Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique UNIVERSITE de JIJEL
oOo
Département de Génie Civil et D’hydraulique
En vue de l’obtention du Diplôme de MASTER ACADEMIQUE
Filière : hydraulique Option : hydraulique urbaine
Etude de la distribution des vitesses dans les conduites d’assainissement
Présenté par : Promoteur: Mr. LABIOD Chouaib ZAIT Mohammed
BOULMAIZ Ahcene
Promotion 2018
Remerciements
En cette mémorable occasion, et avant toute chose nous remercions avant tout Allah de nous avoir gardés en bonne santé afin de mener à bien ce projet de fin
d’étude.
Nous tenons à exprimer nos sincères remerciements et notre profonde gratitude à et en particulier Monsieur le promoteurs LABIOD Chouaib, pour son aide, son expérience et sa compétence, c’est grâce à ses précieux conseils et remarques qu’on a
pu faire ce modeste travaille.
Nous Remercions Egalement Tous Les Enseignants Qui Ont Contribue A Notre Formation Avec Beaucoup De Compétence Et De Dévouement.
Nos Remerciements S’adressent, Egalement, Aux Membres De Jury Pour L’interet Qu’ils Ont Porte A Notre Travail.
En Fin, Nos Plus Vifs Remerciements S’adressent A Tous Ceux Qui Nous ont Aide, Encouragé Et Soutenu.
Dédicaces
Je dédie ce modeste travail à :
A mes très chers parents, A mes frères et sœurs.
A tout ma famille.
A tous mes amis.
BOULMAIZ AHCENE
Je dédie ce mémoire :
A mes chers parents, ma mère et mon père Pour leur patience, leur amour, leur soutien et leurs
encouragements.
A mon frère et mes sœurs.
A mes amies et mes collègues.
ZAIT MOHAMMED
SOMMAIRE
I
Table des matières
Introduction générale……….1
Chapitre I : Etat de l’art sur les écoulements dans les conduites d’assainissement I.1 Introduction : ... 3
I.2 Ecoulement à surface libre ... 3
I.2.1 Définition ... 3
I.2.2 Types d’écoulements à surface libre ... 4
I.2.2.1. Variabilité dans le temps ... 4
I.2.2.2. Variabilité dans l’espace ... 4
I.2.2.3 Ecoulement laminaire ou turbulent : ... 6
I.2.2.4 Ecoulement fluvial, critique et torrentiel ... 6
I.3 Différentes formes des conduites d’assainissement ... 7
I.3.1 Les conduites de section circulaire : ... 7
I.3.1.1 Caractéristiques hydrauliques et géométriques ... 7
I.3.2 Les conduites de section ovoïde : ... 9
I.3.2.1 Caractéristiques géométriques ... 11
I.3.2.2 Variation des caractéristiques de l’écoulement ... 12
I.4 Distribution de vitesse dans les conduites d’assainissement ... 13
I.4.1 Vitesse moyenne ... 14
I.4.2 Vitesse locale ... 15
I.4.3 Choix de la vitesse dans le dimensionnement ... 16
I.4.3.1 Conditions d’auto- curage : ... 16
I.5 Quelques travaux sur la distribution de vitesse dans les conduites d’assainissement ... 17
I.5.1 Etude expérimentaux Bonakdariet al 2007 ... 17
I.5.2 Etude numérique de Bonakdariet al 2007 ... 21
I.5.3 Etude de Bardiaux et al (2007) ... 23
I.6 Conclusion ... 25
II Chapitre II : Modélisations numériques de l’écoulement dans une
conduite d’assainissement
II.1 Introduction ... 26
II.2 Equations régissant l’écoulement ... 26
II. 3 Modélisation de la turbulence (RANS) ... 27
II.3.1 L’approche statistique basée sur la décomposition de Reynolds ... 27
II.3.2 Modèles de Turbulence ... 29
II.3.2 .1 Modèles à zéro équation ... 30
II.3.2 .2 Modèles à une équation ... 30
II.3.2 .2.1 Equation de l’énergie cinétique turbulente k ... 30
II.3.2 .2.2 Modélisation des termes de transport ... 31
II.3.2.3 Modèles à deux équations (modèle k-ε standard) ... 32
II.3.2 .4 Modèles de transport du tenseur de Reynolds ... 33
II.3.2 .4.1 Modélisation des termes de dissipation et de diffusion ... 34
II.3.2 .4.2 Modélisation du terme de redistribution ... 34
II.3.3 Traitement de l’écoulement près des parois et de la surface libre ... 36
II.3.3.1 La sous-couche linéaire ... 36
II.3.3.2 La zone tampon ... 37
II.3.3.3 La zone logarithmique ... 37
II.4 Conclusion ... 38
Chapitre III : Méthode de résolution III.1 Introduction ... 39
III.2 Méthode des volumes finis ... 39
III.2.1 Principe ... 40
III.2.1.1 Volume de contrôle ... 41
III.2.2. Formulation générale de l’équation de transport ... 41
III
III.2.3 Discrétisation de l’équation générale de transport à l’aide de la méthode des volumes
finis ... 42
III.2.3.1. Intégration de l’équation générale de transport sur le volume de contrôle ... 43
III.2.3.2 Discrétisation du terme de convection ... 46
III.2.3.2.1 Le schéma de différence centrée (SDC)………...46
III.2.3.2.2 Le schéma de discrétisation amont (UPWIND)………..48
III.2.3.2.3 Le schéma hybride………..49
III.2.3.2.4 Le schéma de loi de puissance (power-law) ………..50
III.2.4 Algorithmes de couplage pression-vitesse ... 52
III.2.4.1 Choix de la méthode de couplage pression-vitesse ... 52
III.2.4.2. Algorithme SIMPLE de Patankar pour le couplage pression-vitesse ... 52
III.2.5 Démarche de simulation ... 57
III.2.5.1 Le préprocesseur GAMBIT : ... 57
III.2.5.2 Le solveur FLUENT : ... 58
III.2.5.3 Le post-processeur ... 58
III.2.5.4 Géométrie ... 58
III.2.5.5 Maillage ... 59
III.3 Conditions aux limites ... 59
III.3.1 Conditions à l’entrée ... 59
III.3.2 Conditions à la sortie ... 59
III.3.3 Conditions au plan de symétrie ... 60
III.3.4 Conditions à la surface libre ... 60
III.4 Conclusion ... 60
Chapitre IV : Résultats des simulations IV.1 Introduction : ... 61
IV.2 Sensibilité au maillage ... 61
IV.3 analyse des résultats : ... 64
IV.3.1 section circulaire ... 64
IV.3.1.1 Profils verticaux de la vitesse longitudinale ... 68
IV.3.2 Section ovoïdale et ovoïdale avec banquette ... 70
IV.3.2.1 section ovoïde ... 70
IV
IV.3.2.2 Profils verticaux de la vitesse longitudinale (conduite ovoïdale) ... 73 IV.3.2.3 Section ovoïdale avec banquette ... 75 IV.3.2.4 Profils verticaux de la vitesse longitudinale (conduite ovoïde avec banquette)..79 IV.4 conclusion ... 80
Conclusion générale……….81
Références bibliographiques ...82
LISTE DES
FIGURES
V
Liste des figures
Figure I.1. Définitions des principaux paramètres ... 3
Figure I.2 : schémas écoulement permanent & non permanent ... 4
Figure I.3 : Schéma des différents régimes d’écoulement à surface libre ... 5
Figure I.4 : Schéma synthèse des différents régimes d’écoulement à surface libre ... 5
Figure I.5 : (a) Ecoulement laminaire, (b) écoulement turbulent ... 6
Figure I.6: Schéma de définition de l’écoulement uniforme en conduite circulaire ... 8
Figure I.7: Les grandeurs géométriques d’une section circulaire dans un écoulement ... 9
Figure I.8 : collecteurs ovoïdes avec cunette et banquette ... 11
Figure I.9 : conduites ovoïdes ... 11
FigureI.10 : Schéma de définition de la conduite ovoïdale ... 12
Figure I.11 : Variation du périmètre mouillé relatif P / D en fonction du taux de remplissage ... 12
Figure I.12 : Variation de la section relative en fonction du taux de remplissag…..13
Figure I.13 : Variation du rayon hydraulique relatif en fonction du taux de remplissage . ... 13
Figure I.14. Distribution des vitesses longitudinales dans une section ... 14
Figure I.15 : Profils de vitesse au centre d’un canal à distance de toute singularité ... 14
Figure 1.16 Exemple de discrétisation d’un champ de vitesses en éléments de surface associé chacun à une vitesse locale ... 15
Figure I.17 : section transversale (ovoïde avec banquette) ... 18
Figure I.18 : (cerbère) dans la préparation ... 18
Figure I.19 : section transversale (Jardin des plantes) ... 19
Figure I.20 : mise en place de fix drop ... 20
Figure I.21 : mesure des vitesses faites avec cerbères (cordon bleu) ... 21
Figure I.22 : mesure des vitesses faites avec fix drop (Jardin des plantes) ... 21
Figure I.23 : comparaison entre les résultat Expérimentaux et numérique avec un fort remplissage pour cordon bleu. ... 23
Figure I.24 : comparaison entre les résultat Expérimentaux et numérique avec un fort remplissage pour jardin des plantes. ... 23
Figure I.25 : la distribution des vitesses dans une conduite circulaire ... 24
Figure I.26 : profile de vitesse de l’axe centrale (conduite circulaire) ... 24
Figure I.27 : profile de vitesse de l’axe centrale (conduite ovoïde) ... 25
VI
Figure III.1 : différente forme de volume de contrôle ... 41
Figure III.2 : Volume de fluide pour un écoulement bidimensionnel (Patankar.s. v,1980)...43
Figure III.4 : Disposition des grilles décalées pour les vitesses ̅ et ̅ et la pression ̅ .. .. 53
Figure III.5 : Organigramme de la méthode SIMPLE (Hamani,2014) ... 56
Figure IV.1 : maillage à 352 mailles ... 61
Figure IV.2 : maillage à 628 mailles ... 62
Figure IV.3 : profile de vitesse avec un maillage de 352 maille ... 62
Figure IV.4 : profile de vitesse avec un maillage de 628 maille ... 63
Figure IV.5 : distribution de vitesse avec un maillage de 352 maille ... 63
Figure IV.6 : distribution de vitesse avec un maillage de 628 maille ... 64
Figure IV.7 : profil de vitesse de l’axe centrale (conduite circulaire) ... 65
Figure IV.8 : profil de vitesse à une distance de 2R/3 (conduite circulaire)………..66
Figure IV.9 : profil de vitesse à une distance de (-2R/3) (conduite circulaire)………66
Figure IV.10 : conteur de l’énergie cinétique turbulente k (m2/s2) ... 67
Figure IV.11 : frottement à la paroi (conduite circulaire) ... 68
Figure IV.12 : position des profile étudier (section circulaire) ... 69
Figure IV.13: profile logarithmique pour différente position dans la section (circulaire) ... 69
Figure IV.14: maillage de la conduite ovoïde (symétrique) ... 70
Figure IV.15 : profile de vitesse de l’axe central (conduite ovoïde) ... 71
Figure IV.16 : distribution de vitesse (conduite ovoïde) ... 72
Figure IV.17: conteurs de la turbulence (conduite ovoïde) ... 72
Figure IV.18: frottement à la paroi (conduite ovoïdale)... 73
Figure IV.19 : position des profile étudier (section ovoïde) ... 74
Figure IV.20 : profile de loi logarithmique pour différente position dans la section (ovoïde)74 Figure IV.21: maillage de la conduite ovoïde avec banquette (symétrie) ... 75
Figure IV.22 : profile de vitesse de l’axe central (conduite ovoïde avec banquette) ... 76
Figure IV.23: distribution de vitesse (conduite ovoïde avec banquette) ... 77
Figure IV.24 : conteurs de la turbulence (conduite ovoïde avec banquette) ... 77
Figure IV.25 : frottement à la paroi (conduite ovoïde avec banquette)... 78
Figure IV.26 : position des profile étudier (section ovoïde avec banquette) ... 79
VII
Figure IV.27: profile de loi logarithmique pour différente position dans la section (ovoïde avec banquette) ... 79
LISTE DES
TABLEAUX
VIII
Liste des tableaux
Tableau I.1 : équivalence des conduites circulaire à celles ovoïdes ... 9
Tableau I.2 : condition d’auto- curage ... 16
Tableau I.3 : la frontière et les conditions aux limite ... 22
Tableau II.1 : Coefficients standards du modèle k- ɛ standard………..33
Tableau III.1 : Tableau récapitulatif des équations de transport en utilisant le modèle RSM ... 42
Tableau III.2 : coefficients de l’expression (III.20) ... 47
Tableau III.3 : Interpolation du flux Фi des faces en fonction du sens d’écoulement ... 48
Tableau III.4 : Expressions des coefficients résultants du schéma UPWIND ... 49
Tableau III.5 : Interpolation du flux de la face w par le schéma hybride ... 50
Tableau III.6 : Expressions des coefficients résultants du schéma Hybride ... 50
Tableau III.7 : Interpolation du flux de la face e pour le schéma Power-law ... 51
Tableau III.8 : Expressions des coefficients résultant du schéma Power-law ... 51
Tableau IV.1 : Les caractéristiques hydrodynamiques ... 61
Tableau IV.2 : Conditions à l’entrée pour la simulation (conduite circulaire) ... 64
Tableau IV.3 : coefficients standards du model k- standard ... 65
Tableau IV.4 : paramètre hydraulique de la section ovoïdale ... 70
Tableau IV.5 : conditions à l’entrée pour la simulation (conduite ovoïde) ... 71
Tableau IV.6 : paramètre hydraulique de la section ovoïde avec banquette ... 75
Tableau IV.7 : condition à l’entrée pour la simulation (conduite ovoïde avec banquette) ... 76
NOMENCLATURES
IX
Nomenclatures
a Ar
constante dans les fonctions de proximité de surface rapport de la largeur au miroir et du tirant d’eau
[m]
b largeur de la surface libre
C Constante d’intégration de la loi logarithmique [m]
Cu constante empirique égale à 0.09
D diamètre d’une conduite circulaire [m]
dsi l’élément de surface
F nombre de Froude
⃗ ,t) ̅
’
moyenne à partir d’un ensemble N moyenne d’ensemble
partie fluctuate
𝑢 coefficient de proportionnalité
Fi Force de volume par unité de volume due à la gravité
G accélération de la pesanteur [m/s²]
hn hauteur de tirant d’eau normal [m]
h c hauteur critique [m]
Hr le rapport du niveau d'eau [m]
I pente de fond d’un canal It l’intensité de la turbulence Ic pente critique de fond d’un canal K énergie cinétique turbulente KMS coefficient de Manning Strickler
L largeur de canal à la surface libre [m]
L0 taille caractéristique [m]
lk échelle de taille des plus petits tourbillions
Lm Longueur de mélange [m]
M coefficient d’obstruction
⃗⃗ vecteur normal à la surface considérée de l’élément
P périmètre mouillé [m]
P
̅ ̅ Pression
Pression moyenne
[Pa]
P’ fluctuation de pression [Pa]
Q Débit [m3/s]
Re nombre de Reynolds
Rh rayon hydraulique [m]
RK
Rϕ
nombre de Reynolds des tourbillons dissipatifs.
somme absolue des résidus correspondant à la variable ϕ
[m]
S terme source
Sm
section mouillé
source estimée au noeud P du volume de contrôle considéré.
source liée aux conditions aux limites.
[m²]
Sij tenseur de taux de déformation terme source de la propriété
t variable de temps [s]
La composante de la vitesse locale [m/s]
X
u composantes des vitesses suivant l’axe X [m/s]
ui composante de la vitesse suivant la direction i [m/s]
uj composante de la vitesse suivant la direction j [m/s]
uk vitesse caractéristique des plus petits tourbillons [m/s]
uτ vitesse de frottement à la paroi vitesse adimensionnelle
̅ vitesse moyenne
𝑢 la vitesse de frottement
̅̅̅̅̅̅
tension de Reynolds
V vitesse d’écoulement [m/s]
Vmoi la vitesse moyenne de l’écoulement [m/s]
VMS la vitesse de Manning Strickler
X coordonnée d’espace adimensionnelle
x coordonnée suivant l’axe Z [m]
Y coordonnée d’espace adimensionnelle
y coordonnée suivant l’axe Y [m]
y distance à partir de la paroi [m]
y+ distance adimensionnelle Profondeur normale
z coordonnée suivant l’axe Z [m]
ϕ variable indépendante (Pression, les deux composantes de la vitesse…) Propriété moyenne transportée
µ viscosité dynamique 𝜇𝑡 la viscosité turbulente
ν viscosité cinématique [m2/s]
ka constante de Von-Karman
masse volumique [kg/m3]
τij tenseur de contraintes visqueuses, et i et j des indices (i, j=1,2,3) contrainte de cisaillement pariétale
le frottement total
ij symbole de Kronecker
ɛ taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente [m2/s3] σk nombre de Prandtl turbulent associés à k
σɛ nombre de Prandtl turbulent associés à ɛ
Coefficient de diffusion de la propriété
Abréviation
CFD Computationnal Fluid Dynamics
DNS Direct Numerical Simulation en anglais LES Large Eddy Simulation
RANS Reynolds Averaged Navier stokes
11
INTRODUCTION
GENERALE
1
Introduction générale
Les écoulements à surface libre dans les milieux naturels ou urbanisés se produisent en général dans des configurations complexes en raison de changement de la section, d’une distribution non homogène de la rugosité ou des déformations importantes de la surface libre.
Dans de telles situations, l’écoulement, turbulent, est fortement anisotrope et sa résolution numérique nécessite le choix d’un modèle qui doit intégrer correctement tous les processus présents dans l’équation de transport des grandeurs turbulentes. A cela s’ajoute la prise en compte des conditions aux limites aux parois et à la surface libre qui est souvent une tache non aisée.
Les écoulements dans les conduites d’assainissement unitaires ou mixtes présentent des configurations semblables à celles suscitées. Leur résolution numérique par des modèles de turbulence permet de mieux connaitre la distribution des vitesses et donc mieux cerner des problèmes liés au transport solide et de polluants (Laratte et al 2007).
Dans le cadre de cette étude nous avons étudié par voie de simulation numérique la distribution de vitesse dans les conduites d’assainissement. Nous nous sommes intéressées à l’influence de la forme de la section sur la distribution de la vitesse. Trois formes géométriques ont été étudiées : circulaire, ovoïdale et ovoïdale avec banquette. La résolution de l’écoulement a été réalisée à l’aide du logiciel Fluent dans sa version monophasique. Les résultats sont encourageants bien que le lien entre la distribution de la vitesse et le pouvoir d’auto-curage de la conduite n’a pas été abordé dans le cadre de ce mémoire faute de temps.
Ce mémoire est organisé en 4 chapitres.
Dans le premier chapitre nous présentons un rappel sur des éléments de base des écoulements à surface libre et une synthèse bibliographique sur quelques travaux antérieurs en relation avec notre sujet. Nous définissons les écoulements à surface libre avec leurs types, et présentons les différentes formes de conduites qui sont utilisées dans les réseaux d’assainissement. Ensuite nous abordons la distribution de vitesse dans les conduites d’assainissement, nous nous intéresserons à la vitesse moyenne et la vitesse locale et leur choix dans les conduites. En fin nous présentons deux travaux réalisés par Larrarte et ses collaborateurs.
2
Le deuxième chapitre est consacré à la modélisation mathématique du problème étudié.
On y présente les équations de Navier-stokes, la modélisation de la turbulence et les différents modèles utilisés pour la fermeture du système. Enfin nous présentons le traitement de l’écoulement près des parois et de la surface libre.
Dans le troisième chapitre nous présentons le code de calcul ANSYS-Fluent et le fonctionnement de la méthode des volumes finis utilisé pour la résolution d’un écoulement turbulent incompressible.
Le quatrième chapitre contient les résultats issus de la résolution de l’écoulement des trois simulations réalisées sur des conduites de section circulaire, ovoïdale et ovoïde avec banquette et leur discussion.
CHAPITRE IV
RESULTATS DES
SIMULATIONS
3 I.1 Introduction :
Ce chapitre est dédié à un rappel sur des éléments de base des écoulements à surface libre et une synthèse bibliographique sur quelques travaux antérieurs en relation avec notre sujet.
Nous commencerons par défini l’écoulement à surface libre avec leurs types, et présenté les différentes formes de conduite qui sont utilisé dans les réseaux d’assainissement. Ensuite nous abordons la distribution de vitesse dans les conduites d’assainissement, nous nous intéresserons à la vitesse moyenne et la vitesse locale et leur choix dans les conduites. En fin nous avons présente deux travaux qui fait par larrarte et ses collaborateurs.
I.2 Ecoulement à surface libre
I.2.1 Définition
L’écoulement à surface libre est un écoulement de liquide présentant une surface libre du liquide (en contact avec l’atmosphère) et dont la forme peut varier. Une variation engendrée par les changements des dimensions du chenal, notamment sa section transversale. Donc c’est tout l’opposé de l’écoulement sous pression ou écoulement forcé, généré par une source de pression artificielle alors qu’en écoulement de surface, le mouvement de l’eau est assuré par la gravité. Ce type d’écoulement s’effectue dans des canaux voire même des conduites dont la surface d’eau est à l’air libre (Zella,2015).
Figure I.1. Définitions des principaux paramètres
4
I.2.2 Types d’écoulements à surface libre
On peut définir les écoulements suivant la variabilité des caractéristiques hydrauliques telles que le tirant d’eau et la vitesse en fonction du temps et de l’espace.
I.2.2.1. Variabilité dans le temps
Le mouvement est permanent (ou stationnaire) si la vitesse U et la profondeur h restent invariables dans le temps en grandeur et en direction. Le mouvement est non permanent dans le cas contraire. La figure I.2 illustre les deux types d’écoulement considérés par rapport à une variabilité dans le temps.
Figure I.2 : schémas écoulement permanent & non permanent
L’écoulement dans les canaux est rarement permanent. Néanmoins les variations temporelles sont, dans certains cas, suffisamment lentes pour que l’écoulement puisse être considéré comme une succession de régime permanent. On peut alors ainsi définir le régime quasi-permanent.
I.2.2.2. Variabilité dans l’espace
La figure 1.3 ci-après illustre une synthèse des différents types d’écoulement considérés par rapport à une variabilité dans l’espace, à savoir : Le mouvement est uniforme si les paramètres caractérisant l’écoulement restent invariables dans les diverses sections du canal. La ligne de la pente du fond est donc parallèle à la lignede la surface libre.
5
Figure I.3 : Schéma des différents régimes d’écoulement à surface libre
L’écoulement est non-uniforme ou varié si les paramètres caractérisant l’écoulement changent d’une section à l’autre. La pente de la surface libre diffère de celle du fond.
Un écoulement non-uniforme peut être accéléré ou décéléré suivant que la vitesse croît ou décroît dans le sens du mouvement.
Lorsque l’écoulement est graduellement varié, la profondeur ainsi que les autres paramètres varient lentement d’une section à l’autre.
Lorsque l’écoulement est rapidement varié, les paramètres qui le caractérisent changent brusquement, parfois avec des discontinuités. Cela se manifeste en général au voisinage d’une singularité, telle qu’un seuil, un rétrécissement, un ressaut hydraulique ou une chute brusque (Graf etAltinakar,1995)
Pour récapituler, La figure I.4 synthétise les différents types d’écoulements à surface libre rencontrés :
Figure I.4 : Schéma synthèse des différents régimes d’écoulement à surface libre
6
I.2.2.3 Ecoulement laminaire ou turbulent :
Pour des vitesses faibles, les particules d’un fluide se déplacent selon des couches ordonnées les unes au-dessus des autres et les filets liquides qui le composent sont parallèles et juxtaposés : l’écoulement est dit laminaire (Figure I-5a). Inversement, le régime d’un écoulement turbulent se caractérise par la fluctuation spatiotemporelle des vitesses et des pressions au sein de la veine liquide, générant une agitation interne. L’écoulement turbulent présente un caractère tourbillonnaire. La taille, la localisation et l’orientation des tourbillons varient constamment. Les phénomènes turbulents sont tridimensionnels et les trajectoires sont imprévisibles.
Figure I.5 : (a) Ecoulement laminaire, (b) écoulement turbulent
Le régime d’un écoulement est caractérisé par le nombre adimensionnel de Reynolds (Re) :
(I.1)
Avec :
: vitesse de l’écoulement [m/s],
Rayon hydraulique [m],
: Viscosité cinématique du fluide (10-6 m2/s à 20°C).
Un écoulement à surface libre est dit :
Laminaire si Re < 500 ;
Transition si 500 <Re < 2000 ;
Turbulent si Re > 2000.
On note que dans les réseaux d’assainissement, on ne rencontre généralement que des écoulements turbulents à cause des fortes fluctuations de vitesse (Randrianarimanana,2016).
I.2.2.4 Ecoulement fluvial, critique et torrentiel (nombre de Froude)
L’écoulement d’un fluide réel dans un canal à surface libre est le siège des forces suivantes : force de gravité, et force de frottement (viscosité et rugosité).
7
L’effet de la gravité sur le régime d’écoulement est représenté par le nombre de Froude qui est le rapport entre les forces d’inertie et les forces de pesanteur, il exprimé par :
√ (I.2)
Si F < 1 : l’écoulement est en régime Fluvial (Sub-critique). Dans ce cas, l’effet de la gravité est plus prononcé, ceci se traduit par une faible vitesse d’écoulement ;
Si F = 1 : L’écoulement est en régime Critique ;
Si F > 1 : L’écoulement est en régime Torrentiel (Supercritique), les forces d’inertie sont Prépondérantes et ceci se traduit par une importante vitesse d’écoulement. (Carlier,1972).
I.3 Différentes formes des conduites d’assainissement
Les collecteurs présents en réseau d’assainissement urbain sont, à plus de 50%, de sections circulaires ou ovoïdes.
I.3.1 Les conduites de section circulaire :
La conduite circulaire est utilisée pour l’évacuation des eaux dans les domaines de l’assainissement et de l’aménagement. En assainissement, nous rencontrons :
Les conduites métalliques.
Les conduites en amiante ciment.
Les conduites en béton armé et non armé.
Les conduites en gré.
Les conduites en polyéthylène (haute densité).
Les conduites en polychlorure de vinyle non plastifié.
L’utilisation des conduites circulaires est réservée pour les faibles sections. Parrapport aux autres formes de sections, la forme circulaire est très simple à fabriquer. Elle peut être utilisée pour les grandes sections avec certains inconvénients :
Largeur importante de la tranchée.
Vitesse d'écoulement faible pour des tirants d'eau faibles dans les sections de la canalisation, d'où surgit la difficulté du curage et d'entretien.
I.3.1.1 Caractéristiques hydrauliques et géométriques
Les caractéristiques de la conduite circulaire partiellement occupée par l’écoulement sont, en particulier :
i. L’aire de la section mouillée , telle que :
[ ( ) ( )√ ( )] (I.3)
8
Avec :
/D appelé paramètre de forme de la section mouillée ou rapport d’aspect est souvent désigné sous le terme de taux de remplissage de la conduite.
Profondeur normale
D : diamètre interne de la conduite circulaire
Figure I.6: Schéma de définition de l’écoulement uniforme en conduite circulaire
Il apparaît ainsi que l’aire de la section mouillée est fonction du diamètre D de la conduite et du taux de remplissage.
La relation (I.3) peut s’écrire :
() ( ) (I.4) Où :
( ) ( ) (I.5)
( ) ( )√ ( )
( ) (I.6) Pour une conduite circulaire entièrement remplie, correspondant à 1, nous pouvons déduire des relations (I.5) et (I.6) respectivement que (=1) = et (=1) 1
ii. Le périmètre mouillé P, tel que :
P = ( ) (I.7) Ou bien :
P= ( ) (I.8) Le périmètre mouillé P est donc aussi fonction du diamètre D de la conduite et du taux de remplissage .
9
iii. Le rayon hydraulique :
(I.9) Qui s’exprime, en ayant recours aux relations (I.4) et (I.8), par : (Achour. 2013)
( ) (I.10)
Figure I.7: Les grandeurs géométriques d’une section circulaire dans un écoulement
I.3.2 Les conduites de section ovoïde :
Pour réduire le dépôt solide, le profil circulaire est remplacé par la forme ovoïde, quand le diamètre dépasse généralement 800mm. Par fois le problème d'auto curage dans la canalisation circulaire est résolu en leur adjoignant une cuvette de petit diamètre. D'après le catalogue de fabrication, les diamètres des conduites circulaires équivalents aux conduites ovoïdes de hauteur H sont données comme suit, (Tableau I.1).
Tableau I.1 : équivalence des conduites circulaire à celles ovoïdes
Hauteur H (cm) Diamètre (mm)
100 800
130 1000
150 1200
180 1400
200 1500
10
La forme ovoïde de ces conduites a été mise au point afin d’obtenir une vitesse d’écoulement la moins variable possible en fonction du remplissage. Les formes des conduites ovoïdes sont variables mais une norme régit les dimensions des sections préfabriquées :
De plus la forme de ces canalisations permet de les rendre plus facilement visitables
Leurs longueurs utiles et d’au moins un mètre.
Leurs assemblages sont à joints à mi épaisseur ou à tulipe.
Il existe trois classes de résistance pour les tuyaux ovoïdes :
Les classes d’ovoïdes armés A1 et A2.
La classe non armé B.
Les conduites de forme ovoïdale ont une longueur minimale de 1m. Leur section est de forme parabolique formée d’une succession de plusieurs arcs de cercles et fermée à sa partie supérieure.
Cette forme permet d'obtenir une vitesse d'écoulement aussi constante que possible pour de grandes variations du niveau d'eau. Leur utilisation est très demandée dans le cas où l'ouvrage est visitable. L'opération de chemisage est très facile à condition que l'épaisseur de la couche du béton interne ne dépasse pas 10 cm. Nous distinguons :
Les conduites à cunettes qui présentent un bon écoulement notamment si les eaux sont chargées, pour éviter les dépôts. (FigureI.8a).
Les conduites à cunettes et banquettes (figureI.8b et I.8c) utilisées pour les collecteurs principaux visitables des grandes villes. La cunette est utilisée pour l'écoulement en temps sec.
La banquette est utile pour la circulation en cas d'entretien de la canalisation et des câbles téléphoniques fixés à l'intérieur (Boualem .2014).
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Figure I.8 : collecteurs ovoïdes avec cunette et banquette
Figure I.9 : conduites ovoïdes I.3.2.1 Caractéristiques géométriques
L’une des formes de la conduite ovoïdale considérées dans la présente étude est celle représentée par la figure I.10 La conduite est caractérisée par une hauteur D correspondant au diamètre du cercle ( )et de centre .(Achour 2011).
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FigureI.10 : Schéma de définition de la conduite ovoïdale
I.3.2.2 Variation des caractéristiques de l’écoulement
Les caractéristiques adimensionnelles de l’écoulement, en particulier le périmètre mouillé relatif , l’aire de la section mouillée relative et le rayon hydraulique relatif ⁄ sont représentées graphiquement sur les figures suivantes (Achour, 2014).
Figure I.11 : Variation du périmètre mouillé relatif P / Den fonction du taux de remplissage
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Figure I.12 : Variation de la section relative en fonction du taux de remplissage
Figure I.13 : Variation du rayon hydraulique relatif ⁄ en fonction du taux de remplissage .
I.4 Distribution de vitesse dans les conduites d’assainissement
Le profil vertical de la vitesse longitudinale peut être représenté comme sur la Figure I.14 avec une vitesse qui croît du fond vers la surface et des parois vers le plan médian de l’écoulement.
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Figure I.14. Distribution des vitesses longitudinales dans une section (larrarte et al 2016) En fait, cette schématisation correspond au cas de canaux larges caractérisés par un facteur d’aspect Ar supérieur à 5, où Ar=B/h est le rapport de la largeur au miroir B et du tirant d’eau h. Pour les canaux larges la vitesse maximale est au niveau de la surface (Figure 15a). Pour les canaux étroits (Ar < 5), la distribution des vitesses présente un « dip-phenomenon » (phénomène de plongée) c’est-à-dire que la vitesse maximale est située au-dessous de la surface libre (Figure 15b).
Les collecteurs de section circulaire ou ovoïde ont un facteur d’aspect inférieur à 5 (Figure 15b). On observe donc souvent un maximum de vitesse situé en-dessous de la surface libre.
Figure I.15 : Profils de vitesse au centre d’un canal à distance de toute singularité (larrarte et al 2016)
I.4.1 Vitesse moyenne
La vitesse moyenne que l’on souhaite mesurer dans une section est le rapport du débit à lasection mouillée : c’est la moyenne de la composante longitudinale (i.e. perpendiculaire à la
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section) des vitesses de toutes les particules fluides qui passent à travers la section à un instant donné. Cette vitesse moyenne peut être approchée en échantillonnant ‘n’points répartis dans la section :
(I.11) Q : débit d’écoulement (m3/s)
Sm : la section mouillée (m2)
(I.12)
:Est la composante de la vitesse locale : l’élément de surface associé à cette vitesse I.4.2 Vitesse locale
La vitesse locale (moyennée dans le temps) ; au point d’indice i qui est perpendiculaire à la section à travers laquelle on évalue le débit, et est l’élément de surface associé à cette vitesse (Figure I.16). Généralement, le débit est déterminé dans une section perpendiculaire à la direction principale Ox de l’écoulement et donc est la composante longitudinale de la vitesse.
Figure 1.16 Exemple de discrétisation d’un champ de vitesses en éléments de surface associé chacun à une vitesse locale (larrarte et al 2016)
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En pratique, pour des raisons technologiques, la plupart des capteurs de vitesse ne mesurent qu’une composante de la vitesse, définie par une direction arbitraire (suivant l’axe de mesuredu capteur), qui est généralement différente de l’axe de l’écoulement. La mesure intègre donc toutes les composantes de la vitesse, sans qu’il soit possible de les dissocier autrement qu’enconsidérant que la vitesse longitudinale est prépondérante.
De plus, les capteurs de vitesse utilisés pour une mesure en continu n’échantillonnent, pour la plupart d’entre eux, qu’une partie de l’écoulement. Cet échantillonnage n’est pas limité à un plan perpendiculaire à l’écoulement et intègre souvent un ensemble de sections. Il faudra donc extrapoler le résultat brut issu de ces capteurs (représentatif d’une partie de l’écoulement) pour évaluer la vitesse moyenne recherchée (représentative de l’ensemble de la section). Cette extrapolation doit prendre en compte la représentativité de l’échantillonnage réalisé par le capteur, et le champ de vitesses dans la zone échantillonnée pour Le relier à l’ensemble de la section mouillée considérée (Larrarte et al 2016).
I.4.3 Choix de la vitesse dans le dimensionnement
La vitesse d’écoulement est limitée entre une vitesse minimale Vmin et une vitesse maximale Vmax. Et ce pour les considérations suivantes:
Vitesse trop élevée entraîne les dégradations des parois par abrasion. (Vmax = 4 m/s).
Vitesse trop faible occasionne la production des dépôts, qui avec le temps encombrent la section entraînant des charges d’entretien et de curage Vmin = 0,6 m/s.
I.4.3.1 Conditions d’auto- curage :
Les conditions d’auto- curage permettent de concevoir des réseaux auto cureurs en limitant la vitesse minimale appelée « vitesse d’auto curage ». Ces conditions seront satisfaites pour les deux conditions suivantes :
Tableau I.2 : condition d’auto- curage
Type de réseau Valeursà respecter Règles pratiques Réseau unitaire
Ou Réseau séparatif
eaux pluviales
⎯Vitesse > 0.6 m/s pour un débit égal à 1/10 du débit à pleine section
⎯Vitesse> 0,3 m/s pour un débit égal à 1/100 du débit à pleine section
⎯Vitesse à pleine section >1 m/s pour les
conduitescirculaires
⎯Vitesse à pleine section> 0.9 m/s pour les conduites
ovoïdes
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Réseaux eaux usées ⎯Vitesse> 0.3 m/s pour le débitjournalier moyen actuel
⎯Pente >0.2% dans les conduites àl’amont du réseau (>0.4%conseillé)
A pleine ou à demi-section : V 0,70 m/s ou à l’extrême rigueur 0,50 m/s (dans ce cas, le rapport des vitesses est égal à 1 donc on vérifiera que la vitesse pleine section est
supérieure à 0,70 m/s).
Pour une hauteur d’eau égale à 2/10 duD : V 0,30 m/s (le rapport des vitesses étant égal à 0,6, on vérifiera que 0,6 VPS 0,3 m/s).
La hauteur d’eau doit être égale aux 2/10 du D, assuré par le débit moyen actuel. (Le rapport des débits étant égal à 0,12, on vérifiera que Qmoyen 0,12 QPS).
En pratique, on pourra considérer que l’auto-curage est respecté si V 0,30 m/s pour le débit journalier moyen actuel. La vitesse limite de l’auto curage dupant à la taille des particule charriées par l’écoulement dans les conduites d’assainissement.
I.5 Quelques travaux sur la distribution de vitesse dans les conduites d’assainissement
Vue l’importance de la connaissance de la distribution de vitesse dans les réseaux d’assainissement, plusieurs travaux de recherche expérimentaux et numérique ont été réalisés sur ce sujet. Parmi les plus marquants on cite ceux de Bonakdari et al 2007 et ceux de Bardiaux J.B et al 2007.
I.5.1 Etude expérimentaux de Bonakdari et al 2007
Cette étude réalisée par Bonakdari et al en 2007 dans les conduites d’assainissement desservant la ville de Nantes. Bonakdari et ses collaborateurs se sont intéressés à la mesure de vitesse dans une section transversale où l’écoulement est uniforme. Ils ont utilisé un vélocimètre acoustique Doppler pour la mesures des trois composantes de vitesse. Ils ont choisi deux sites.
Pour le premier situé dans une zone appelée (Cordon bleu) à quelques kilomètres en amont de la ville de Nante, plusieurs raisons expliquent le choix de ce site. D’abord, il est visitable et accessible grâce à une hauteur de 2.86 m et une conduite ovoïde avec banquette (voire figureI.17), deuxièmement un certain nombre de capteurs sont déjà place dans le réseau principale. Ils ont mesuré la vitesse locale ( ) et la hauteur d’eau. Pour avoir un profile de vitesse, la section transversale a été discrétisée en points d’échantillon, a chaque pointe la vitesse de l’eau a été mesurée trois ou quatre fois avec un vélocimètre. La hauteur d’eau, la vitesse et le
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débit augmentant pendant les précipitations. Pour des raisons de sécurité, ils ont effectué les mesures pendant des périodes sèches.
Figure I.17 : section transversale (ovoïde avec banquette) (Bonakdari et al 2007)
Figure I.18 : (cerbère) dans la préparation (Bonakdari et al 2007)
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Le deuxième site appelé Jardin des Plantes, ils ont choisi ce site grâce à sa conduite ovoïdale avec banquette de hauteur 2.30m qui permet de placer les appareilles de mesure facilement. Pour des raisons de gestion il n’est pas possible d’implantes Cerbére dans ce site donc une solution dispositif de fix drop a été utilisée. Ils ont mesuré la hauteur d’eau maximale et minimal (hmax et hmin) pendant une durée de temps DT et la vitesse locale pour calculer la vitesse moyenne selon (l’équations I.13), et la température par des capteurs Doppler acoustiques.
Les mesure sont effectuée pendant une période sèche.
Figure I.19 : section transversale (Jardin des plantes) (Bonakdari et al 2007)
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Figure I.20 : mise en place de fix drop (Bonakdari et al 2007)
A la lumière des résultats obtenus ils ont fait une comparaison entre les deux sites. Les figures suivantes présentes les lignes iso-vitesse ( ) /VMS ( ) où les vitesses locales Vi (ti) sont divisées par VMS (ti) la vitesse de Manning Strickler, la mesure de la hauteur d’eau permettant de calculée VMS (ti) pour chaque instant :
Avec :
VMS = K √ (I.13)
K : coefficient de Strickler
: le rayon hydraulique
I : la pente
Pour les deux sites expérimentaux, ils ont trouvé que les résultats s’approchent. Le rapport d’aspect b /hmax entre 1,7 et 2.6 à Cordon Bleu et 1.4 et 2.1 au Jardin des Plantes, où b est la largeur de la surface libre et hmax le niveau d'eau maximum dans le canal principal pendant les mesures.
La vitesse maximale est clairement située sous la surface libre Ceux-ci sont compatibles avec les mesures de vitesse présenté par Nezu et Nakagawa, (1993) et Naot et Rodi, (1982) pour les canaux rectangulaires.
Lorsque le niveau d'eau augmente, l'eau passe au-dessus de la banquette et la section transversale devient composé. Le phénomène de (dip-phenomenon) est affaibli et les iso-lignes se baissent vers le coin de la banquette. C’est même clair sur (Figure 21b) qui montre les
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mesures de vitesse sur la banquette. Ils ont remarqué que le gradient de vitesse entre la zone sur la banquette et le canal principal. Ceux-ci sont compatibles avec les mesures de vitesse qui faites par Tominaga et Nezu, (1991), Naot et al., (1993), Shiono et Feng, (2003) et Shiono et al., (2003) qui ont présenté des mesures de vitesse dans les canaux avec une augmentation de l'intensité des courants secondaires à l'angle lorsque le niveau d'eau et le rapport non dimensionnel Hr augmente, où Hr est le rapport du niveau d'eau sur la banquette par le niveau d'eau maximum dans le canal principal. Ils montrent également que la séparation entre les cellules dans le canal principal et les cellules sur la banquette devient plus verticale lorsque le niveau d'eau augmente, ceci est dû au renforcement de la cellule secondaire dans le canal principal.
a) Faible remplissage b) fort remplissage aves Figure I.21 : mesure des vitesses faites avec cerbères (cordon bleu)
a) Avec b) avec Figure I.22 : mesure des vitesses faites avec fix drop (Jardin des plantes)
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I.5.2 Etude numérique de Bonakdariet al 2007
Bonakdari et al utilise les progiciels Fluent et CFX pour résoudre les équations de Navier- Stokes et prédisent la distribution de la vitesse sur l’expérience précédente. Cela implique la méthode des volumes fini avec des maillages tétraédriques pour CFX et une hexaèdre pour Fluent. Un schéma hybride est utilisé pour décrire les équations qui sont :
L’équation de continuité,
Les équations de quantité de mouvement,
Le modèle de turbulence.
Pour les deux logiciels ils ont utilisé une résolution de deuxième ordre à travers un schéma implicite.Pour CFX, Les équations couplées pour la conservation de la quantité de mouvement et de la masse sont résolues simultanément. Pour Fluent, Le schéma centré sur les cellules
"SIMPLEC" est utilisé pour corriger les champs de pression et de vitesse. La frontière et les conditions sont présentées dans le tableau suivant :
Tableau I.3 : la frontière et les conditions aux limite
Condition aux limite CFX Fluent
À l'entrée (En amont)
Vitesse uniforme et niveau d'eau
Vitesse uniforme et niveau d'eau
À la sortie (En aval)
Condition de pression Sur une hauteur de 80 cm et pression atmosphérique
Sur les murs État solide de mur sans
glissement et une rugosité de 2 mm
État solide de mur sans glissement et une rugosité de 2,44 mm
Sur la surface libre État de surface libre basé sur un volume de la méthode du fluide
État de surface libre basé sur un volume de la méthode du fluide
À l’aide de la comparaison des résultat expérimentaux et numérique, l'étude numérique donne une bonne représentation des résultats expérimentaux et permet d'accéder à des données sont presque impossibles à mesurer dans les conduites d’assainissement, comme la vitesse de la surface libre ou les gradients de vitesse pré les parois. Ils sont trouvés que la distribution de la vitesse maximale centré dans le milieu de la conduite à 60% de niveau d’eau, et un bon ordre de grandeur gradient de vitesse.
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a) Résultat Expérimentale b) Résultat numérique avec fluent
Figure I.23 : comparaison entre les résultat Expérimentaux et numérique avec un fort remplissage pour cordon bleu.
a) Résultat Expérimentale b) Résultat numérique avec CFX
Figure I.24 : comparaison entre les résultat Expérimentaux et numérique avec un fort remplissage pour jardin des plantes.
I.5.3 Etude de Bardiaux J.B et al (2007)
En 2007 Bardiaux J.B et al. Ils ont fait une étude sur Evaluation des champs de vitesses dans un canal ouvert pour connaître la distribution spatiale des vitesses dans la section étudiée et la vitesse de cisaillement et aussi la position de la vitesse maximale, pour cette raison ils ont fait une simulation numérique des différents écoulements dans plusieurs section des conduites d’assainissement (circulaire et ovoïde) avec le model d’ VOF, ils ont trouvé les résultats qui sont montrés dans les figure (I.25, I.26, I.27).
Les données présente dont la figure suivante qui correspondent le débit à travers la conduite circulaire (Q=11.7 l/s, diamètre=123 mm, hauteur d’eau=123.5 mm)
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Figure I.25 : la distribution des vitesses dans une conduite circulaire(Bardiaux J.B et al 2007)
Figure I.26 : profile de vitesse de l’axe centrale d’une conduite circulaire (Bardiaux J.B et al 2007) Dans la conduite ovoïde la vitesse moyenne était de 0.88m/s, et la hauteur d’eau 1.20m
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Figure I.27 : profile de vitesse de l’axe centrale d’une conduite ovoïdale (Bardiaux J.B et al 2007)
I.6 Conclusion
Dans ce premier chapitre, nous avons abordé quelques notions de l’écoulement à surface libre et les caractéristiques de l’écoulement au niveau des conduites d’assainissement.
En a fait une recherche bibliographique sur la distribution des vitesses et leur choix dans les déférentes types de conduites d’assainissement, et présente des travaux qui déjà fait sur ce sujet, pour montre la position des vitesses (maximale et moyenne).
CHAPITRE II
MODELISATION NUMERIQUES DE
L’ECOULEMENT DANS UNE CONDUITE
D’ASSAINISSEMENT
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II.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous abordons le système d’équations qui régit l’écoulement : Les équations de Navier-Stokes sont composées de l’équation de continuité et l’équation de quantité de mouvement. Ensuite nous présentons la modélisation de la turbulence commençant par la décomposition de Reynolds ainsi que les différents modèles utilisés pour la fermeture du système. Enfin nous présentons le traitement de l’écoulement près des parois et de la surface libre.
II.2 Equations régissant l’écoulement
Les écoulements à surface libre pleinement développées sont régis par les équations de continuité et de quantité de mouvement déduites respectivement des lois de conservation de la masse et de quantité de mouvement. En considérant un fluide incompressible (eau), ces équations, dans un repère cartésien, s’écrivent (Versteeg et Malalasekera, 2007):
(II.1)
,
-
(II.2)
A B C D
La signification physique de l’équation (I.2), fait apparaître clairement : A : Variation de la quantité de mouvement par unité de volume ;
B : Forces volumiques par unité de volume ;
C : Forces associées à la pression par unité de surface ; D : Contraintes visqueuses par unité de surface.
Avec :
Ui : Composante de la vitesse suivant la direction i ; Fi : Force de volume par unité de volume due à la gravité ; P : Pression ;
ρ: Masse volumique du fluide ;
τij : Tenseur de contraintes visqueuses, et i et j des indices (i, j=1,2,3) .
Pour les fluides Newtoniens, comme l’eau par exemple, les contraintes de Viscosité τij sont reliées au taux de déformation locale comme suit :
⃗⃗ (II.3)
