G246 – Les tas de cailloux du sapeur Camenber
Après avoir creusé son 2010ième trou, le sapeur Camember a devant lui un gros tas de 2010 cailloux qu’il a scrupuleusement numérotés de 1 à 2010. Il considère tous les tas de cailloux possibles constitués de 1,2,3,...,k,...2010 cailloux et calcule pour chaque tas le produit des inverses des nombres inscrits sur les cailloux. Aidez-le à calculer la somme de tous ces produits avant qu’il n’attrape une très grosse migraine avec les 220101 tas qu’il s’apprête à inventorier.
Satisfait de la solution que vous lui avez donnée et qui lui a fait gagner beaucoup de temps, avant de creuser son 2011ième trou, le sapeur Camember se divertit en partageant le tas des 2010 cailloux en deux tas plus petits puis chacun de ces tas en deux autres tas de plus petite taille et ainsi de suite... Chaque nouveau tas a au moins un caillou. Il s’arrête quand il obtient 2010 tas d’un caillou chacun. À chaque partage d’un tas, il calcule le produit des nombres de cailloux contenus dans les deux tas qui résultent du partage. Pour quelle séquence des
partages, la somme des produits ainsi calculés est elle : 1) maximale ? : 2) minimale ? Première question
Les 22010 – 1 produits que l'on somme sont toutes les fractions ayant pour numérateur 1 et pour dénominateur le produit des termes d'un sous-ensemble de {1,2…2010}, sauf l'ensemble vide.
Si on les réduit au dénominateur commun 12… 2010 = 2010!, on fait apparaître aux numérateurs tous les compléments (multiplicatifs) des dénominateurs, c'est à dire les produits des termes de tous les sous-ensembles de {1,2…2010}, sauf de l'ensemble {1,2…2010} lui- même. Entendons-nous : il y aura bien un numérateur qui vaudra 2010! mais c'est au titre de la fraction 1/1 et il s'exprimera, en toute rigueur : 23… 2010.
Or on sait que, quels que soient les nombres a, b, c… (entiers ou non), on a : (1+a) (1+b)… = 1 +a+b… + ab + bc… + abc…
Application : (1+1) (1+2)… (1+2010) = 2011! = 1+ 1 + 2 + 3… + 12 + 13… + 12…
2010 (attention : il y a cette fois 22010 termes).
La somme du deuxième membre peut sembler curieuse en ce qu'elle comporte (en valeur) chaque terme deux fois. Ainsi 1 et 1, 2 et 12, etc. Seuls les deux 1 posent un problème de compréhension. L'un est le "vrai" 1, l'autre est le terme 1 (a = 1). En tout état de cause, cette somme a un terme de trop par rapport à ce que nous cherchons : c'est le terme 12… 2010, qu'on ne peut pas obtenir comme numérateur après réduction au dénominateur commun 12… 2010.
La somme que nous cherchons a donc pour numérateur (2011! – 2010!) et pour dénominateur 2010!
Elle vaut donc 2010.
Deuxième question
Nous comprenons la question comme suit :
[…] À chaque partage d’un tas, il calcule le produit des nombres de cailloux contenus dans les deux tas qui résultent du partage et il additionne tous les produits ainsi trouvés au cours du partage. Pour quelle séquence des partages la somme des produits ainsi calculés est-elle : 1) maximale ? : 2) minimale ?
Nous procéderons par récurrence sur le nombre n de cailloux.
Pour n = 3, il n'y a qu'une séquence de partage possible. On partage 3 en 1+2 (d'où un premier produit de 12 = 2), puis le 2 en 1+1 (d'où un second produit de 11 = 1), soit au total S(3) = 3.
Pour n = 4, il y a deux séquences de partage possibles.
La première consiste à partager 4 en 3+1 (d'où un premier produit de 13 = 3), puis à partager le 3 comme ci-dessus, d'où une contribution de S(3) = 3, soit au total S(4) = 6.
La seconde consiste à partager 4 en 2+2 (d'où un premier produit de 22 = 4), puis à partager les deux 2 en 1+1, d'où une contribution de deux fois 11 = 1, soit au total S(4) = 6.
À ce stade, l'intuition est que S(n) pourrait être indépendant de la séquence de partage et valoir tout simplement : 1+2+… (n-1) = n (n-1)/2.
C'est vrai jusqu'à n=4. Supposons que ce soit vrai jusqu'à (n-1), c’est-à-dire que S(k) = k (k-1) / 2 (pour k ≤ (n-1)) et notons provisoirement S(n,k) (jusqu'à ce que nous ayons éventuellement démontré que ce nombre est indépendant de k) la somme des produits obtenue si le partage commence par {k; (n-k)}.
Si le partage commence par {k; (n-k)}, il se poursuit par celui de k et celui de (n-k) indépendamment l'un de l'autre.
Si la formule S(k) = k (k-1) / 2 est vraie jusqu'à k = (n-1), on a : S(n,k) = k (n-k) [premier produit du partage] + S(k) + S(n-k), C’est-à-dire encore :
S(n,k) = k (n-k) + k (k-1) / 2 + (n-k) (n-k-1) / 2 En simplifiant, il vient :
S(n,k) = n (n-1) / 2, qui est indépendant de k, donc de la séquence de partage.
Ainsi S(n) = n (n-1) / 2 (soit, pour n = 2010, S(2010) = 2 019 045) et, toutes les séquences de partage étant équivalentes, chacune est à la fois minimale et maximale.
