Enonc´e noG246 (Diophante)
Les tas de cailloux du sapeur Camember
Apr`es avoir creus´e son 2010i`eme trou, le sapeur Camember a devant lui un gros tas de 2010 cailloux qu’il a scrupuleusement num´erot´es de 1 `a 2010. Il consid`ere tous les tas de cailloux possibles constitu´es de 1,2,3, . . . , k, . . ., 2010 cailloux et calcule pour chaque tas le produit des inverses des nombres inscrits sur les cailloux. Aidez-le `a calculer la somme de tous ces produits avant qu’il n’attrape une tr`es grosse migraine avec les 22010−1 tas qu’il s’apprˆete `a inventorier.
Satisfait de la solution que vous lui avez donn´ee et qui lui a fait ga- gner beaucoup de temps, avant de creuser son 2011i`eme trou, le sapeur Camember se divertit en partageant le tas des 2010 cailloux en deux tas plus petits puis chacun de ces tas en deux autres tas de plus petite taille et ainsi de suite. . . Chaque nouveau tas a au moins un caillou. Il s’arrˆete quand il obtient 2010 tas d’un caillou chacun. A chaque par- tage d’un tas, il calcule le produit des nombres de cailloux contenus dans les deux tas qui r´esultent du partage. Pour quelle s´equence des partages, la somme des produits ainsi calcul´es est elle : 1) maximale ? : 2) minimale ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Si le tas ne contient que n cailloux num´erot´es de 1 `a n, soit Sn la somme des produits des inverses selon la formule de l’´enonc´e. On a
´evidemmentS1 = 1 avec le caillou unique num´erot´e 1.
Dans la somme Sn+1, on trouve tous les termes de Sn, la contribution du caillou n+ 1 pris seul, et les contributions de ce caillou pris avec ceux formant les termes deSn. Ainsi
Sn+1 =Sn+ 1/(n+ 1) +Sn/(n+ 1).
Cela s’´ecrit (n+ 1)(1 +Sn+1) = (n+ 2)(1 +Sn), puis
(1 +Sn+1)/(n+ 2) = (1 +Sn)/n+ 1) =. . .= (1 +S1)/2 = 1.
Il en r´esulteSn =n pour tout n. La somme du sapeur Camember est 2010.
2) Soit un tas dencailloux auquel on applique le processus de partage.
Je marque un caillou particulier et je le suis `a la trace au fil des partages.
Il se trouve isol´e apr`es qu’on ait enlev´e successivement a, b, c, . . . , m cailloux.
Au fil des partages, ce caillou a contribu´e `a la somme des produits par la sommea+b+c+. . .+m=n−1. Cette contribution est la diff´erence entre la somme du sapeur pour n cailloux et la somme pour n−1 cailloux.
Pourn= 2 cailloux, il y a un partage et la somme se r´eduit au produit 1. Ainsi pourncailloux on a
1 + 2 + 3 +. . .+ (n−1) =n(n−1)/2.
Pour 2010 cailloux, la somme est 1005·2009 = 2019045.
Elle ne d´epend pas de la s´equence des partages.
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