Activit´e de math´ematiques
Barycentre et coordonn´ees cart´esiennes
Coordonn´ ees cart´ esiennes d’un barycentre
On consid`ere trois points A,B et C de l’Espace et on d´efinit le barycentre : G= bar{(A;α),(B;β),(C;γ)} avec α+β+γ 6= 0
On d´efinit `a pr´esent un rep`ere de l’Espace (O,−→i ,−→j ,−→k) dans lequel les coordonn´ees des pointsA,B,C et Gsont not´ees :
A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) C(xC;yC;zC) G(xG;yG;zG) 1. ´Ecrire la relation vectorielle d´efinissant le point G.
2. Interpr´eter cette relation en termes de coordonn´ees de vecteurs dans le rep`ere (O,−→i ,−→j ,−→k), en d´eduire les formules des coordonn´ees du barycentre :
xG= αxA+βxB+γxC
α+β+γ yG = αyA+βyB+γyC
α+β+γ zG= αzA+βzB+γzC
α+β+γ
Centre de gravit´ e d’un t´ etra` edre
On consid`ere un t´etra`edreABCD et on d´efinit les pointsG1,G2,G3 etG4 centres de gravit´e respectifs des trianglesBCD,ACD,ABD etABC. L’Espace est muni du rep`ere (A,−−→AB,−→AC,−−→AD).
1. Faire une figure en perspective.
2. Calculer les coordonn´ees des points A,B,C,D,G1,G2,G3 etG4 dans le rep`ere (A,−−→AB,−→AC,−−→AD).
3. On d´efinit les points I = bar{(A; 1)(G1; 3)}, J = bar{(B; 1)(G2; 3)}, K = bar{(C; 1)(G3; 3)} et L= bar{(D; 1)(G4; 3)}.
(a) Calculer les coordonn´ees des points I,J,K, et L dans le rep`ere (A,−−→AB,−→AC,−−→AD).
(b) Quelle propri´et´e du t´etra`edre peut-on en d´eduire ?
D´ emonstrations utilisant les coordonn´ ees cart´ esiennes
En utilisant dans chaque cas un rep`ere de l’Espace convenablement choisi, d´emontrer les r´esultats sui- vants :
1. Les diagonales d’un cube se coupent en leurs milieux.
2. La longueur d’une diagonale d’un cube de cˆot´e aesta√ 3.
3. Les droites joignant les centres de gravit´e des faces d’un t´etra`edre sont chacune parall`eles `a une des ar`etes.
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