G246. Les tas de cailloux du sapeur Camember Solution proposée par Philippe Bertran
1e question
Soit An la somme considérée pour un tas de n cailloux.
A1 = 1/1 = 1
A2 = 1/1 + 1/2 + 1/(12) = 2
A3 = 1/1 + 1/2 + 1/(12) + 1/3 + 1/(13) + 1/(23) + 1/(123) = 3
Cela conduit à poser la conjecture An = n que nous allons démontrer par récurrence en supposant vraie la propriété à l’ordre n et en montrant qu’elle est alors vérifiée à l’ordre (n+1).
Les tas possibles avec (n+1) cailloux numérotés de 1 à (n+1) sont :
tous les tas possibles avec les cailloux numérotés de 1 à n ; la somme des produits des inverses des nombres inscrits sur les cailloux constituant chaque tas est égale à An
c'est-à-dire à n en vertu de l’hypothèse de récurrence
les tas obtenus en ajoutant le caillou (n+1) à chacun des tas précédents ; la somme des produits des inverses des nombres inscrits sur les cailloux constituant chaque tas est égale à An 1/(n+1) c'est-à-dire n/(n+1)
le « tas » constitué du seul caillou numéroté (n+1) et auquel correspond donc le
« produit » 1/(n+1).
On a donc An+1 = n + n/(n+1) + 1/(n+1) soit An+1 = n+1 ce qui démontre la propriété.
Le nombre cherché par le sapeur Camember est donc 2010.
2e question
Remarque préalable : en vertu de la commutativité de l’addition, le nombre associé à une séquence ne dépend que des nombres de cailloux constituant les deux parties des sous-tas successifs et non pas de l’ordre dans lequel ces sous-tas sont décomposés.
Là encore, nous allons traiter le cas d’un tas de n cailloux en commençant par regarder ce qui se passe pour un nombre de cailloux petit.
2 cailloux
La séquence est forcément (2), (1, 1) . Nombre associé : 11 = 1
3 cailloux
La séquence est forcément du type (3), (2, 1), (1, 1, 1) . Nombre associé : (21) + (11) = 3
2
4 cailloux
La séquence peut être de deux types :
(4), (3, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1) . Nombre associé : (31) + (21) + (11) = 6 (4), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1) . Nombre associé : (22) + (11) + (11) = 6 Toutes les séquences à 4 cailloux ont donc pour nombre associé 6.
5 cailloux
Le premier partage peut être de deux types :
(5), (4, 1) (nombre associé : 41 = 4) après quoi il faut décomposer le tas de 4 cailloux (nombre associé toujours égal à 6 comme montré ci-dessus) ; total : 4+6 = 10
(5), (3, 2) (nombre associé : 32 = 6) après quoi il faut décomposer le tas de 3 cailloux (nombre associé toujours égal à 3 comme montré ci-dessus) et le tas de 2 cailloux (nombre associé : 1) ; total : 6+3+1 = 10
Toutes les séquences à 5 cailloux ont donc pour nombre associé 10.
Ceci amène à poser la conjecture que le nombre associé à une séquence ne dépend que du nombre n de cailloux et que ce nombre est [(n-1)1 + (n-2)2 + … + (31) + (21) + (11)]
qui correspond au cas où l’on sépare les cailloux un par un.
Ce nombre est égal à 1 + 2 + 3 + … + (n-1) c'est-à-dire n(n-1)/2
Nous allons donc démontrer par récurrence la conjecture selon laquelle le nombre associé à toute séquence de partitions de n cailloux est n(n-1)/2
Supposons la propriété vraie jusqu’à l’ordre (n-1).
Une séquence pour un tas de n cailloux commencera par un partage en deux tas de p et (n-p) cailloux (nombre associé : p(n-p)) et se poursuivra, dans un ordre n’influant pas sur le résultat final, par la décomposition progressive du tas de p cailloux (nombre associé : p(p-1)/2 d’après l’hypothèse de récurrence) et la décomposition progressive du tas de (n-p) cailloux (nombre associé : (n-p)(n-p-1)/2 d’après l’hypothèse de récurrence).
Le nombre associé à cette séquence sera donc : p(n-p) + p(p-1)/2 + (n-p)(n-p-1)/2 ce qui est égal à n(n-1)/2
La propriété est donc vraie à l’ordre n.
Par conséquent, pour 2010 cailloux, la somme des produits calculés par le sapeur Camember sera 20102009/2 soit 2 019 045 quelle que soit la séquence des partages.
