G122 : Place libre ou occupée
Si p personnes se placent au hasard dans une salle de p+1 places, il y a une chance sur p+1 pour qu’elles occupent globalement leurs places, et donc laissent libre la p+1- ième place, et p chances sur p+1 pour que le dernier arrivant trouve sa place occupée.
Si p personnes se placent au hasard dans une salle de N places, il y a une chance (sur N(N-1)…(N-p+1)/p !) pour qu’elles occupent globalement leurs places, et
p chances qu’elles occupent p-1 de leurs places plus celle de Diophante. Dans les autres cas, elles occupent au moins une place d’un autre spectateur ; si le premier de ceux-ci arrive en k-ième position (avec k>p) il doit se placer au hasard (alors que ceux compris éventuellement entre les rangs p et k ont trouvé leurs places), et la situation est la même que si p personnes s’étaient placées au hasard sur N-k+p places. Et ainsi de suite, à chaque étape de cette descente infinie, jusqu’à la situation où ne restent que p+1 places, que nous avons commencé par étudier. Puisqu’à chaque étape la
probabilité que les p personnes occupent p-1 de leurs places plus celle de Diophante est p fois plus élevée que celle où ils occupent globalement leurs places, la probabilité pour que Diophante trouve sa place occupée sera p/(p+1), et ceci quel que soit N.
