Localiser les points Z et P dans le champ avec une approximation inférieure à un mètre sur chacune des positions de Z et de P

I151. Le périple de Zig

Zig et Puce sont en deux points Z et P à l'intérieur d'un champ (bords et sommets exclus) qui a la forme d'un triangle équilatéral ABC de 350 mètres de côté. Zig décide de faire un trajet qui le mène respectivement sur les bords BC, CA et AB du champ (sommets A, B et C exclus) puis il va à la rencontre de Puce avant de revenir à son point de départ. A l'issue de son périple qui est le plus court possible, la distance qu'il a parcourue est de 1275 mètres. Localiser les points Z et P dans le champ avec une approximation inférieure à un mètre sur chacune des positions de Z et de P.

Solution de Claude Felloneau

Réponse : à 1 mètre près, Z ≈Z′où Z’ est le point de la hauteur du triangle ABC issue de A tel que

=1

′ Z

A , et P≈P′où P’ est le point de la hauteur du triangle ABC issue de C tel que CZ′=1.

Zig part du point Z situé dans le triangle équilatéral ABC, rejoint le bord BC en Q, puis le bord CA en R puis le bord AB en S, rejoint Puce en P et revient à son point de départ Z.

La longueur du trajet effectué est : ZQ+QR+RS +SP+PZ. On note respectivement :

D, P1, R1, S1 les symétriques de A, P, R, S par rapport à (BC), F, P2, S2 les symétriques de B, P1, S1 par rapport à (CD), E, P3 les symétriques de C et P2 par rapport à (DF).

On a alors QR1

QR= , RS =R₁S₁=R₁S₂, SP=S₁P₁ =S₂P₂ =S₂P₃

Donc : la longueur du trajet est ZQ+QR₁+R₁S₂ +S₃P₃ +PZ. Z et P étant fixés, le trajet est minimum lorsque

3 3 2 1

1 RS S P

QR

ZQ+ + + est minimum c’est-à-dire lorsque Z, Q, R1, S2, P3 sont alignés dans cet ordre et la distance parcourue est alors : d =ZP₃ +PZ =1275.

Comme Z et P sont dans le triangle ABC, P3 dans le triangle DFE, ZP₃ ≤ZE. De plus, ZP≤350, donc ZE≥d−350=925.

Z appartient donc au domaine AIJ où I et J sont les points d’intersection du cercle de centre E et de rayon 925 avec [AB] et [AC] respectivement. En posant a=AI , on a AJ ≤a et

3 i 350 ) 700 ( e

700 ) 350 ( e 700 e

) 350 (

925=EI = −a ⁱ³ − ⁻ⁱ³ = −a − ⁻²ⁱ³ = −a +

π π

π

. On en déduit a=700−25 781<1,4< 3

Ainsi Z est à l’intérieur du triangle équilatéral AKL de côté 3 donc à l’intérieur du disque ouvert de centre Z’ et de rayon 1.

De façon analogue, ZP₃ ≤AP₃ donc, à un mètre près, P₃ =P₃′ où P′₃ est le symétrique de Z’ par rapport au milieu de [CD].

Ainsi, P est dans le disque ouvert de centre P′ et de rayon 1.

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B C

A

D F

E Z

P Q S R

R1

P3

S2