Chapitre 6 Trigonométrie Leçon 17 Fonction trigonométrique

Chapitre 6 Trigonométrie

Leçon 17 Fonction trigonométrique

1. Fonction trigonométrique

Définition

En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions dont la variable est une mesure d'angle.

Plus généralement, les fonctions trigonométriques sont importantes pour

étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle aussi fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

2. Fonction périodique

En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période :

(

x p

)

f

( )

x

f + = .

3. Définitions à partir du cercle unité

Les fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle unité.

Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre 0 et π/2.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé

(

^O;i,j

)

, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.

Si l'on considère un point ^A

( )

^x,y sur le cercle, alors on a :

=x



cos , sin =y,



  cos tan = sin ,



  sin cot = cos ,

x 1 sin sec = 1 =

  ,

ec 1y

cos

cos = 1 =

 

 cot

cos sin

A

O



 tan

1) La function sinus

La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui a tout réel x associe son sinus.

Notation : f

( )

x =sinx, x

Courbe representative

3 /2 2

- /2 -

-3 /2 -2

-1

0 /2

1

x y

Propriété

- La fonction f

( )

x =sinx est définie sur D_f = et prend la valeur sur ^f ⁼



^−1;1



- La fonction f

( )

x =sinx est impaire : sin

( )

−x =−sinx, donc l’origine O

(

0;0

)

est centre de symétrie de la courbe.

- La fonction ^f

( )

^x =^sinx est continue et périodique de période 2 :

(

x 2

)

sinx

sin +  =

2) La fonction cosinus

La fonction cosinus, notée cos , est la fonction qui a tout réel x associe son cosinus.

Notation : f

( )

x =cosx, x

Courbe representative

3 /2 2

- /2 -

-3 /2 -2

-1

0 /2

1

x y

Propriété

- La fonction f

( )

x =cosx est définie sur D_f = et prend la valeur sur _f =



−1;1



- La fonction f

( )

x =cosx est paire cos

( )

−x =cosx donc l’axe des ordonnées

( )

Oy est axe de symétrie de la courbe

- La fonction f

( )

x =cosx est continue et périodique de période 2 :

(

^{x 2}

)

^cosx

cos +  =

3) La fonction tangente

La fonction tangente, notée tan, est la fonction qui a tout réel x +k ,k

2 



associe sa tangente.

Notation :

( )

 

k x

x x

f =  +

, 2

tan avec kZ

Courbe representative

3 /2 - /2

- -3 /2

2

-1 -2

0 /2

1

x y

Propriété

- La fonction f

( )

x =tanx est définie sur







 +

−



=  

k D_f

2 et prend la valeur sur _f =.

- La fonction f

( )

x =tanx est périodique de période : tan

(

x+

)

=tanx mais n’est pas continue.

4) La fonction cotangente

La fonction cotangente, notée cot, est la fonction qui a tout réel xk,k

associe sa cotangente.

Notation : f

( )

x =cotx, xk avec kZ

Courbe représentative

3 /2 - /2

- -3 /2

2

-1 -2

0 /2

1

x y

Propriété

- La fonction f

( )

x =cotx est définie sur D_f =−

 

k ,kZ avec et prend la valeur sur _f =.

- La fonction f

( )

x =cotx est périodique de période : cot

(

x+

)

=cotx mais n’est pas continue.

5) La fonction sécante

La fonction sécante, notée sec, est la fonction qui a tout réel x +k ,k

2 



associe sa sécante.

Notation :

( )

 

k x x

x x

f = =  +

, 2 cos

sec 1 avec kZ

Courbe représentative

3 /2 - /2

- -3 /2

2

-1 -2

0 /2

1

x y

Propriété

- La fonction f

( )

x =secx est définie sur







 +

−



=  

k D_f

2 et prend la valeur sur ^f ⁼



^−;−1

 

^1;+



.

- La fonction f

( )

x =cotx est périodique de période 2 : sec

(

x+2

)

=secx mais n’est pas continue.

6) La fonction cosécante

La fonction cosécante, notée cosec, est la fonction qui a tout réel xk,k

associe sa cosécante.

Notation :

( )

x k

ecx x x

f = = , 

sin

cos 1 avec kZ

Courbe représentative

3 /2 - /2

- -3 /2

2

-1 -2

0 /2

1

x y

Propriété

- La fonction f

( )

x =cosecx est définie sur D_f =−

 

k et prend la valeur sur _f =



−;−1

 

1;+



.

- La fonction f

( )

x =cosecx est périodique de période 2 : cosec

(

x+2

)

=cosecx

mais n’est pas continue.

Exemple 1 : Quelle est la période de la fonction f

( )

x =cos3x ? Solution

( )

x

f est périodique ^{ f}

(

^x+p

)

^{= f}

( )

^x On sait que cos

(

x+2

)

=cosx

Donc

( )





 

 +

= +

= 3

3 2 cos 2

3 cos 3

cos x x  x 

D’où la période de la fonction ^f

( )

^{x =cos3x} est

3 2

.

Exemple 2 : Quelle est la période de la fonction ^f

( )

^x =^tan2x ? Solution

On sait que tan

(

x+

)

=tanx

Donc

( )





 

 +

= +

=tan 2 tan2 2 2

tan x x  x 

D’où la période de la fonction f

( )

x =tan2x est

2

 .

Exemple 3 : Quelle est la période de la fonction f

( )

x =sin2x+ 3cos2x ? Solution

On a :

( )

_







 +

= +

= x x x x

x

f cos2

2 2 3 2sin 2 1 2 cos 3 2 sin

( )





 



 +

= x x

x

f cos2

sin3 2 3sin cos

2  

( ) ( )





 



 + +

=



 



 +



 



 +

=



 



 +

= 2 2sin 2 3

2 3 sin 3 2

2 sin

2     

x x

x x

f

D’où la période de la fonction f

( )

x =sin2x+ 3cos2x est .

Exemple 4 : Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la

fonction

( )





 

 −

=sin 3 x x

f .

Solution

La courbe représentative de la fonction

( )





 

 −

=sin 3 x x

f s’obtienne en glissant la courbe représentative de la fonction f

( )

x =sinx de

3

 unités vers la droite suivant l’axe

( )

Ox .

2 /3 4 /3

- /3 -2 /3

- -4 /3

-1

0 /3

1

x y

Exemple 5 : Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction ^f

( )

^{x =cosx+2}.

Solution

La courbe représentative de la fonction f

( )

x =cosx+2 s’obtienne en glissant la courbe représentative de la fonction ^f

( )

^x =^cosx de 2 unités vers le haut

suivant l’axe

( )

Ox .

3 /2 2 - /2

- -3 /2 -2

2 3

0 /2

1

x y

Exemple 6 : Déterminer le maximum et le minimum de la fonction

( )

x x x

f =cos +sin . Solution

On a :

( )

_







 +

= +

= x x x x

x

f sin

2 cos 2 2 2 2 sin cos

( )





 

 −

=



 



 +

= sin 2cos 4

sin4 4cos

cos

2   

x x

x x

f

Puisque 1

cos 4

1 



 

 −



− 

x

Alors 2

cos 4 2

2 



 

 −



− 

x

La fonction ^f

( )

^{x =cosx+sinx} possède le maximum 2 et la minimum − 2. Exemple 7 : Déterminer le maximum et le minimum de la fonction

( )

x =sin²x−sinx+2

f .

Solution On a :

( )

4 2 1 4 sin 1 2 2 1 sin 2 sin

sin² − + = ² −  + + −

= x x x x

x f

( )

4

7 2 sin 1

2

 +



 



 −

= x

x f

Lorsque

( )



( )







= +

=

=

 





−

=

=

4 4 7 4 9 4 7

1 sin

2 sin 1

x f

x f x

x

La fonction f

( )

x =^sin2x−^sinx+² possède donc : le maximum 4 et le minimum

4 7 .

Exemple 8 : Déterminer le maximum et le minimum de la fonction

( )

^{x x x}

f =6−4cos −sin² . Solution

On a : ^f

( )

^{x =6−4cosx−sin2x=6−4cosx−}

(

^1−cos2x

)

( )

x =cos²x−4cosx+5=cos²x−4cosx+4+1 f

( ) (

^{x = cosx−2}

)

²⁺¹

f

Lorsque

( )



( )



=

 =





=

−

=

2 10 1

cos 1 cos

x f

x f x

x

La fonction f

( )

x =^sin2x−^sinx+² possède donc : le maximum 10 et le minimum 2.

Exercices

1. Déterminer la période de chacune des fonctions suivantes.

1) f

( )

x =sin4x 2) f

( )

x =cot3x

3) ^f

( )

^x =^cos2x 4) ^f

( )

^x =^cos3xsinx 5) f

( )

x =sin²x

2. Tracer la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes.

1)

( )





 

 −

=cot 3 x x

f 2) f

( )

x =^cos2x+¹

3) f

( )

x = sinx −1 4) f

( )

x =2sinx+1 5)

( )





 

 +

=tan 3 x x

f

3. Déterminer le maximum ou le minimum de chaque fonction.

1) ^f

( )

^x = ^2cosx−^sinx 2) ^f

( )

^{x =cos2x−sinx}

3) f

( )

x =cos2x+2sinx 4) f

( )

x =4sin2x+3cos2x 5) f

( )

x =sin²x+3sinx−1 6) f

( )

x =sin²+3cos²x+sinx

Leçon 18 La limite et la dérivée

1. La limite

Théorème

1) = 

→ a

ax ax

x sin 1,

lim

0 2) = 

→ a

ax ax

x tan 1,

lim

0

3) ^{→ −}

( )

ax ^{= a} ax

x ,

2 1 cos lim1 ₂

0 4) − = 

→ a

ax ax

x 1 cos 0,

lim0

2. Application

Exemple 1 : Calculer

x x

x

5 limsin

→0

Solution

5 5 5 limsin 5 5

5 sin lim5 5

limsin

0 0

0 = = =

→

→

→ x

x x

x x

x

x x

x

Exemple 2 : Calculer ₂

0

2 cos lim1

x x

x

−

→

Solution

( )

2 2 2 0

2 2 0

0

sin lim2 sin

2 1 lim1 2

cos lim1

x x x

x x

x

x x

x→ → − − = →

− =

sin 2.1 2 lim

2

2

0  = =



 



= 

→ x x

x

Exemple 3 : Calculer

x x

x x

x 3 sin2

3 sin lim2

0 +

+

→

Solution

2 1 3

3 2 2

2 sin 3 2

3 3 sin 2 3 2 lim

3 sin 3 2 sin 2 lim

sin 3

3 sin lim2

0 0

0 =

+

= + +

= + +

= + +

+

→

→

→

x x x

x

x x x

x x

x

x x

x x

x

Exemple 4 : Calculer

1 cos

sin limtan

0 −

−

→ x

x x

x

Solution

(

cos 1

)

cos

cos sin limsin

1 cos cos sin sin 1 lim

cos sin limtan

0 0

0 −

= −

−

= −

−

−

→

→

→ x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x

( )

( )

lim

(

tan

)

0 1

cos cos

cos 1 limsin

0

0 = − =

−

= −

→

→ x

x x

x x

x x

Exemple 5 : Calculer

x x

x x

x sin cos

cot limtan

4 −

−

→

Solution

(

x x

)

x x

x x

x x

x x x

x x

x

x x

x x

x sin cos sin cos

cos lim sin

cos sin

sin cos cos

sin cos lim

sin

cot limtan

2 2

4 4

4 −

= −

−

= −

−

−

→

→

→  

( )( )

( )

^{2 2}

2 1 2 cos

sin cos limsin

cos sin

cos sin

cos sin

cos lim sin

4 4

= + =

− = +

= −

→

→ x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x  

Exemple 6 : Calculer

1 cos lim sin

2

0 −

→ x

x

x

Solution

( )( )

1 cos

cos 1 cos lim 1

1 cos

cos lim1 1 cos lim sin

0 2

0 2

0 −

+

= −

−

= −

− ^{→ →}

→ x

x x

x x x

x

x x

x

lim

(

1 cos

)

2

0 − − =−

= → x

x

Exemple 7 : Calculer



 −

→ x x

x 2

2 limsin

2

Solution Posons

2

2 2 t

x t

x− =  = +

Lorsque 0

2  →

→ t

x 

( )

t t t

t x

x

x x x

= +



 

 +

− = ^{→ →}

→









limsin 2

2 2 sin 2 lim

2 limsin

0 0

2

sin 1 lim

0− =−

= → t t

x

3. Dérivée d’une fonction trigonométrique Dérivée de la fonction ^f

( )

^x =^sinx

D’après la définition de la dérivée :

( ) ( ) ( )

h x f h x x f

f

o h

−

= + lim→

'

On a :

( ) ( )

h

x h

x x f

o h

sin limsin

' = + −

→

Puisque

( )





 



 + −



 



 + +

=

−

+ sin 2

cos 2 2 sin

sin x h x x h x

x h

x 



 



 



 

 +

= sin 2

cos 2

2 h h

x

( ) ( )

h

h x h

h

x h

x x f

h o

h



 



 



 

 +

− =

= +

→

→

sin 2 cos 2

2 sin lim

limsin '

0

( )

^{x x}

h h x h

x f

h

h cos .1 cos

2 sin 2 lim 2 . cos lim '

0

0 = =



 







 

 +

= → →

Théorème

1.

(

^sinx

)

^'=^cosx 4.

( )

x ₂ x

sin ' 1 cot =−

2.

(

cosx

)

'=−sinx 5.

(

secx

)

'=secx.tanx

3.

( )

x ₂ x

cos ' 1

tan = 6.

(

^cosecx

)

^'=−^cosecx.cotx

Corollaire

1.

(

sinu

)

'=u'.cosx 4.

( )

u

u u₂

sin ' '

cot =−

2.

(

^cosu

)

^'=−u'.sinx 5.

(

^secu

)

^{'=u'.secu.tanu} 3.

( )

u

u u₂

cos ' '

tan = 6.

(

cosecu

)

'=−u'cosecu.cotu

Exemple 7 : Calculer la dérivée 1. ^f

( )

^{x =sin}

(

^2x2+1

)

( ) (

^{2 1}

) (

^{'cos 2 1}

)

^{4 .cos}

(

^{2 1}

)

' x = x²+ x²+ = x x²+ f

2. ^f

( )

^{x =tan32x}

( ) ( ) ( )

x x x x

x x x

x x x

f cos 2

2 tan 6 2 cos . 2 2 tan 2 3

cos ' . 2 2 tan 3 ' 2 tan 2 tan 3

' ₂

2 2

2 2

2

2 = = =

=

3. f

( )

x =sinx−cos2x

( ) (

^{x x}

) (

^x

)

^x

( ) (

^{x x}

)

^{x x}

f' = sin '− cos2 '=cos − 2 '.−sin2 =cos +2sin2

4. f

( )

x =cos⁴x+tanx³

( ) ( ) ( )

x x x

x x

x x x x

f ₂

2 3

2 3 3

cos sin 3

cos 4 cos

'. 1 ' cos cos 4

' = + ₃ =− +

5. f

( )

x =sinxcot2x

( ) ( ) ( ) ( )

x x x

x x x

x x x

x

f sin 2

' . 2 sin 2 cot cos ' 2 cot sin 2 cot ' sin

' = + = − ₂

( )

x

x x x x

f sin 2

sin 2 2

cot cos

' = − ₂

6. f

( )

x =sec x

( ) ( )

^{x x}

x x x

x x

f sec .tan

2 tan 1

. sec '

' = =

Exercices

1. Calculer la limite.

1) x

x

x cos

3 limcos

2

→

2)

x x

x 1 cos

lim sin

2

+

→

3) x

x x

x sin

cos 3 limcos

0

−

→ 4)

x x

x 2

3 limsin

→0

5) x

x x

x 2

2 cos 4 limcos

0

−

→ 6)

x x

x 2

lim cos

2 −

→^

2. Calculer la dérivée de chacune des fonctions.

1) f

( )

x =2sinx−3cosx 2) ^f

( )

^{x =tan23x}

3) f

( )

x =sin³x−cos³x 4) f

( )

x =ln

(

2+cosx

)

5) ^f

( )

^{x =tan}

(

^1+x4

)

^{6) f}

^{( )}

^{x =ln}

(

^1+cot2x

)

7)

( )

x x x

f 1 cos

sin

= + 8) ^f

( )

^{x =x3sinx2}

9) f

( )

x =sinx.sin2x 10)

( )

tan

(

2 1

)

1

= + x x f