D1883. Réflexions sur réflexions MB
Dans le plan d’un triangle ABC on trace les points A’,B’ et C’ qui sont les réflexions d’un point P quelconque par rapport aux côtés BC,CA et AB.
Q1 Démontrer que les cercles (AB’C’), (BC’A’) et (CA’B’) sont concourants en un même point Q.
Q2 Déterminer le lieu de Q quand P décrit le cercle inscrit du triangle ABC.
Q1) Soit Q le deuxième point commun aux cercles (BA'C') et (AC'B').
(QA',QB') = (QA',QC')+(QC',QB') = (BA',BC') + (AC',AB')
(BA',BC') = 2(BC,BA) (composée de deux réflexions axes BC et BA = rotation autour de B ..) (AC',AB') = 2(AB,AC) (composée de deux réflexions axes AB et AC = rotation autour de A ..) (QA',QB') = 2(CB,CA) ( par somme des deux égalités précédentes )
2(CB,CA) = (CA',CB')
Donc (QA',QB') = (CA',CB') et le point Q est aussi sur le cercle (CA'B').
L
es cercles (AB’C’), (BC’A’) et (CA’B’) sont concourants en un même point Q.Q2)
(QB,QC) = (QB,QA')+(QA'QC) = (C'B,C'A') + (B'A',B'C) car (QBA'C') sont cocycliques ainsi que (QA'CB') .
Dans le triangle isocèle C'BA', 2(C'B,C'A')+ ( ⃗(BA'),(BC '⃗ )) = π mod 2π 2(C'B,C'A')+ 2(BC,BA)= π mod 2π, (C'B,C'A')+ (BC,BA)= π/2 mod π, De même dans le triangle isocèle B'A'C , (B'A',B'C) + (CA,CB) = π/2 mod π Quel que soit le point P dans le plan,
(QB,QC) = (C'B,C'A') + (B'A',B'C) = π/2 – (BC,BA) + π/2 – (CA,CB) = (AB,AC) mod π Q est donc toujours sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
En particulier si P se déplace sur le cercle inscrit, lorsque P fait un tour dans le sens
trigonométrique, on peut constater, avec géogébra, que Q fait deux tours dans le sens contraire sur le cercle circonscrit.
