Les tas de cailloux du sapeur Camember
Problème G246 de Diophante
Après avoir creusé son 2010ième trou, le sapeur Camember a devant lui un gros tas de 2010 cailloux qu'il a scrupuleusement numérotés de 1 à 2010. Il considère tous les tas de cailloux possibles constitués de 1,2,3,...,k,...2010 cailloux et calcule pour chaque tas le produit des inverses des nombres inscrits sur les cailloux. Aidez-le à calculer la somme de tous ces produits avant qu'il n'attrape une très grosse migraine avec les 22010 - 1 tas qu'il s'apprête à inventorier.
Satisfait de la solution que vous lui avez donnée et qui lui a fait gagner beaucoup de temps, avant de creuser son 2011ième trou, le sapeur Camember se divertit en partageant le tas des 2010 cailloux en deux tas plus petits puis chacun de ces tas en deux autres tas de plus petite taille et ainsi de suite... Chaque nouveau tas a au moins un caillou. Il s'arrête quand il obtient 2010 tas d'un caillou chacun. A
chaque partage d'un tas, il calcule le produit des nombres de cailloux contenus dans les deux tas qui résultent du partage et il additionne tous les produits ainsi trouvés au cours des partages successifs. Pour quelle séquence des partages, la somme des produits ainsi calculés est-elle : 1) maximale ? : 2) minimale ?
Solution
1) Intéressons nous aux tas qui ne comprennent que des cailloux de rang inférieur à une valeur n et mettons en évidence dans un tableau : les parties de {1, n} et les termes de la somme à calculer.
1 2 3 4 poids
0 - - - - 1 1 1 1 1
1 o - - - 1 1 1 1 1
2 - o - - 1 1/2 1 1 1/2
3 o o - - 1 1/2 1 1 1/2
4 - - o - 1 1 1/3 1 1/3
5 o - o - 1 1 1/3 1 1/3
6 - o o - 1 1/2 1/3 1 1/6 7 o o o - 1 1/2 1/3 1 1/6
8 - - - o 1 1 1 1/4 1/4
9 o - - o 1 1 1 1/4 1/4
10 - o - o 1 1/2 1 1/4 1/8 11 o o - o 1 1/2 1 1/4 1/8 12 - - o o 1 1 1/3 1/4 1/12 13 o - o o 1 1 1/3 1/4 1/12 14 - o o o 1 1/2 1/3 1/4 1/12 15 o o o o 1 1/2 1/3 1/4 1/12
A chaque partie, mise en évidence (colonnes 2, 3, 4, 5), correspond une écriture binaire inversée relative à un entier écrit en première colonne (en décimal). Par
ailleurs, il est bien commode d’intégrer, pour l’instant, la partie vide.
Les lignes de 2k-1 à 2k – 1 diffèrent des 2k-1 premières par la kième colonne où le facteur 1/k apparaît. En notant Sk la somme des poids de 0 à 2k – 1, on constate que Sk = Sk-1 (1 + 1/k). Par récurrence, Sk = k + 1, du fait que S1 = 2.
En conclusion, la somme cherchée vaut 2010.
2) Le divertissement du sapeur Camember se modélise selon un arbre. Chaque nœud représente un tas et est affecté d’un poids égal au nombre de cailloux du tas et, autant que faire se peut, chaque nœud possède deux fils relatifs à son partage en deux tas.
Appelons arbre de dislocation (Ad) un arbre binaire entier (0 ou 2 fils), dont les feuilles sont affectées du poids 1 et les autres nœuds de la somme des poids des nœuds suivants. Ainsi si on supprime la racine d’un Ad il reste deux Ad disjoints.
A chaque nœud associons la somme de tous les produits obtenus en multipliant les poids de toutes les paires de frères de l’arbre et montrons (par récurrence) que cette somme ne dépend que du poids p du nœud considéré et vaut p(p-1)/2, qui est le nombre d’arêtes d’une clique possédant p éléments.
0
13
4 9
3 1
1 2
2
8 1
1 7
1 4 3
3 1
1
1 2
1 1
1
1 1
36
3 8
7
12
3 2
1
1 2
1
2 1
3
78
6 36
28
21
1
3 6
3
1 0
0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
Ci-dessus, les poids des nœuds sont écrits en noir, les produits des frères en rouges et les sommes en vert.
Le cœur de la démonstration repose sur le théorème suivant : étant données deux cliques disjointes P et Q possédant respectivement p et q éléments, soit R la clique englobant P et Q alors le nombre d’arêtes de R est d’une part (p+q)(p+q-1)/2 et d’autre part p(p-1)/2 + pq + q(q-1)/2, qui est le nombre d’arêtes de P plus le nombre d’arêtes reliant un sommet de P à un sommet de Q plus le nombre d’arêtes de Q.
Le théorème est vrai pour les Ad ayant un seul sommet et, de proche en proche, il est vrai pour tous les Ad.
Pour répondre à la question posée, disons que, pour toute séquence de partages, la somme des produits calculés est à la fois maximale et minimale et vaut 2 019 045.
L’idée que cette somme pouvait être constante m’est venue après avoir calculé cette somme dans les deux cas particuliers extrêmes : arbre équilibré au mieux et arbre totalement déséquilibré.
