Croisements interdits sur autoroute enneigée
Problème E439 de Diophante
Bloqués par une tempête de neige qui s'est abattue sur l'autoroute du Sud, Zig et Puce prennent leur mal en patience. Ils dessinent sur une feuille de papier le contour d'un triangle équilatéral ABC et marquent en son intérieur 2007 points de telle sorte que trois points quelconques parmi les 2010 points y compris A, B et C ne sont jamais alignés. Chacun à son tour trace un segment de droite joignant deux points aussi longtemps que ce segment ne croise pas un segment déjà tracé. Le vainqueur est le dernier à pouvoir tracer un segment.
Zig commence. Qui est le vainqueur ?
Solution
Il ne sera plus possible de jouer lorsque le triangle ABC sera totalement triangulé. Le nombre de segments à tracer est 6021 (*), indépendamment de la manière de jouer.
Ce nombre 6021 étant impair, Zig sera le vainqueur.
(*) Ce nombre est 6024 – 3 (les trois bords déjà tracés du triangle). Il a été obtenu en fonction du résultat suivant :
Soit n points aux sommets d’un polygone convexe IP et i points intérieurs à IP choisis de telle sorte que trois points quelconques parmi les n + i points ne sont pas alignés alors le nombre T de segments qu’il est possible de tracer sans que deux segments se croisent est 2n + 3i – 3, indépendamment de la manière de procéder.
Une fois ces segments tracés IP est découpé en triangles 2(n + i - 1) triangles.
Ce qui se démontre par récurrence sur n, pour i = 0, puis sur i.
