pas de modélisation. Restent à modéliser les termes de dissipation, εij, de Diffusion, dij, et de redistribution Φij.
II.3.2 .4.1 Modélisation des termes de dissipation et de diffusion
En écoulement à grand nombre de Reynolds, l'hypothèse d’isotropie locale de la turbulence, au niveau des petits tourbillons où se produit la dissipation, conduit à exprimer εij
par :
ε
ij(II.22) Le taux de dissipation, ε, de l’énergie cinétique turbulente doit être prédit par une équation supplémentaire qui, dans la formulation la plus couramment utilisée, s'écrit :
.
(
)
(II.23)
est la production d'énergie cinétique turbulente et les constantes ont les valeurs standard : ( , , ) = (1.44,1.92,1.3).
La plupart des modèles du terme de diffusion négligent la diffusion par la pression et expriment la corrélation triple par une hypothèse de gradient, comme le modèle de Daly et al (1977) :
( 𝑢̅̅̅̅̅̅𝑢 ̅̅̅̅̅̅)
(II.24) Le modèle de Lien et al. (1994), modèle adopté dans le code Fluent :
( ̅̅̅̅̅̅
)
(II.25) Où Cs=0.22 et
σ
k=0.82II.3.2 .4.2 Modélisation du terme de redistribution
Le tenseur Φij., des corrélations pression -déformation contrôle l’anisotropie de la turbulence en redistribuant l'énergie entre les différentes composantes du tenseur de Reynolds.
La modélisation de Φij., est une des difficultés majeures que pose la fermeture de l'équation du tenseur de Reynolds, qui fait toujours l'objet de controverses et de propositions différentes.
35
Le point de départ de la modélisation est l'expression exacte de Φij, que l'on peut établir en exprimant la fluctuation de la pression à partir de l'équation de Poisson de la pression (Schiestel,1993). Le tenseur Φij, s'exprime ainsi comme la somme de trois termes :
Φ=Φij,1 + Φij,2 +Φij,w
Où, Φij,1 , est engendré par des interactions purement turbulentes, c'est la partie non linéaire, ij,2
résulte d'interactions entre la turbulence et le mouvement moyen, c'est le terme linéaire, où, enfin, Φij,w exprime, par une intégrale de surface, les interactions qui se produisent aux frontières du domaine d'écoulement (paroi, surface libre,..).
Le terme non linéaireΦij,1, traduit le retour à l'isotropie et la modélisation de Rotta (1951) s'exprime sous la forme :
Φij,1
𝑢̅̅̅̅̅̅ 𝑢
)
(II.26) Le modèle de Launder et al. (1975) formule la partie linéaire sous la forme :( ) ( )
(II.27) Avec, , = , , ,
Les valeurs de C1 et C2 sont fixées par référence à l’écoulement turbulent homogène à cisaillement uniforme. L’application des modèles de turbulence à différents écoulements recommande les valeurs des constantes : C1=1.5 à 1.8 et C2=0.4 à 0.6.
Dans les écoulements en présence de parois, le terme Φij,w a pour effet une augmentation de l’anisotropie des composantes sphériques du tenseur de Reynolds et aussi une diminution de la tension de cisaillement : la paroi impose en effet un amortissement des fluctuations de vitesse dans la direction normale à la paroi qui se traduit par une redistribution de l'énergie vers les autres composantes.
Le terme Φij,w comprend, (Schiestel 1993), une contribution non linéaire et un contribution linéaire associées à l’influence réfléchie de Φij,1 et de Φij,2 et le modèle proposé par Launder et al. (1975) s’écrit :
* (
𝑢
̅̅̅̅̅̅𝑢
)( )+ (II.28) :est la distance à la paroi et l c’est l'échelle des tourbillons porteurs d'énergie. Compte tenu de l’expression de l dans la zone logarithmique avec l'équilibre productio - dissipation, la fonction de proximité de paroi s'écrit : (Labiod,2005).
36
Ou(II.29)
II.3.3 Traitement de l’écoulement près des parois et de la surface libre
La zone de proche paroi peut être décomposée en trois parties selon l'influence de la viscosité moléculaire. Cette décomposition est relativement universelle pour tous les écoulements pariétaux. On peut par ailleurs considérer que le frottement total défini par :
𝑢̅̅̅̅̅ est constant dans toute la zone de proche paroi. 1 2
1 : contrainte de cisaillement de viscosité moléculaire
2 : contrainte de cisaillement turbulent
II.3.3.1 La sous-couche linéaire
Très près de la paroi, il existe une zone où les effets de la turbulence sont négligeables et les effets de viscosité moléculaire prépondérants. Les conditions d'adhérence à la paroi donnent :
𝑢 , le frottement total s′écrit :
(II.30) Le prol est donc linéaire en fonction de la distance à la paroi. Par analyse dimensionnelle, On peut définir la vitesse de frottement à partir du frottement pariétal par :
𝑢 √
(II.31)Avec :
: Contrainte de cisaillement pariétale ;
y : Distance normale à la paroi ;
: Masse volumique a la paroi.
37
(II.32) Et une distance adimensionnelle :
(II.33)
Où
La loi linéaire s'écrit simplement :
(II.34)
Les expériences montrent que cette loi linéaire est valable tant que y+≤ 5
II.3.3.2 La zone tampon
Dans cette zone les effets visqueux diminuent devant le frottement turbulent mais ne sont pas complètement négligeables. Cette zone correspond à 5 ≤ y+≤ 30.
II.3.3.3 La zone logarithmique
Au-delà de la zone tampon, le frottement est essentiellement turbulent, la contribution due à la viscosité moléculaire disparait devant la contrainte de cisaillement turbulent, on a donc :
𝑢̅̅̅̅̅
(II.35)En utilisant la vitesse de frottement définie précédemment, on obtient pour la contrainte de Reynolds ;
𝑢̅̅̅̅̅ 𝑢
(II.36) Cette vitesse de frottement apparaît donc comme une échelle caractéristique des fluctuations de vitesse. Comme la viscosité moléculaire n'intervient plus dans cette zone, il faut
construire par analyse dimensionnelle, une expression pour
avec les échelles déjà définies :
38
En intégrant on obtient :
(II.38) Où Ka = 0.41 est la constante Von Karman, et C ≈ 5.
Les effets de la surface libre sur la turbulence ont une importance particulière dans la modélisation des écoulements à surface libre notamment lorsqu’il s’agit de la simulation des écoulements secondaires (Labiod,2005). Par comparaison au plan de symétrie d'un écoulement en charge, on distingue deux effets principaux de la surface libre sur la turbulence :
La redistribution de l’énergie cinétique turbulente sur les composantes sphériques du tenseur de Reynolds.
La réduction de l’échelle de longueur des tourbillons porteurs d’énergie la surface libre amorti le mouvement fluctuant vertical en amplifiant les contraintes turbulentes longitudinale et transversale au profil de la contrainte verticale.
La réduction de l’échelle de longueur des tourbillons porteurs d’énergie est la conséquence de leurs interactions avec la surface libre qui se traduit par une déformation de celle-ci accompagnée d’une augmentation locale de la pression hydrostatique. Il en résulte un éclatement des tourbillons énergétiques en tourbillons de tailles plus petites et dissipatifs. Ce mécanisme conduit à une augmentation du taux de dissipation et une diminution de l’énergie turbulente ce qui explique la diminution de la viscosité turbulente dans la zone de la surface libre.
II.4 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons fait une présentation de système d’équations qui régit l’écoulement comme on a présenté différents modèles de turbulence qui basée sur le concept de viscosité turbulente, Nous avons achevé le chapitre par le traitement de l’écoulement près des parois et de la surface libre.