G20318. La Bougie du Sapeur
Le sapeur Camember est n´e le 29 f´evrier 1844, qui ´etait un jeudi. Son an- niversaire donne lieu, depuis quelques dizaines d’ann´ees, `a la publication chaque 29 f´evrier d’un p´eriodique “La Bougie du Sapeur”. Supposant que cette publication va se poursuivre sur une tr`es longue p´eriode, quelle est la proportion des num´eros qui paraˆıtront un jeudi ?
Solution
Le calendrier gr´egorien se reproduit identiquement (correspondance entre les dates et les jours de la semaine) apr`es 400 ans qui font un nombre entier (20871) de semaines, contenant 400 jours de No¨el, 400 14 juillet, . . ., et 97 29 f´evrier. Ces nombres 400 et 97 n’´etant pas multiples de 7, une date donn´ee ne se r´epartit pas ´egalement sur les jours de la semaine.
Mais cette r´epartition est ´egale sur une p´eriode de 28 ans du calendrier julien (1461 semaines). Ainsi, pour ´etudier 400 ans de 1844 `a 2243, les p´eriodes 1844–1899, 1901–2096, 2101–2184, 2216–2243 totalisent 364 ans et 91 29 f´evrier, 13 pour chaque jour de la semaine. Restent `a ´etudier 36 ann´ees, 1900, 2097–2100, 2185–2215 (qu’on peut consid´erer comme cons´ecutives du point de vue des jours de la semaine) : on voit alors qu’aucun des six 29 f´evrier de cette p´eriode ne tombe un jeudi (un lundi en 2196 et 2208, un mercredi en 2192 et 2204, un vendredi en 2188 et un samedi en 2212).
La proportion en longue p´eriode des jeudis parmi les 29 f´evrier est donc 13/97. Cela vaut pour les parutions de La Bougie du Sapeur . . . `a moins que l’on consid`ere, comme en 2004, qu’un titre distinct “La Bougie du Sapeur – Dimanche” s’y substitue quand le 29 f´evrier tombe un dimanche (13 fois en 400 ans) ; la proportion des jeudis dans les num´eros de la Bougie monte alors `a 13/84.
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