III.2 Méthode des volumes finis
III.2.3 Discrétisation de l’équation générale de transport à l’aide de la méthode des volumes
III.2.3.2 Discrétisation du terme de convection
III.2.3.2 Discrétisation du terme de convection
En fait, la tâche la plus difficile dans l'évaluation des flux Je, Jw, Jn et Js réside dans l’approximation des quantités , , et localisées au niveau des facettes du volume de contrôle, et cela ne peut se que par un choix adéquat des schémas numérique de convection.
L’utilisation des schémas numériques de discrétisation consistent, en effet, en l’interpolation de la valeur de la propriété aux facettes à partir de ses valeurs aux milieux des mailles, donc, soit au choix de la fonction fi de l’interpolation :
( , ) ( , )
III.18
( , ) ( , )
Un bon schéma numérique de convection doit vérifier les trois propriétés suivantes (Versteeg et Malalasekera,2007) :
Conservativeness (conservativité) : Le flux sortant, par exemple, d’une face d’un volume i doit être égale au flux entrant par la face adjacente du volume i+1.Cette propriété est généralement satisfaite par la formulation de la méthode des volumes finis elle-même.
Boundedness (limitabilité) : La variation de la quantité Ф dans un volume de contrôle doit être liée à la variation de cette quantité dans les volumes de contrôle voisins utilisés. En fait, cette propriété est vérifiée si tous les coefficients de la matrice résultante de la discrétisation sont de mêmes signes.
Transportiveness (transportivité) : Cette propriété est liée à la nature du transport qui est généralement traduite par le nombre de Peclet (rapport entre le coefficient de convection et celui de diffusion). Des faibles valeurs du nombre de Peclet reflètent un transport dominé par la diffusion alors que l’inverse caractérise un transport dominé par la convection. Un bon schéma de convection doit refléter cette propriété.
Toute en respectant les trois propriétés citées ci-dessus, nous définissons, dans la section qui suit, quelques schémas numériques de discrétisation de la convection.
III.2.3.2.1 Le schéma de différence centrée (SDC)
Si le schéma de différence centrée est utilisé pour l’estimation de la propriété au niveau des facettes, l’interpolation est faite en utilisant une simple moyenne arithmétique des
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valeurs de cette propriété aux centres des éléments (Versteeg et Malalasekera,2007), alors nous aurons : III.19
Maintenant, remplaçons les variables exprimées par (III.19) au niveau des faces dans l’expression (III.12), et en tenant compte de l’expression du terme source donnée par (III.14), l’équation discrétisée complète (III.10) peut alors, après quelque arrangement, s’écrire sous la forme :
III.20 En fait, tous les schémas de discrétisation de l’équation générale de transport que nous étudierons par la suit, aboutirons pour chaque volume de contrôle à cette expression. Elle peut être réarrangée comme suit :
∑ III.21 Avec : et coefficients liés aux schémas de discrétisation utilisés pour le volume de contrôle considéré et les volumes de contrôle qui l’entourent respectivement ; b : second membre dépendant du terme source de chaque volume de contrôle considéré.
Les coefficients de cette expression, dans le cas du schéma SDC sont définis dans le tableau (III.2) ci-dessous :
Tableau (III.2) : coefficients de l’expression (III.20)
+ + ( )
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Avec :III.22
Il faut noter que le l’inconvénient principal du schéma centré est son incapacité à identifier le sens de l’écoulement, c'est-à-dire, en posant par exemple =( )/2 dans le cas de la facette e, on considère que les influence des nœuds amont et aval de la cellule sont égales. Or, en cas d’écoulement à tendance convective, l’écoulement a un sens principal qui déséquilibre les contributions des deux nœuds. Ainsi le schéma centré n’est pas adapté au calcul du transport d’une variable dans un flux à tendance convective, car il peut générer des oscillations dans le calcul (Wertel, 2009).
En plus, bien que la propriété de concérvativité soit vérifiée par le schéma SDC, la limitatibilité n’est pas toujours vérifiée puisque le coefficient peut devenir négatif dans le cas d’un écoulement fortement convectif. Pour ce fait, par exemple, le nombre de Peclet pour la facette e, Pee=Fe/De, doit être inférieur à la valeur de 2.
III.2.3.2.2 Le schéma de discrétisation amont (UPWIND)
Le schéma UPWIND est une amélioration du schéma de différence centrée pour tenir compte du sens d’écoulement. Au lieu de faire la moyenne arithmétique pour l’estimation des flux à travers les facettes, l’interpolation prend la valeur de l’un des deux nœuds adjacents suivant le sens du flux. Cette méthode est bien adaptée pour une convection forte. Le Tableau (III.3) ci-dessous donne la valeur de l’interpolation au sein de la maille suivant le sens du flux, ce qui revient à dire suivant le signe de Fi.
Tableau (III.3) : Interpolation du flux Фi des faces en fonction du sens d’écoulement
Sens de flux Valeur de
W E
W E
N S
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L’expression des coefficients ai dans le cas du schéma UPWIND est donnée dans le tableau (III.4) ci-dessous.
Tableau (III.4) : Expressions des coefficients résultants du schéma UPWIND
( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) b
Quoique le schéma UPWIND vérifie les trois principales propriétés citées précédemment, et sa large utilisation vue sa simple formulation, il peut engendrer, selon Versteeg et Malalasekera (2007), de fausse diffusion dans le cas où le maillage et le sens principal de l’écoulement ne sont pas alignés.
III.2.3.2.3 Le schéma hybride
Le schéma hybride, introduit par Spalding (1972), tente d’exploiter les qualités des deux schémas précédents. L’idée globale est d’utiliser le schéma centré SDC dans les zones du maillage où le flux est diffusif et le schéma UPWIND dans les zones où le flux est convectif. On définit alors un critère permettant d’identifier la direction du flux et le type du transport (convection/diffusion).
Si l’on prend à titre d’exemple pour la facette ouest -même chose pour les autres facettes- le nombre de Peclet Pew, pour cette facette, est défini par :
( ̅ )
III.23
L’interpolation de la valeur de Ф entre les noeuds du maillage, selon la valeur du nombre de Peclet pour la face w, est donnée dans le tableau (III.5) ci-dessous :
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Tableau (III.5) : Interpolation du flux de la face w par le schéma hybride Valeurs de
| |
( )
L’expression des coefficients de l’équation (III.20), dans le cas hybride, est récapitulée dans le Tableau (III.6).
Tableau (III.6) : Expressions des coefficients résultants du schéma Hybride
max* ( ) + max* ( ) + max* ( ) + max* ( ) + + + ( ) b
En fait, la valeur de 2 est utilisée ici comme étant un seuil du nombre de Peclet pour le choix du schéma appliqué. On pourrait directement utiliser le nombre de Peclet pour pondérer l’influence des noeuds amont et aval dans le calcul de au niveau des facettes du volume de contrôle. En effet, la solution analytique d’une équation de convection/diffusion est une fonction exponentielle de Pe (Versteeg et Malalasekera, 2007), mais une telle fonction d’interpolation rendrait le temps de calcul beaucoup trop long, surtout pour un calcul en 2D ou en 3D. L’idéal est un schéma peu gourmand en temps de calcul mais dont le comportement est proche de l’exponentielle, c’est le cas du schéma qui suit.
III.2.3.2.4 Le schéma de loi de puissance (power-law)
Le schéma power-law est beaucoup plus précis que le schéma hybride. Dans ce schéma, la diffusion devient négligeable dès que le nombre de Peclet dépasse la valeur de 10, par
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contre dans le cas où 0<Pe<10, le flux qui traverse la section du volume de contrôle est évaluée à l’aide d’une expression polynomiale.
Le schéma power-law a prouvé ses capacités dans la pratique, c’est pourquoi il a été utilisé dans le code de calcul ANSYS-Fluent comme alternatif au schéma hybride.
Si nous prenons, à titre indicatif, le flux traversant la section e, et en utilisant le schéma power-law, ce flux qui est approximé en fonction de la valeur de est donné dans le tableau (III.7) ci-dessous.
Tableau (III.7) : Interpolation du flux de la face e pour le schéma Power-law
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
Dans ce cas, l’expression des coefficients de l’équation (III.20) est donnée dans le Tableau (III.8) ci-dessous.
Tableau (III.8) : Expressions des coefficients résultant du schéma Power-law
( ) ×max( ( | |)5 ( ) ×max( ( | |)5 ( ) ×max( ( | |)5 ( ) ×max( ( | |)5 + + ( ) b
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Il est utile de signaler qu’il existe d’autres schémas que nous n’allons aborder ici, mais le lecteur peut se référer à Versteeg et Malalasekera (2007) et au guide de ANSYS-Fluent pour plus de détails.
Dans le cas de notre travail, nous avons choisi pour les équations dynamiques le schéma hybride, et pour une meilleure précision, nous avons opté pour le schéma UPWIND pour les autres équations de transport.
III.2.4 Algorithmes de couplage pression-vitesse
Le problème de couplage se manifeste par l'apparition des variables de vitesse et de pression dans les trois équations de quantités de mouvement. Le gradient de pression qui apparait comme terme source dans ces équations joue le rôle du moteur de l'écoulement. Malheureusement, on ne dispose d'aucune équation de transport pour cette quatrième variable qui est la pression. En d’autres termes, si le gradient de pression est connu à priori on peut calculer le champ de vitesse qui est dans ce cas vérifie bien l’équation de continuité.
Malheureusement, la pression est toujours une inconnue à déterminer aussi bien que la vitesse. Un champ de vitesse donné peut satisfaire l'équation de continuité sans pour autant vérifier les équations de quantité de mouvement. Cette particularité des équations rend nécessaire algorithme de couplage pression-vitesse.