III.2 Méthode des volumes finis
III.2.3 Discrétisation de l’équation générale de transport à l’aide de la méthode des volumes
III.2.4.2. Algorithme SIMPLE de Patankar pour le couplage pression-vitesse
Il est utile de signaler qu’il existe d’autres schémas que nous n’allons aborder ici, mais le lecteur peut se référer à Versteeg et Malalasekera (2007) et au guide de ANSYS-Fluent pour plus de détails.
Dans le cas de notre travail, nous avons choisi pour les équations dynamiques le schéma hybride, et pour une meilleure précision, nous avons opté pour le schéma UPWIND pour les autres équations de transport.
III.2.4 Algorithmes de couplage pression-vitesse
Le problème de couplage se manifeste par l'apparition des variables de vitesse et de pression dans les trois équations de quantités de mouvement. Le gradient de pression qui apparait comme terme source dans ces équations joue le rôle du moteur de l'écoulement. Malheureusement, on ne dispose d'aucune équation de transport pour cette quatrième variable qui est la pression. En d’autres termes, si le gradient de pression est connu à priori on peut calculer le champ de vitesse qui est dans ce cas vérifie bien l’équation de continuité.
Malheureusement, la pression est toujours une inconnue à déterminer aussi bien que la vitesse. Un champ de vitesse donné peut satisfaire l'équation de continuité sans pour autant vérifier les équations de quantité de mouvement. Cette particularité des équations rend nécessaire algorithme de couplage pression-vitesse.
III.2.4.1 Choix de la méthode de couplage pression-vitesse
Parmi les méthodes pour le couplage pression-vitesse qu’ANSYS-Fluent propose sont :
L’algorithme SIMPLE ;
L'algorithme SIMPLER (SIMPLE-Revised) ;
L’algorithme SIMPLEC (SIMPLE- Consistent).III.2.4.2. Algorithme SIMPLE de Patankar pour le couplage pression-vitesse
Si le gradient de pression dans les équations de quantité de mouvement est connu, la résolution de ces équations conjointement avec l’équation de continuité, conduit à obtenir le même champ de vitesse pour les autres équations de transport. En générale, le champ de pression est une inconnue des problèmes qu’il faut déterminer. Cette pression, dans le cas d’écoulement d’un fluide incompressible, n’apparait que dans l’équation de quantité de mouvement et ne contient aucune équation de transport. Cette particularité fait en sorte que les équations du mouvement deviennent faiblement couplées.
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Un champ de vitesse donné peut satisfaire l’équation de continuité sans pour autant vérifier les équations de mouvement, cependant, si un champ correct de la pression est utilisé dans ces équations, le champ de vitesse résultant devrait satisfaire l’équation de continuité. Alors, si nous optons pour le couplage de la pression et la vitesse, nous pouvons résoudre le problème du couplage et de la non-linéarité des équations du mouvement en utilisant un processus itératif (Versteeg et Malalasekera,2007). L’algorithme de couplage pression-vitesse le plus universel est l’algorithme SIMPLE, dont le nom est un acronyme pour « semi-implicite Method for pressure-Linked Equations ».
Dans son concept, l’algorithme SIMPLE a pour point du départ la reformulation aux volumes finis des équations de quantité de mouvement. Dans ces équations la pression intervient sous forme de gradient. Alors, si nous faisons ressortir le gradient de pression du terme source, l’équation générale de transport peut s’écrire :
( ̅ ̅)
(
̅̅̅
)
̅
III.24
Figure (III.4) : Disposition des grilles décalées pour les vitesses ̅et ̅ et la pression ̅
Considérons les volumes de contrôle de la figure (III.4). Ces volumes de contrôle dont les centres sont w, s et P résultent des grilles décalées choisies pour les variables ̅, ̅et ̅
respectivement. L'intégration de l'équation (III.24) sur ces volumes de contrôle nous donne les équations discrétisées résultantes pour ̅et ̅:
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̅ ∑ ̅ ( ̅ ̅̅̅) III.25.1 ̅ ∑ ̅ ( ̅ ̅ ) III.25.2 Où :et sont les coefficients correspondant respectivement aux vitesses ̅ et ̅ Des
éléments voisins ;
et sont des distances définies dans la figure (III.4).
Soit un champ de pression initial ̅̅̅ .Les solutions provisoires des équations (III.25.1) et (III.25.2) seront notées ̅̅̅̅ et ̅̅̅ (précisons que ̅̅̅̅ et ̅̅̅ ne vérifient pas l'équation de
continuité). Alors, l’expression (III.25) s’écrit :
̅̅̅̅ ∑ ̅̅̅̅ ( ̅̅̅ ̅̅̅ ) III.26.1 ̅̅̅ ∑ ̅̅̅ ( ̅̅̅ ̅̅̅ ) III.26.2
A ce stade, aucune des deux variables de pression et de vitesse n'est correcte. Toutes les deux nécessitent une correction.
Pour les vitesses, elle est corrigée comme suit :
̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ III.27.1
̅ ̅̅̅ ̅̅̅ III.27.2
et pour la pression :
̅ ̅̅̅ ̅ III.28
Avec : ̅̅̅, ̅̅̅ et ̅ sont les corrections qu’il faut estimer.
Faisons, maintenant, l’opération (III.25) (III.26), et en utilisant les expressions (III.27) (III.28) nous obtenons :
̅̅̅ ∑ ̅̅̅ ( ̅ ̅ ) III.29.1 ̅̅̅ ∑ ̅̅̅ ( ̅ ̅ ) III.29.2
Notons ici que pour linéariser l’équation (III.29), les termes ∑ ̅̅̅ et ∑ ̅̅̅
ont été tout simplement négligés. Normalement, ces termes doivent s’annuler lors de la convergence de la procédure. C’est-à-dire que cette omission n’influe pas sur le résultat final, mais elle fausse un peu le résultat temporaire.
Divisons les deux expressions (III.29.1) et (III.29.2) par et respectivement, et en tenant compte des omissions citées au paragraphe précédent, nous aurons les corrections des vitesses qui s’expriment comme suit :
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̅̅̅ ( ̅ ̅ ) III.30.2 Avec : III.31 Alors les vitesse courgée seront définies comme suit :̅ ̅̅̅̅ ( ̅ ̅ ) III.32.1 ̅ ̅̅̅ ( ̅ ̅ ) III.32.2
Le même raisonnement pour les deux autres facettes e et n nous permet d’écrire :
̅ ̅̅̅̅ ( ̅ ̅ ) III.33.1 ̅ ̅̅̅ ( ̅ ̅ ) III.33.2 Avec :
III.34
L’introduction des expressions corrigées (III.32) et (III.33) dans l’équation de continuité (III.16), nous permet d’obtenir l'équation de correction de la pression. Cette équation s’écrit sous la forme suivante :
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ III.35 Où : III.36 III.37 III.38 ( ̅̅̅̅ )
( ̅̅̅̅ )
( ̅̅̅̅ )
( ̅̅̅̅ )
III.39 D’après l'équation (III.35), le terme bʹ représente le terme source de masse résultant à cause du champ de pression aléatoire initial. Normalement, l'algorithme de résolution doit annuler ce terme à la fin du calcul.
En fin, la procédure de résolution avec la méthode SIMPLE est récapitulée dans l’organigramme ci-dessous.
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Figure (III.3) : Organigramme de la méthode SIMPLE (Patankar.s.v.1980)Enfin, l'algorithme SIMPLE, présenté sur la figure (III.3), peut être résumé comme suit : 1. Choisir un champ de pression initial ̅̅̅, de vitesses ̅̅̅̅ et ̅̅̅ ainsi que des autres propriétés
(Notons ici que le champ initial de vitesse n’est que pour calculer les coefficients des équations résultantes de la discrétisation) ;
2. Résoudre les équations de transport (III.26) pour déduire un nouveau champ de vitesse ̅̅̅̅
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3. Calculer le terme source de masse b ׳ exprimé par l'équation (III.39), par la suite, résoudre l'équation (III.35) de correction de la pression ;
4. Corriger les champs de pression et de vitesse via les équations (III.28), (III.32) et (III.33) ; 5. Résoudre les autres équations de transport des autres scalaires du problème, tel que les quantités turbulentes ;
6. Remplacer les anciens champs de pression et de vitesse par les nouveaux et revenir à l'étape 2. Répéter les calculs jusqu'à convergence de toutes les variables.