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G246. Les tas de cailloux du sapeur Camember

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Academic year: 2022

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G246. Les tas de cailloux du sapeur Camember

Premier calcul

Le résultat est égal au développement de−1+

n

Y

i=1

1 + 1

i

.Après simplification téléscopique, il vautn.

Deuxième calcul

Montrons par récurrence que le résultat est indépendant de la séquence des partages et vauttn= n(n−1)2 .

Pourn= 2, un tas de 2 cailloux ne peut être partagé qu’en 2 tas d’un caillou chacun et la somme vaut donc 1 =t2.

Soitn>3, supposons le résultat démontré pourk= 2. . . n−1, et partageons un tas dencailloux en deux tas dem>1 cailloux et den−m>1 cailloux ; en utilisant l’hypothèse de récurrence la somme vaut alors

– n−1 +tn−1 sim= 1 oun−1 – m(n−m) +tm+tn−msinon

Dans les deux cas cette somme vaut bientn.

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