Sur l'autoroute Paris-Lyon
Problème A228 de Diophante
A des moments différents de la journée, quatre voitures A, B, C et D quittent la porte d'Italie à Paris en direction de Lyon tandis que deux autres voitures E et F quittent la place Bellecour à Lyon en direction de Paris. Les six voitures roulent à des vitesses constantes qui leur sont propres. A double B à 8 heures du matin, double C une heure plus tard et croise E à midi. Cette dernière voiture se fait doubler par F à 10 heures, puis croise B à 14 heures et croise C à 15 heures. Cette dernière se fait
doubler par D et B au même moment avant de croiser F à 13 heures. Enfin D double A au même moment où ces deux voitures croisent F.
A quel moment de la journée D croise-t-elle E ?
Question subsidiaire : qui a toutes les chances d'avoir au moins un procès- verbal pour excès de vitesse ?
Solution
Dans le plan où t représente le temps et d la distance entre Lyon et Paris notons AB le point de rencontre des voitures A et B et, de manière analogue, les autres
points de rencontre.
AE
8 9 10 11 12 13 14 15
t AB
AC
EF
CE BE
BCD
ADF
(A)
vers Paris
vers Lyon d
(B) (C)
(D)
(E) (F)
CF
DE
Ci-dessus, on constate que ce diagramme est entièrement déterminé par la connaissance des droites (A) et (E).
Choisissons AE comme origine, l’heure comme unité de temps et la distance parcourue par E en une heure comme unité de longueur. Ainsi E a pour vitesse 1 et A a pour vitesse (algébrique) – k, avec k > 1 car C a une vitesse algébrique négative.
D’après l’énoncé, nous pouvons : placer dans l’ordre AB, AC, AE, EF, BE, CE ; tracer les droites (B) et (C) ; en déduire CF et BCD ; tracer la droite (F) ; en déduire ADF et enfin tracer la droite (D).
Montrons que les points BCD, ADF et DE ont (indépendamment de k) pour abscisses respectives : -1,-1/2,-1/3.
En effet, nous obtenons pour les points et droites les coordonnées et équations suivantes :
(E) : d = t
(A) : d = - kt AB : (-4, 4k) AC : (-3, 3k)
AE : (0, 0)
EF : (-2, - 2)
BE : (2, 2)
CE : (3, 3)
(B) : 6(d-2) = (2-4k)(t-2) (C) : 6(d-3) = (3-3k)(t-3) CF : (2, k+2)
BCD : (-1, 2k+1)
(F) : 3(d+2) = (k+4)(t+2) ADF : (-1/2, k/2)
(D) : -(d-2k-1)/2 = (3k/2+1)(t+1) DE : (-1/3, -1/3)
Autrement dit, la voiture D croise la voiture E à 11 h 40.
Les vitesses des voitures, descendant vers Lyon, sont respectivement pour C, B, A et D : (k-1)/2 ; (2k-1)/3 ; k et 3k+2 et celles des voitures , montant vers Paris, sont respectivement pour E et F : 1 et (k+4)/3,
