1 avec A6 égal au plus petit nombre premier > A5 .
Le programme a calculé la valeur X = (P5 +1) / (P5 x (1 – SI5)) qui assurerait SC6 = 1. Aucune des valeurs de X n'est entière sauf celle de la combinaison (2, 3, 13, 17, 31).
