A228 – Sur l’autoroute Paris-Lyon
À des moments différents de la journée, quatre voitures A, B, C et D quittent la porte d'Italie à Paris en direction de Lyon tandis que deux autres voitures E et F quittent la place Bellecour à Lyon en direction de Paris. Les six voitures roulent à des vitesses constantes qui leur sont propres. A double B, à 8 heures du matin, double C une heure plus tard et croise E à midi. Cette dernière voiture se fait doubler par F à 10 heures, puis croise B à 14 heures et croise C à 15 heures. Cette dernière se fait doubler par D et B au même moment avant de croiser F à 13 heures. Enfin D double A au même moment où ces deux voitures croisent F.
A quel moment de la journée D croise-t-elle E ? Question subsidiaire : qui a toutes les chances d'avoir au moins un procès-verbal pour excès de vitesse ?
Solution proposée par Julien de Prabère
Pour la facilité du raisonnement, imaginons si nécessaire des prolongements des trajectoires et mouvements au-delà de Paris et Lyon et plaçons nous dans le véhicule E pour relativiser tous les évènements de la journée.
Croisant A à 12 heures puis C à 15 heures, alors qu’il étaient équidistants de nous, à 9 heures du matin lorsque A doublait C, c’est-à-dire respectivement 3 et 6 heures plus tôt, nous constatons que A est venu à notre rencontre deux fois plus vite que C et en déduisons que les vitesses relatives de A et C sont telles que vA=2vC. Un raisonnement analogue à partir du dépassement de B par A, à 8 heures du matin, et du croisement de A, puis de B, respectivement 4 et 6 heures plus tard, nous enseigne encore que vB=2vA/3=4vC/3 toujours en vitesses relatives par rapport à notre repère (Galiléen) et véhicule E.
Croisant B à 14 heures et C à 15 heures, alors que leurs vitesses sont dans le rapport 4/3, nous en déduisons immédiatement que le premier dépassait le second à 11 heures au moment où D les dépassait tous les deux.
La distance qui, à 10 heures du matin, lorsque F nous dépasse, sépare nos deux véhicules de C étant parcourue par F et C à la vitesse vC+vF en 3 heures, et par C à la vitesse vC en 5 heures, nous aurons encore 3(vF+vC)=5vC soit 3vF=2vC.
À partir de 9 heures, lors du dépassement de C par A, F parcourt la distance qui le sépare alors de ces deux véhicules en 4 heures, lorsqu’il croise C (tandis qu’ils se rapprochent à la vitesse vC+vF) et en H-9 heures, lorsqu’il croise A (à la vitesse vA+vF = 2vC+vF). D’où H-9=4(vC+vF)/(2vC+vF) et par suite H=11+2vF/(2vC+vF) heures qui, compte tenu de 2vC=3vF, donne H=11 heures 30.
En outre, F parcourt la distance qui, à 11 heures, le sépare de D et de C, en ½ heure à la vitesse vF+vD, tandis qu’il met 2 heures à la vitesse vF+vC. Nous aurons donc vF+vD=4 (vF+vC) et, par conséquent, vD=6vC.
Nous en déduisons enfin qu’à partir de 11 heures, D nous rejoint en un temps T, tel que TvD soit égal à 3vB ou 4vC (B et C mettent respectivement 3 et 4 heures pour parcourir la même distance).
D’où T=4vC/vD c’est à dire à 2/3 d’heures. D croise E à 11 heures 40 minutes !
D est très certainement en excès de vitesse d’autant plus que nos vitesses sont, encore une fois, relatives à E. En effet, La relation vD=6vC, cache en fait des vitesses liées par VD=6VC+5VE lorsque celles-ci sont rapportées à un repère fixe tel, par exemple, qu’un radar en bordure de l’autoroute…
