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Master 2 - MLV 2005-06
Risque de cr´edit. Examen Septembre
Pr´eambule: Dans tout le probl`eme, on travaille sur un espace de probabilit´e (Ω,F, P) sur lequel proces- sus et v.a. sont d´efinis, en particulier, τ d´esigne une v.a. positive, Ht = 11τ≤t et H = (Ht, t ≥0) est la filtration naturelle deH. S’il y a plusieurs temps τi, on note Hti = 11τi≤t etHi = (Hit, t≥0). On suppose qu’une filtrationFest donn´ee ainsi qu’un processusλ, positif,F-adapt´e. On d´efinit
τ = inf{t : Λt:=
Z t
0
λsds≥Θ}
o`u Θ est une v.a. de loi exponentielle de param`etre 1, ind´ependante deF. On noteG=F∨H.
PARTIE I:La premi`ere partie se traite SANS documents. Apr`es une heure, vous passez `a la partie avec documents, mˆeme si vous n’avez pas fini la premi`ere partie.
On suppose queλest d´eterministe. On suppose que les divers produits financiers sont ´evalu´es sousP. 1. Montrer queτ est ind´ependant deF.
2. SoitS le prix d’un actif. On suppose que S estF-adapt´e et que le taux sans risque, (r(s), s≥0) est d´eterministe. On noteβt= exp−Rt
0r(s)ds.
(a) Quel est la valeur `a la datet d’un actif contingent de payoff Φ =ϕ(ST)11T <τ? On note Vt
ce prix.
(b) Montrer qu’il y a une relation simple entreVtet le prix Φtdeϕ(ST).
(c) On suppose qu’un DZC (versant 1 `a maturit´e s’il n’y a pas eu d´efaut et 0 sinon) de maturit´e T est n´egoci´e sur le march´e au prixD(t, T). ExprimerD(t, T) en fonction deλ. Quelle est la dynamique deD(t, T)?
(d) Un portefeuille auto-finan¸cant construit sur les actifsD(t, T), S et le savings accountSt0 de dynamique dSt0 = St0r(t)dt, dupliquant un actif contingent ξ, est un triplet de processus G-adapt´es,π1, π2, π3 tel que, siVt=π1tD(t, T) +π2tSt+πt3St0
dVt = πt1dD(t, T) +πt2dSt+πt3St0r(t)dt ξ = πT1D(T, T) +πT2ST+π3TST0
Montrer qu’il existe un portefeuille dupliquant ϕ(ST)11T <τ. Expliciterπ1.
PARTIE IIA pr´esent, vous rendez votre copie et vous poursuivez avec documents. Si vous n’avez pas r´epondu aux questions ci dessus, vous en admettez les r´esultats (qui se trouvent dans le poly). Il est inutile dans ce qui suit de recopier des d´emonstrations figurant dans le poly. Il suffit de citer le r´esultat utilis´e et la r´ef´erence (page du poly)
1. On travaille sous les hypoth`eses du pr´eambule. On ´etudie dans un premier temps certaines rela- tions entre lesFet lesG-martingales.
(a) SoitVe et Rdeux processus F-pr´evisibles. Montrer que le processusV d´efini par Vt=Vet11{t<τ}+Rτ11{τ≤t}
est uneG-martingale si et seulement si le processus Vete−Λt+
Z t
0
Rue−Λuλudu est uneF-martingale
(b) SoitP etRdeux processusG-pr´evisibles etCun processusG-adapt´e `a variation born´ee tels que
βtPt+ 11{τ≤t}βτRτ+ Z t∧τ
0
βudCu
2
est uneG-martingale. SoitPe processusF-pr´evisible tel quePt= 11{t<τ}Pet. Montrer que le processus
Pt∗=αtPet+ Z t
0
αsdCs+ Z t
0
RuαudΛu
est uneF-martingale, avecαt=βte−R0tλsds. Etablir la r´eciproque. Donner une interpr´etation financi`ere.
2. On consid`ere deux va ind´ependantes τi de loi exponentielle de param`etre 1, construites sur un espace de probabilit´e (Ω,G, P). On suppose que cet espace est muni d’une filtrationFengendr´ee par un mouvement BrownienW et on suppose queτisont ind´ependantes deF∞.
(a) Calculer les processusλi tels que Hti−
Z t
0
(1−Hsi)λisds soit uneF∨Hi martingale.
(b) Calculer les processusγi tels que
Mti=Hti− Z t
0
(1−Hsi)γsids soit uneG=F∨H1∨H2 martingale.
(c) Ce choix de mod`elisation se r´eduit-il `a un cas particulier de celui utilis´e dans la premi`ere partie?
(d) On suppose qu’un actif d´elivrant 11T <τi en T est disponible sur le march´e au prix Di(t, T).
On suppose que le march´e utilise la probabilit´eP comme probabilit´e risque neutre et que le taux sans risque est constant ´egal `ar. Quelle est la dynamique deDi?
(e) On se donne deux processusκi F-pr´evisibles et on d´efinit dζt=ζt−(κ1tdMt1+κ2tdMt2) On d´efinit QpardQ|Gt =ζtdP|Gt
i. Sous quelles conditionsQest-elle une mesure de probabilit´e?
ii. Montrer que
Ht1− Z t
0
(1−Hs1)ηs1ds est une (Q,G)-martingale, avecη1t = 11t<τ2+ 11t≥τ2(κ1t+ 1).
iii. Comment s’´ecrit le prix du z´ero-coupon D1 siQ est la mesure choisie pour ´evaluer les produits financiers?
iv. Faire un calcul explicite siκi sont des constantes.
