ÉPREUVE ORALE ENSEIGNEMENT OPTIONNEL DE MATHÉMATIQUES COMPLÉMENTAIRES. Lyon & Paris. Bordeaux, Lille, Lyon & Paris. Lyon, Paris, & Toulouse

(1)

79

Lyon, Paris, Rennes, Strasbourg & Toulouse

Bordeaux, Lille, Lyon & Paris Lyon, Paris,

& Toulouse

Lyon

& Paris

ENSEIGNEMENT OPTIONNEL DE MATHÉMATIQUES

COMPLÉMENTAIRES

(2)

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Enseignement optionnel de Mathématiques Complémentaires)

CONSIGNES AUX CANDIDATS

Durée de l’épreuve : 30 minutes

L’oral de mathématiques permet de vous évaluer sur la qualité de votre démarche de résolution des exercices en rapport avec le programme, votre maîtrise du programme, ainsi que l’agilité et la vitesse de résolution dont vous saurez faire preuve. Il permet en outre d’harmoniser votre niveau avec celui de tous les autres candidats.

Déroulement

• Afin de tenir compte de l’avancement de chacun dans le programme de Terminale et de vous permettre de démontrer vos compétences dans les meilleures conditions, vous disposerez d’une certaine marge de choix : vous pourrez éliminer un certain nombre de thèmes sur lesquels vous ne serez pas interrogé.

• Deux ou trois exercices vous seront ensuite proposés par l’examinateur. Après un temps de préparation, vous échangerez avec lui sur votre méthode de résolution.

Critères d’évaluation

• Maîtrise des savoirs disciplinaires liés au programme de terminale

• Capacités à dérouler un raisonnement et l’exposer de manière claire et rigoureuse • Autonomie dans la résolution des exercices (avec ou sans aide de l’examinateur)

Notation

• Résolution de l’exercice

• Connaissance du cours associé au thème retenu

• Rapidité dans la résolution de l’exercice

Il est conseillé de s’exercer sur chacun des thèmes proposés et de s’entraîner à résoudre les exercices « à haute voix », seul ou avec des camarades de classe, en explicitant votre méthode de résolution ainsi que les éléments de cours mis en oeuvre dans la même limite de temps que le jour de l’épreuve orale.

(3)

81

OPTION MATHÉMATIQUES COMPLÉMENTAIRES

Nous allons étudier les thèmes suivants :

• Suites

• Limites de fonctions

• Dérivée d’une fonction, convexité et variation

• Fonctions logarithmes et exponentielles

• Statistique et probabilités

(4)

THÈME 1 : SUITES

(5)

83

Suite arithmético-géométrique

u v u0 = 1 n,

un+1= 1

2un+ 3 vn=un−6.

(un)

(vn)

v_n u_n n.

(un) n

un+1 =un+r, r .

(un) q n

u_n+1=q×u_n, q .

u_n+1−u_n

n, (un)

u₀= 1, u₁ u₂ u1= 1

2u0+ 3 = 7

2, u2 =1

2u1+ 3 = 1 2 ×7

2+ 3 = 19 4 u₁−u₀= ⁵₂

u2−u1#= ⁵₂

!

⇒(un)

un+1

un n,

(un)

u1 u0 = ⁷₂

u2 u1 #= ⁷₂

!

⇒(un) (un)

(6)

n∈N,

v_n =u_n−6 ⇒v_n+1 =u_n+1−6 = 1

2u_n+ 3−6 = 1 2u_n−3

⇒v_n+1 = 1

2 (u_n−6) = 1 2v_n.

(v_n) ¹₂.

(v_n) n∈N,

v_n =v₀×

!1

2

"n

.

v_n =u_n−6, v₀ =u₀−6 =−5.

v_n =−5×

!1

2

"n

.

v_n =u_n−6⇒ u_n =v_n+ 6

⇒u_n =−5×

!1

2

"n

+ 6.

(7)

85

(u_n) u₀=−2 r= 5. u₁₅.

(vn) v6= 4 r=−3. v15.

(w_n) w₄= 2 w₁₀ = 14. r w₀.

(t_n) t₂+t₃+t₄ = 12. t₃.

(u_n) r n, u_n=u₀+nr.

(u_n)

u_n =u₀+nr=−2 + 5n⇒u₁₅ =−2 + 5×15 = 73.

v₀. (v_n)

v_n =v₀+nr⇒v₆=v₀+ 6r=v₀+ 6×(−3) =v₀−18 v₆ = 4⇒v₀−18 = 4⇒v₀= 22.

v_n = 22 +n×(−3)⇒v₁₅ = 22 + 15×(−3) =−23.

(w_n) w₄ = 2 w₁₀ = 14. (w_n)

w₁₀ =w₄+ 6r w₄ w₁₀ 6

w₁₀ =w₄+ 6r⇒14 = 2 + 6r⇒6r= 12⇒r= 2.

w₄ =w₀+ 4r⇒w₀=w₄−4r= 2−4×2⇒w₀ =−6.

(t_n) t₂+t₃+t₄ = 12. t₃

t₄

t₃ =t₂+r ⇒t₂ =t₃−r t₄ = t₃+r. t₂ t₄

t₂+t₃+t₄ = (t₃−r) +t₃+ (t₃+r) = 3t₃

t₂+t₃+t₄= 12⇒3t₃ = 12⇒t₃= 4.

Déterminer la raison et calculer des termes

(8)

70

2020, 7 63

20% 20%

u_n 2020 +n. u₀ = 7.

u₁= 18,2

un+1= 0,6un+ 14 n.

(u_n)

u_n n n.

n→lim+∞(u_n)

u₁ =u₀×0,80 + (70−u₀)×0,20 = 7×0,80 + (70−7)×0,20 = 7×0,80 + 63×0,20 = 18,2.

n u_n+1=u_n×0,80+(70−u_n)×0,20 = 0,80u_n+70×0,20−0,20u_n = 0,6×u_n+14.

n u_n+1= 0,6×u_n+ 14.

(u_n) a= 0,6 b= 14.

(u_n) 3

1 l=al+b⇔ l= 0,6l+ 14⇔ 0,4l= 14⇔l= _0,4¹⁴ = 35

2 v_n v_n =u_n−35, n.

(v_n) a= 0,6

n vn+1=un+ 1−35 = 0,6×un+ 14−35 = 0,6×un−21.

Suite arithmético-géométrique

(9)

87

0,6×vn= 0,6×(un−35) = 0,6×un−0,6×35 = 0,6×un−21.

vn+1 = 0,6×vn, n.

(vn) 0,6.

3 v0 =u0−35 = 7−35 =−28.

(vn) 0,6 −28,

vn = (−28)×0,6ⁿ. vn=un−35, vn+ 35 = un.

u_n = (−28)×0,6ⁿ+ 35

n→+∞lim (0,6ⁿ) = 0. lim

n→+∞(un) = 35.

35

70 35

(10)

20 000

30%

n q 1

1 +q+q²+· · ·+qⁿ = 1−qⁿ⁺¹

1−q

(un) 30%

1−30% un+1= 0,7un

(un) q = 0,7 u0 = 20 000.

Sn =u0+u1+u2+· · ·+u11

= 20 000 + 20 000×0,7 + 20 000×0,7²+· · ·+ 20 000×0,7¹¹

= 20 000×(1 + 0,7 + 0,7²+· · ·+ 0,7¹¹)

= 20 000× 1−0,7¹² 1−0,7

≈65 744

n→lim+∞Sn.

1, Sn =u0+u1+u2+· · ·+un

= 20 000× 1−0,7ⁿ⁺¹ 1−0,7

Modéliser un problème à l’aide d’une suite géométrique

(11)

89 n→lim+∞0,7ⁿ⁺¹ = lim

n→+∞0,7×0,7ⁿ = 0, 0≤q= 0,7<1.

n→lim+∞Sn= 20 000× 1−0,7ⁿ⁺¹ 1−0,7

= 20 000× 1 1−0,7

= 20 000 0,3

≈66 666,67

66 666,67

(12)

THÈME 2 : LIMITES DES FONCTIONS

(13)

91

1) lim

x→+∞2x³−5x²+ 1, 2) lim

x→+∞

2 1−x,

3) lim

x→−∞

x³+x−1

2x²+x , 4) lim

x→+∞(2x−3)× 1 x+ 1.

x→lim+∞2x³−5x²+ 1.

x→+∞lim 2x³ = +∞

x→lim+∞−5x²=−∞

x→lim+∞1 = 1









⇒ lim

x→+∞2x³−5x²+ 1 = +∞ − ∞

2x³−5x²+1.

2x³−5x²+ 1 =x³

%

2− 5x² x³ + 1

x³

&

=x³

% 2− 5

x+ 1 x³

&

x→lim+∞x³= +∞

x→lim+∞−x⁵ +_x¹3 = 0

x→lim+∞2− _x⁵ +_x¹3 = 2









⇒ lim

x→+∞2x³−5x²+1= (+∞)×2= +∞. +∞.

x→lim+∞ 2 1−x.

x→+∞lim 2 = 2

x→lim+∞1−x=−∞

'

⇒ lim

x→+∞

2

1−x =0.

y = 0 +∞.

Limite d’une fonction - forme indéterminée - asymptote

(14)

limx→−∞ x³+x−1

2x²+x . +∞ − ∞.

x³+x−1

2x²+x = x³!

1 + _x^x₃ − _x¹3

"

x²! 2 + _x^x2

" = x!

1 + _x¹₂ − _x¹3

"

2 + _x¹

x→−∞lim x=−∞

x→−∞lim 1 + _x¹2 − x¹³ = 1

#

⇒ lim

x→−∞x!

1 + _x¹2 − x¹³

"

=−∞

x→−∞lim 2 + ¹_x = 3

#

⇒ lim

x→−∞

x³+x−1

2x²+x =−∞.

−∞.

x→lim+∞(2x−3)× x+1¹ . +∞ ×0.

(2x−3)× 1

x+ 1 = 2x−3 x+ 1 = x!

2− x³

"

x!

1 + _x¹" = 2− _x³ 1 + ¹_x.

x→lim+∞2− _x³ = 2

x→lim+∞1 + ¹_x = 1

#

⇒ lim

x→+∞(2x−3)× 1

x+1 =2.

y = 2 +∞.

(15)

93

1) lim

n→+∞

!2 3

"n

, 2) lim

n→+∞

1

2ⁿ, 3) lim

n→+∞

3ⁿ 2²ⁿ,

4) lim

n→+∞(−1)ⁿ, 5) lim

n→+∞

(−1)ⁿ 2ⁿ .

qⁿ

• q >1, lim

n→+∞qⁿ = +∞.

• q = 1, lim

n→+∞qⁿ = 1.

• −1 < q <1, lim

n→+∞qⁿ= 0.

• q ≤ −1, (qⁿ)

n→lim+∞

#₂

3

$n

. q = ²₃, −1< ²₃ <1

n→+∞lim

!2 3

"n

= 0.

n→lim+∞ 1

2ⁿ. q = 2, 2>1.

n→lim+∞2ⁿ = +∞.

⇒ lim

n→+∞

1 2ⁿ = 0.

1 2ⁿ =#₁

2

$n

. q = ¹₂, −1< ¹₂ <1.

n→lim+∞

!1 2

"n

= 0⇔ lim

n→+∞

1 2ⁿ = 0.

Limite de suite géométrique

(16)

n→lim+∞ 3ⁿ

2²ⁿ. ₂³2nⁿ qⁿ.

3ⁿ

2²ⁿ = 3ⁿ

(2²)ⁿ = 3ⁿ 4ⁿ =

!3

4

"n

. q= ³₄, −1< ³₄ <1.

n→lim+∞

!3

4

"n

= 0⇔ lim

n→+∞

3ⁿ 2²ⁿ = 0.

n→+∞lim (−1)ⁿ. q=−1 q≤ −1.

((−1)ⁿ)

n→lim+∞ (−1)ⁿ

2ⁿ . ⁽⁻₂¹⁾nⁿ qⁿ.

(−1)ⁿ 2ⁿ =

!−1

2

"n

. q= ⁻₂¹, −1< ⁻₂¹ <1.

n→+∞lim

!−1

2

"n

= 0⇔ lim

n→+∞

(−1)ⁿ 2ⁿ = 0.

(17)

95

Limite d’une fonction - asymptote

1) lim

x→−∞

8

1 + 2e^x, 2) lim

x→+∞(x+ 1)e^x, 3) lim

x→+∞

! x³+ 1

x+ 3

"

√x, 4) lim

x→−∞

1 + lnx x² .

x→−∞lim

8

1+2e^x. lim

x→−∞e^x= 0,

x→−∞lim 8 = 8

x→−∞lim 1 + 2e^x= 1

#

⇒ lim

x→−∞

8

1+2e^x =8.

y= 8 −∞.

x→lim+∞(x+ 1)e^x. lim

x→+∞e^x= +∞,

x→lim+∞x+ 1 = +∞

x→lim+∞e^x = +∞

#

⇒ lim

x→+∞(x+1)e^x = +∞. +∞.

x→+∞lim

$x³+_x¹ + 3%√ x.

x→+∞lim x³ = +∞

x→lim+∞ 1 x = 0

x→lim+∞3 = 3









⇒ lim

x→+∞x³+ ¹_x+ 3 = +∞

x→lim+∞

√x= +∞

#

⇒ lim

x→+∞

! x³+1

x +3

"

√x= +∞.

+∞.

xlim→0 1+lnx

x² . lim

x→0lnx=−∞,

xlim→01 + lnx=−∞

xlim→0x²= 0, x²

#

⇒ lim

x→0

1+ lnx

x² =−∞.

x= 0 0.

(18)

Limite et encadrement - Théorème des gendarmes

1) lim

x→+∞x+ cos(x), 2) lim

x→+∞

sin(2x)

x , 3) lim

x→+∞

x+ sin(x)

x , 4) lim

x→0

sin(2x) x .

f(x)≤g(x). lim

x→+∞f(x) = +∞ lim

x→+∞g(x) = +∞

x→+∞lim x+ cos(x).

−1≤cos(x)≤1 x−1≤x+ cos(x)≤1 +x x−1≤x+ cos(x)

x→+∞lim x−1 = +∞

!

⇒ lim

x→+∞x+ cos(x) = +∞.

x→lim+∞ sin(2x)

x .

f(x)≤g(x)≤h(x). lim

x→+∞f(x) = L lim

x→+∞h(x) = L lim

x→+∞g(x) = +∞. x >0

−1≤sin(2x)≤1

−1

x ≤ sin(2x)

x ≤ 1

x

x→+∞lim

1 x = 0

x→+∞lim

−1 x = 0

!

⇒ lim

x→+∞

sin(2x) x =0.

(19)

97 x→lim+∞

x+sin(x)

x . x >0

−1≤sin(x)≤1

x−1≤x+ sin(x)≤1 +x x−1

x ≤ x+ sin(x)

x ≤ x+ 1 x

x→lim+∞ x−1

x = lim

x→+∞ x x = 1

x→lim+∞ x+1

x = lim

x→+∞ x x = 1

!

⇒ lim

x→+∞

x+ sin(x) x =1.

x→0lim

sin(2x) x .

xlim→0 sin(x)

x =1 x >0,

sin(2x)

x = 2× sin(2x) 2x .

X = 2x,

xlim→0

sin(2x)

2x = lim

X→0

sin(X) X = 1.

xlim→0

sin(2x) x =2.

(20)

THÈME 3 : DÉRIVÉE D’UNE FONCTION,

CONVEXITÉ ET VARIATION

(21)

99

x∈R 1)f(x) = ln(x²+ 1), 2)g(x) =!

ln(x²+ 1), 3)h(x) =e⁻^2x+1+ 3 ln(x²)

f(x) lnu f^"(x) = ^u_u^!

u=x²+ 1⇒u^" = 2x,

f^"(x) = 2x

x²+ 1.

g(x) √

u g^"(x) = ₂^u^√^!_u

u= ln(x²+ 1)⇒ u^" =f^"(x) = _x^2x2+1,

g^"(x) =

2x x²+1

2!

ln(x²+ 1) = 2x

x²+ 1× 1 2!

ln(x²+ 1) = x (x²+ 1)!

ln(x²+ 1). h(x) e^u+ 3 lnv h^"(x) =u^"e^u+ 3^v_v^!

u=−2x+ 1⇒u^" =−2 v =x² ⇒v^" = 2x,

h^"(x) = (−2)×e⁻^2x+1+ 3× 2x

x² =−2×e⁻^2x+1+ 6 x.

Dérivée d’une fonction

(22)

Dérivée d’une fonction

1)k(x) = 10−x

2x , 2)g(x) =√

3x+ 1 + (−2x+ 1)³, 3)q(x) = (ln(x+ 1))²⁰²⁰

k(x) ^u_v k^!(x) = ^u^!^v−uv_v2 ^!

u= 10−x⇒u^! =−1 v= 2x⇒v^!= 2, k^!(x) = (−1)×(2x)−(10−x)×2

(2x)² = −2x−20 + 2x

4x² = −20

4x² =−5 x².

g(x) √

u+v³ g^!(x) = ₂^u√^!u + 3v^!v² u= 3x+ 1⇒ u^! = 3 v =−2x+ 1⇒v^! =−2,

g^!(x) = 3 2√

3x+ 1+ 3×(−2)×(−2x+ 1)² = 3 2√

3x+ 1−6×(−2x+ 1)². q(x) u²⁰²⁰ q^!(x) = 2020×u^!×u²⁰¹⁹

u= ln(x+ 1)⇒ u^! = _x+1¹ , q^!(x) = 2020× 1

x+ 1 ×(ln(x+ 1))²⁰¹⁹= 2020

x+ 1×(ln(x+ 1))²⁰¹⁹.

(23)

101

Dérivées et convexité

f R

f(x) =−x³− 3 2x²+ 3

2. f.

A Cf.

f.

f ]a;b[.

∗ f^!!≥0 ]a;b[, f ]a;b[.

∗ f^!!≤0 ]a;b[, f ]a;b[.

a=−∞ b= +∞. f^!!(x)

f^!(x) = −3x²− 3

2 ×2x+ 0 =−3x²−3x⇒f^!!(x) =−3×2x−3 =−6x−3.

f^!!(x) = 0⇔ −6x−3 = 0⇔ −6x= 3⇔x=−1 2

−6 f^!!

f ]− ∞;−0,5] [−0,5; +∞[.

f^!! −¹₂ Cf A −¹₂

f

!

−1 2

"

=−

!

−1 2

"3

− 3 2

!

−1 2

"2

+3 2 = 1

8 − 3 2 × 1

4 +3 2 = 5

4

A (−¹₂;⁵₄).

(24)

Dérivée et variation

f^!(x) f^!(x) I f I

f(x) = 5e⁻^x²⁺¹ I =R

f(x) = 5xlnx+x I =]0,+∞[

f(x) = 5e⁻^x²⁺¹ I =R.

f =k e^u k= 5 u=−x²+ 1. f^!(x) =k u^!e^u u^! =−2x.

f^!(x) = 5×(−2x)×e⁻^x²⁺¹=−10x e⁻^x²⁺¹. f^! 2 f^!(x) = 0,

∗ −10x −10 x= 0.

∗ e⁻^x²⁺¹

f^! f f(0) = 5e⁻⁰²⁺¹= 5e.

f(x) = 5xlnx+x I =]0,+∞[

f =uv+x u= 5x v= lnx. f^!(x) =u^!v+uv^!+ 1 u^! = 5 v^! = ¹_x. f^!(x) = 5 lnx+ 5x_x¹ + 1 = 5 lnx+ 5 + 1 = 5 lnx+ 6. f^!

x, 5 lnx+ 6>0

5 lnx+ 6 >0 ⇔5 lnx >−6 ⇔lnx >−6

5 ⇔e^ln^x> e⁻⁶⁵ ⇔x > e⁻^1,2. 5 lnx+ 6 = 0⇔lnx=−⁶5 ⇔x=e⁻^1,2.

f^! f

(25)

103

THÈME 4 : FONCTIONS LOGARITHMES

ET EXPONENTIELLES

(26)

Simplifier une expression avec des logarithmes

1) ln 6−ln 2, 2) ln(e²), 3) ln

!1

e^x

"

, 4)e^{ln 4}, 5)e^{2 ln 5}, 6)e⁻^{ln 3}, 7) ln(√

e), 8) ln(e⁻^x).

• ln^a_b = lna−lnb, a >0 b >0.

• x∈R, lne^x =x.

• e^ln^a=a, a >0.

• lnaⁿ=nlna, n∈N a >0.

• ln√

a= ¹₂lna, a >0.

ln 6−ln 2 = ln⁶₂ = ln 3 ln(e²) = 2

ln#₁

e^x

$= ln 1−lne^x = 0−x=−x

e^{ln 4}= 4

e^{2 ln 5}=e^{ln 5}² = 5² = 25 e⁻^{ln 3}= _eln 3¹ = ¹₃

ln(√

e) = ¹₂lne= ¹₂ ×1 = ¹₂ ln(e⁻^x) =−x

(27)

105

Étude de fonction logarithme

f

f(x) = 3x−ln(2x−1).

D_f f.

f^!(x), f D_f.

f 2,5−ln²₃ D_f.

f(x) 2x−1 >0, x > ¹₂. D_f =]¹₂; +∞[.

u= 2x−1, u^! = 2.

f(x) = 3x−lnu, f^!(x) = 3− ^u_u^!. f^!(x) = 3− 2

2x−1 = 3(2x−1)

2x−1 − 2

2x−1 = 6x−3−2

2x−1 = 6x−5 2x−1.

f^!(x) = 0⇔ ^6x_2x⁻₋⁵₁ = 0 ⇔





6x−5 = 0 2x−1$= 0

⇔



 x= ⁵₆ x$= ¹₂

f^! f

f f(5

6) = 3× 5 6 −ln

$ 2× 5

6 −1

%

= 5

2 −ln2

3 = 2,5−ln2 3.

(28)

Équations avec des logarithmes

R

ln(6x−2) + ln(2x−1) = ln(x) (E)





6x−2>0 2x−1>0 x >0

⇔





6x > 2 2x > 1 x >0

⇔



 x > ¹₃ x > ¹₂ x >0

⇔{x > ¹₂

E x > ¹₂. DE =]¹₂; +∞[.

ln(6x−2) + ln(2x−1) = ln(x).

• ln(A) + ln(B) = ln(A×B)

• ln(A) = ln(B)⇔A=B

ln(6x−2) + ln(2x−1) = ln(x)⇔ln[(6x−2)(2x−1)] = ln(x)⇔(6x−2)(2x−1) =x

⇔12x²−11x+ 2 = 0

2, ∆=b²−4ac= 25, a= 12, b=−11 c= 2.

x1= 11−5 24 = 6

24 = 1

4 x2= 11 + 5 24 = 16

24 = 2 3.

1

4 DE, x2 = ²₃ ∈DE.

2 3.

(29)

107

Équations - Inéquations avec des logarithmes et exponentielles

R e^x+3+ 1 ≤3

R ln(x+ 2)(x−1) = ln(2x+ 10)

R. DE =R.

e^x+3+ 1≤ 3⇔e^x+3≤3−1⇔e^x+3≤2⇔lne^x+3≤ln 2⇔x+ 3≤ln 2 ⇔x≤ln 2−3.

S=]− ∞; ln2−3]. ln 2−3≈ −2,31.

lnx ]0; +∞[.

(x+ 2)(x−1)>0 2x+ 10>0.

(x+ 2)(x−1) =x²+x−2 >0, −2 1,

1 (x+ 2)(x−1)>0⇔ x∈]− ∞;−2[∪]1; +∞[.

2x+ 10>0, x >−5.

D_E =]−5;−2[∪]1; +∞[.

ln(x+ 2)(x−1) = ln(2x+ 10)⇔(x+ 2)(x−1) = 2x+ 10⇔x²−x−12 = 0.

∆ = b²− 4ac = 49, a = 1, b=−1 c=−12.

x₁ = 1−7 2 = −6

2 =−3 x₂ = 1 + 7 2 = 8

2 = 4.

2 D_E.

S={−3;4}.

(30)

THÈME 5 : PROBABILITÉS ET STATISTIQUE

(31)

109

Lois discrètes

X X

30 1 30.

30 1 3. 1,

2 3.

30 1 3. 1,

2 3.

X E ={1,2,3, ...,30}.

X(Ω) =E. k E, p(X=k) = ₃₀¹.

X E

E(X) = 1 + 30

2 = 15,5.

X(Ω) ={1,2,3}.

1, p(X = 1) = ¹⁵₃₀, 2, p(X = 2) = ¹⁰₃₀,

3, p(X = 3) = ₃₀⁵.

3

X E ={1,2,3}.

X(Ω) =E. k E, p(X=k) = ¹⁰₃₀.

X E

E(X) = 1 + 3 2 = 2.

(32)

Lois discrètes

1% 100

X

5 5

[2; 5].

100 2

S E

p(S) = 0,01, X

X n= 100 p= 0,01.

p(X = 5)≈ 0,0029.

p(X ≥5).

p(X ≥5) = 1−p(X <5) = 1−p(X ≤4).

p(X ≤4)≈0,9966.

p(X ≥5)≈0,0034.

p(2≤X ≤5) =p(X ≤5)−p(X <2) =p(X ≤5)−p(X ≤1).

p(X ≤5)≈0,9995 p(X ≤1)≈0,7358.

p(2≤X ≤5)≈0,9995−0,7358≈ 0,2637.

(33)

111

Lois à densité

b 1 f f(x) = _x¹ [1;b].

f

b f

b 1, f [1;b].

1

x ]0; +∞[, f [1;b], f

f Cf

A=

! b 1

f(x)dx

! b 1

f(x)dx=

! b 1

1

xdx= [lnx]^b₁ = lnb−ln 1 = lnb−0 = lnb A= lnb.

1, f

A=

! b 1

f(x)dx= 1 A= 1⇔lnb= 1⇔b=e.

f b=e.

(34)

Lois à densité

X f

y0.

P(1≤X ≤1,5).

m X

f X

[0,8; 1,7], f f(x) = _1,7₋¹_0,8 = _0,9¹ ≈ 1,111.

y0.

p(1≤X ≤ 1,5) =

! 1,5 1

f(x)dx=

! 1,5 1

1

0,9dx= 1 0,9

! 1,5 1

1dx= 1

0,9[x]^1,5₁ = 1

0,9(1,5−1) p(1≤X ≤ 1,5) = 0,5

0,9 ≈0,556.

X [0,8; 1,7],

p(1≤X ≤ 1,5) = 1,5−1

1,7−0,8 = 0,5

0,9 ≈0,556.

X [a;b]

E(X) = ^a+b₂ . m= ^1,7+0,8₂ = 1,25.