LE SYMBOLE DE HASSE LOGARITHMIQUE

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Preprint submitted on 6 Feb 2015

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LE SYMBOLE DE HASSE LOGARITHMIQUE

Stéphanie Reglade

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Stéphanie Reglade. LE SYMBOLE DE HASSE LOGARITHMIQUE. 2015. �hal-01113823�

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LE SYMBOLE DE HASSE LOGARITHMIQUE Stéphanie Reglade

Résumé:Le but de cet article est de présenter la construction du symbole de Hasse logarithmique, analogue du symbole classique dans le contexte logarithmique et d’en étudier les principales propriétés. Cette étude permet d’obtenir une expression du défaut du principe de Hasseℓ-adique. Nous présentons ensuite des cas particuliers et obtenons une version logarithmique du théorème de l’idéal principal.

Abstract:In this article, we define the logarithmic Hasse symbol in the same way as the usual one but in the context of the logarithmic ramification. We study its fondamental properties. The interesting point is that we get an expression of the defect of theℓ-adic Hasse principle. Then we study particular cases and get a logarithmic version of the principal ideal theorem.

Mots-clefs:théorie du corps des classes, théorie ℓ-adique du corps des classes, théorie logarithmique.

AMS Classification : 11R37

Table des matières

1 Introduction et Notations 1

1.1 Position du problème . . . . 1

1.2 Glossaire des notations . . . . 2

2 Le symbole de Hasse logarithmique 3 2.1 Définitions et premières propriétés . . . . 4

2.2 La formule du produit et sa réciproque pour le symbole de Hasse logarithmique 9 3 Interprétation arithmétique du sous-groupe de défaut du principe de Hasse ℓ-adique 12 3.1 Le théorème et sa preuve . . . 12

3.1.1 Étapes intermédiaires . . . 13

3.1.2 La démonstration du théorème . . . 15

3.2 Exemple d’application du théorème . . . 17

3.3 Premier cas particulier : celui des ℓ-extensions cycliques . . . 18

3.4 Deuxième cas particulier . . . 19

3.5 Corollaire : version logarithmique du théorème de l’idéal principal . . . 20

1 Introduction et Notations

1.1 Position du problème

Les objets étudiés sont les Z_ℓ-modules fondamentaux de la théorie ℓ-adique du corps des classes construits par Jaulent dans [Ja1] oùℓdésigne un nombre premier fixé. Le contexte

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logarithmique correspond au cas où l’objet local étudié : leℓ-adifié du groupe multiplicatif d’un corps de nombres est muni de la valuation dite logarithmique, construite à partir du logarithme d’Iwasawa [Ja2].

Le théorèmeℓ-adique de la norme de Hasse [Re1] précise que dans le cas d’uneℓ-extension cyclique un idèle principal est une norme globale si et seulement si c’est une norme locale partout i.e une norme pour chaque complétionL_P/K_p où P|p.

Nous sommes donc spontanément amenés à considérer, dans le cas d’uneℓ-extension abé- lienne finie, le quotient des idèles principaux normes locales partout par ceux qui sont normes globales : ce quotient définit le "groupe de défaut" du principe de Hasseℓ-adique, objet analogue au groupe de défaut du principe de Hasse classique.

Le but de cet article est d’étudier ce groupe de défaut du principe de Hasse ℓ-adique et d’en donner une interprétation arithmétique le reliant au groupe des classes logarithmique de degré nul. C’est le sens du théorème 3.0.4 :

Théorème

SoitL/K une ℓ-extension abélienne finie,C˜ℓ_L (respectivement C˜ℓ_K ) le groupe des classes logarithmiques de degré nul de L(respectivement K),C˜ℓ^∗_L le noyau de l’application norme N_L/K : ˜CℓL −→N_L/KC˜ℓL et ∆_L/K l’idéal d’augmentation du groupe de Galois de L/K. Nous avons alors :

|Γˆ_L/K|(NL/K :N_L/KRL) = ( ˜Cℓ^∗_L: ˜Cℓ^∆_L^L/K)( ˜EK : ˜EK∩N_L/KRL).

L’outil utilisé pour démontrer ce théorème est le symbole de Hasse logarithmique défini dans le paragraphe suivant. Nous explicitons ensuite ces principales propriétés et établissons une formule analogue à la formule du produit pour ce symbole.

Nous étudions par la suite un exemple d’application et des cas particuliers de ce théorème.

Pour finir nous en présentons un corollaire : une version logarithmique du théorème de l’idéal principal.

1.2 Glossaire des notations

Dans tout ce qui suitℓdésigne un nombre premier fixé. Introduisons les notations suivantes Pour un corps local K_p d’idéal maximal p et d’uniformisante π_p, nous notons

RKp = lim

←−^kK_p^×K_p^×ℓ^k : leℓ-adifié du groupe multiplicatif du corps local UKp = lim

←−^kU_pU_p^ℓ^k : le ℓ-adifié du groupe des unitésU_p deK_p Pour un corps de nombreK, nous définissons

RK =Z_ℓ⊗ZK^× : leℓ-groupe des idèles principaux JK =Q_res

p∈P lKRKp : leℓ-groupe des idèles UK =Q

p∈P lKUKp : le sous-groupe des unités CK=JK/RK : leℓ-groupe des classes d’idèles

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Dans le contexte logarithmique, nous posons Qˆ^c_p : laZ-extension cyclotomique deb Q_p Q^c_p : laZ_ℓ-extension cyclotomique de Q_p

˜

vp : la valuation logarithmique associée àp surRKp

UeKp =Ker( ˜vp) : le sous groupe des unités logarithmiques locales UeK =Q

p∈P lKUeKp : le sous-groupe des unités logarithmiques

˜

e_p= [K_p: ˆQ^c_p∩K_p]: l’indice absolu de ramification logarithmique dep f˜p= [ ˆQ^c_p∩Kp:Q_p]: le degré absolu d’inertie logarithmique de p

˜

e_L_P_/K_p = [L_P: ˆK_p^c∩L_P] : l’indice relatif de ramification logarithmique dep f˜_L_P_/K_p = [Kc_p^c∩L_P:K_p]: le degré relatif d’inertie logarithmique dep J_K^(m)=Q

p6|mRKp

Q

p|mUe_K^v^p_p^(m) JK^m =Q

p6|mRKp

Q

p|mUeKp

Ue_K^(m)=Q

p6|mUKp

Q

p|mUe_K^v^p_p^(m) R^(m)_K =RK∩ J_K^(m)

Dℓ_K =L

pplace finie deKZ_ℓp : le groupe des diviseurs logarithmiques deK

ψ:JK^m−→Dℓ^m_K

α= (α_p)7−→ψ(α) = Y

place finie deK

p^v^e^p^(α^p⁾

Dℓ^m_K =ψ(JK^m) : diviseurs logarithmiques premiers à m

P ℓ^(m)_K =ψ(R^(m)_K ): diviseurs logarithmiques principaux attachés à m Dℓ˜ _L/K : groupe des diviseurs logarithmiques de degré nul

C˜ℓ_L/K : groupe des classes logarithmiques de degré nul ef_L/K : le conducteur logarithmique global deL/K efp : le conducteur logarithmique local en p

(^L/Kg

p ): le Frobenius logarithmique enp

Aℓ_L/K le groupe d’Artin logarithmique deL/K

T ℓK,m=P ℓ^(m)_K ·N_L/K(Dℓ^m_L)) : le sous-module de Takagi logarithmique associé àm (^^α,L/K_p ) : le symbole de Hasse logarithmique

Γe_L/K,p : le sous-groupe d’inertie logarithmique enp

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Γe_L/K =Q

p|˜f_L/KeΓ_L/K,p

AL/K ={α∈ RK / ψ(α)∈N_L/K(Dℓ^˜^f_L^L/K)}.

Λm : idèles principaux dont le diviseur logarithmique associé est premier àm NL/K={α∈ RK qui sont partout norme locale}.

NL/K,m=NL/K∩Λ_m.pour tout module mdeK

2 Le symbole de Hasse logarithmique

Nous introduisons, dans cette partie, le symbole de Hasse logarithmique analogue du symbole de Hasse classique dans le contexte logarithmique. Nous nous intéressons à l’image et au noyau de cet homomorphisme. Nous rappelons au préalable les définitions de conducteur logarithmique et de l’application d’Artin logarithmique.

2.1 Définitions et premières propriétés

L’objet local de la théorie ℓ-adique du corps des classes [Ja1] est le ℓ-adifié du groupe multiplicatif d’un corps local : RKp = lim

←−^kK_p^×K_p^×ℓ^k. Il est ici muni de la valuation logarithmique définie comme suit [Ja2] :

Définition 1. [Ja2] Soit K une extension finie de Q,p un nombre premier. Notons Qc^c_p la Z-extension cyclotomique deb Q_p. Soit p une place deK au dessus dep,

i) le degré ℓ-adique de pest donné par la formule : deg_ℓ(p) =

Log_Iw(p) si p6=ℓ LogIw(1 +ℓ) si p=ℓ ii) le degré ℓ-adique de p est défini par la formule : deg(p) = ˜fp·deg_ℓ(p)

iii) la valuation logarithmique associée à p est : v˜p(x) = −LogIw(N_K_p_/Q_p(x))/deg_ℓ(p) , définie sur RKp et à valeurs dans Z_ℓ, [Ja2][proposition 1.2]

C’est le choix du dénominateur dans l’expression de la valuation logarithmique qui impose le choix de l’uniformisante logarithmiqueℓ˜surQ_ℓ. Ainsi le choix de deg_ℓ(ℓ) =Log_Iw(1 +ℓ) imposeℓ˜= 1 +ℓ, [Re2]. Pour Kp une extension finie de Q_p, nous avons :

Définition 2. Uniformisante logarithmique deRKp [Re2]

Si p6 |ℓ, l’uniformisante classique πp est aussi uniformisante logarithmique.

Si p|ℓ, une uniformisante logarithmique est un élément π˜p deRKp vérifiant : Log_Iw(N_K_p_/Q_ℓ(˜π_p)) = ˜f_p deg_ℓ(ℓ) =Log_Iw(˜ℓ^f^˜^p)

oùℓ˜désigne l’uniformisante logarithmique de R^Qℓ.

Le noyau de cette valuation définit le groupe des unités logarithmiquesUeKp de RKp. Nous considérons une filtration décroissante du groupe des unités logarithmiques : (Ue_Kⁿ_p)n∈N à partir de laquelle nous posons les définitions suivantes :

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Définition 3. Conducteurs logarithmiques [Re2]

i) Si L_P/K_p est une ℓ-extension abélienne finie ,et si n est le plus petit entier tel que Ue_Kⁿ_p ⊆N_L_P_/K_p(RLP) alors l’idéal :

˜f_p=pⁿ

est appelé conducteur logarithmique local associé à l’extension.

ii) SiL/K est une ℓ-extension abélienne finie, le conducteur logarithmique global est défini par :

˜f_L/K=Y

p

˜fp

Définition 4. L’application d’Artin logarithmique [Re2]

Soit L/K une ℓ-extension abélienne finie. Soit p une place de K logarithmiquement non ramifiée dansL. SoitDℓK le groupe des diviseurs logarithmiques deK. Soit˜f_L/K le conducteur logarithmique global de deL/K , etDℓ^˜^f_K^L/K le sous-groupe des diviseurs logarithmiques premiers au conducteur˜f_L/K.

Nous définissons le Frobenius logarithmique attaché à une place p logarithmiquement non ramifiée :

(L/Kg

p ) = ([˜πp], L/K)

avecπ˜_p l’uniformisante logarithmique définie préalablement et [˜π_p]l’image de π˜_p dans JK. Nous obtenons ainsipar extension l’application d’Artin logarithmique attachée à une place plogarithmiquement non ramifiée :

(^^L/K) :Dℓ^˜^f_K^L/K → Gal(L/K) p 7→ (^L/Kg

p )

Définition 5. Le symbole de Hasse logarithmique

Soient L une ℓ-extension abélienne finie de K, α un idèle principal α ∈ RK et p une place deK. Notons˜fp le conducteur logarithmique local associé à p et˜f_L/K le conducteur logarithmique global de l’extensionL/K. Considérons β ∈ RK vérifiant

β

α ∈ R^(˜_K^f^p⁾etβ∈ R⁽

˜fL/K

˜fp )

K .

Nous dirons que β est un p-associé logarithmique de α.

Nous écrivons alorsψ(β) =p^aa aveca premier à p et a∈Dℓ^˜^f_K^L/K. Nous définissons le symbole (α,L/K^

p ) de la façon suivante :

^ (α, L/K

p ) = (L/Kg a ).

Ce symbole, défini surRK, est appelé le symbole de Hasse logarithmique pourpdansL/K . Dans le cas particulier oùfe_p= 1, nous remplaçons la condition ^β_α ∈ R⁽¹⁾_K par _α^β est premier à p.

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Remarques :

i) L’existence d’un telβ est assurée par le lemme suivant : Lemme 2.1.1. Théorème d’approximation ℓ-adique [Gr, II.2]

Le morphisme de semi-localisation

RK −→ Y

p∈S

RKp

est surjectif pour tout ensemble fini de places S. En effet, l’image de RK est un sous-Z_ℓ- module compact et dense.

ii) Vérifions que le résultat ne dépend pas du choix du p-associé deα.

En effet, si β^′ est un autre p-associé de α, alors nous avons ^β_α ∈ R⁽_K^f^e^p⁾ etβ ∈ R⁽

˜fL/K

˜fp )

K et

β^′

α ∈ R⁽_K^f^e^p⁾ etβ^′ ∈ R⁽

˜fL/K

˜fp )

K , à savoir ^β

′

β ∈ R⁽_K^f^e^p⁾ et ^β

′

β ∈ R⁽

f^L/K

˜fp )

K . Finalement, nous avons donc ^β

′

β ∈ R^(˜_K^f^L/K⁾. Écrivonsψ(β^′) =p^a^′a^′, nous en déduisons alors quea=a^′. Finalement, ψ(^a_a^′) ∈P ℓ^(˜_K^f^L/K⁾. Il suit que (L/Kg

a ) = (L/Kg

a^′ ) carP ℓ^(˜_K^f^L/K⁾∈Aℓ_L/K, noyau de l’application d’Artin logarithmique.

Proposition 2.1.1. Le symbole logarithmique de Hasse pour pa les propriétés suivantes : i) c’est un homomorphisme deRK dans Gal(L/K)

ii) sip6 |fg_L/K, alors ^

(^α,L/K_p ) = (L/Kg

p )^−a où ψ(α) =p^aa avec apremier àp iii) la restriction de ^

( ^.,L/K_p ) à M ⊂L est ^ ( ^.,M/K_p ).

Démonstration. i)βetβ^′ étant desp-associés deαetα^′, alorsββ^′ est unp-associé deαα^′. De l’écritureψ(β) =pâaetψ(β^′) =pâ^′a^′, nous en déduisons queψ(ββ^′) =pâpâ^′aa^′. Il suit

alors que ^

(^αα

′,L/K

p ) = (L/Kg

aa^′ ) = (L/Kg

a )(L/Kg

a^′ ) = ^

(^α,L/K_p ) ^ (^α

′,L/K

p ) car l’application d’Artin logarithmique est un homomorphisme.

ii) Comme par hypothèse p 6 |˜f_L/K, nous avons que˜f_p = 1. Par définition β un p-associé de α vérifie : _α^β est premier à p et β ∈ R^(˜K^f^L/K⁾. Ainsi ψ(β) = p^aa ∈ P ℓ^(˜_K^f^L/K⁾. Alors (^^α,L/K_p ) = (^L/Kg

a ) = ^

(_ψ(β)p^L/K−a) = (^L/Kg

ψ(β))(L/K]

p⁻^a) = (^L/Kg

p⁻^a ) car l’autre terme est dans le noyau du morphisme d’Artin logarithmique.

iii) Soit β un p-associé de α dans L/K, alors β est encore un p-associé de α dansM/K pour M ⊂ L. En effet ˜f_M/K|˜f_L/K, de même ˜f_p,M/K|˜f_p,L/K, et _˜_f^˜^f^M/K

p,M/K|_˜_f^˜^f^L/K

p,L/K. Nous avons alors, siψ(β) =p^aa, ^

(^α,M/K_p ) = (]M/K

a ). Or(]M/K

a )est la restriction de (^L/Kg

a ) = ^

(^α,L/K_p )à M.

Théorème 2.1.1. L’image deRK par le symbole de Hasse logarithmique pourpdansL/K est égale au sous-groupe de décomposition pour p dans L/K.

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Démonstration. Nous rappelons ici que pour une place pdeK, être complètement décom- posée au sens classique ou au sens logarithmique c’est la même chose. Désignons alors par M le corps de décomposition de p, alors pest complètement décomposée dans M/K : par la proposition précédente ii) et iii), nous en déduisons ^

(^α,L/K_p )restreint àM est ^ (^α,M/K_p )et (^α,M/K^_p ) = (]M/K

p⁻^a ) = (]M/K

p )^−a. Or (]M/K

p )^−aest le Frobenius logarithmique enM : de part la définition deM, nous avons donc (]M/K

p )^−a= 1 et ^

(^α,L/K_p ) ∈Gal(L/M) : donc l’image du symbole de Hasse logarithmique est contenue dans le sous groupe de décomposition.

Réciproquement, il nous faut montrer que le symbole de Hasse logarithmique est surjectif sur le sous-groupe de décomposition de p. Désignons alors par I le corps d’inertie logarithmique de p, à savoir qui correspond à l’extension maximale logarithmiquement non ramifiée :

L

eep

I

fep

M

K

Considéronsσ ∈Gal(L/M)⊂Gal(L/K), alors par la surjectivité de l’application d’Artin logarithmique, nous pouvons trouver b ∈ Dℓ^˜^f_K^L/K tel que (^L/Kg

b ) = σ. Le but est alors de montrer que (L/Kg

b ) se met sous la forme ^

(^α,L/K_p ). Or σ restreint à M c’est l’identité, donc (]M/K

b ) = 1, et ainsi (gI/K

b ) ∈Gal(I/M). Or nous savons que (gI/K

p ) est le Frobenius logarithmique en p dans I/K, donc il est d’ordre f˜_p et engendre le groupe de Galois Gal(I/M). (g^I/K

b ) s’exprime donc comme une puissance du Frobenius logarithmique. Par suite il existe donc une puissancep^a de ptelle quep^ab∈Aℓ

I/K,(

˜fL/K

˜fp ). L’égalité du lemme suivantAℓ_KP ℓ⁽

f^L/K fpe )

K =Aℓ

I/K,(

˜fL/K

˜fp ) permet alors d’écrire :p^ab=ψ(α)c avecα∈ R⁽

˜fL/K

˜fp ) K

etc∈AℓK. Nous considérons alors(^α,L/K_p ):αest unp-associé de lui même, et nous avons ψ(α) =p^abc⁻¹. Ainsi ^

(^α,L/K_p ) = (^L/Kg

bc⁻¹) = (^L/Kg

b ).

Lemme 2.1.2. Si I est le corps d’inertie logarithmique dansL/K, pour la place p deK, alors nous avons l’égalité suivante :

Aℓ_L/KP ℓ⁽

˜fL/K

˜fp )

K =Aℓ

I/K,(

˜fL/K

˜fp )

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Démonstration. Nous avons d’abord l’inclusion Aℓ_L/KP ℓ⁽

˜fL/K

˜fp )

K ⊂Aℓ

I/K,(

˜fL/K

˜fp ) : en effet, I ⊂L donc˜f_I/K|˜f_L/K et˜f_p,I/K|˜f_p,L/K. Or pest une place logarithmiquement non ramifiée dans I, donc ˜f_p,I/K = 1. Il suit que ˜f_I/K|^˜^f^L/K_˜_f

p , nous en déduisons donc que P ℓ⁽

˜fL/K

˜fp )

K ⊂

P ℓ^(˜_K^f^I/K⁾⊂Aℓ_I/K de part l’égalité des groupes d’Artin et de Takagi. D’autre part^˜^f^L/K_˜

fp |˜f_L/K, nous avons donc Dℓ^˜^f_K^L/K ⊂ Dℓ

˜fL/K

˜fp

K et par définition du noyau d’Artin, nous obtenons Aℓ_L/K ⊂ Dℓ^˜^f_K^L/K ⊂ Dℓ

˜fL/K

˜fp

K . Et comme I ⊂ L, nous avons Aℓ_L/K ⊂ Aℓ_I/K, d’où la première inclusion.

Considérons alors les sous-modules de congruences [Re3, p. 70](^˜^f^L/K_˜

fp , Aℓ_L/KP ℓ⁽

˜fL/K

˜fp ) K ) et (^˜^f^L/K_˜

fp , Aℓ

I/K,(

˜fL/K

˜fp )). Ainsi nous déduisons de l’inclusion Aℓ_L/KP ℓ⁽

˜fL/K

˜fp )

K ⊂ Aℓ

I/K,(

˜fL/K

˜fp ), et de la correspondance du corps des classes [Re3, p .76] : Aℓ

I,(

˜fL/K

˜fp ) est associé à I, et Aℓ_KP ℓ⁽

˜fL/K

˜fp )

K est associé à la sous-extension I^′ intermédiaire entreI etK. Or p ne divise pas(^˜^f^L/K_˜

fp ), et le conducteur de la classe de congruences a les mêmes diviseurs premiers que le conducteur logarithmique global [Re3, p .78] : par suite nous en déduisons quepest une place logarithmiquement non ramifiée dans I^′. Et de ce fait I^′ = I, nous obtenons alors l’équivalence des deux sous-modules de congruences ci dessus, et finalement l’égalité.

Proposition 2.1.2. Caractérisation du noyau du symbole de Hasse logarithmique Une condition nécessaire et suffisante pour que ^

(^α,L/K_p ) = 1, où α ∈ RK est que α soit norme locale en p.

Démonstration. Supposons que α soit norme locale en palors α_p ∈N_L_P_/K_pRLP. Il existe donc z_P ∈ RLP tel que αp = N_L_P_/K_p(z_P). Écrivons alors α = N_L/K(x)u avec x ∈ RL

dont toutes les coordonnées valent 1, sauf x_P pour P|p que nous prenons égal à z_P; et u ∈ R^(˜_K^f^p⁾ (en fait u = α en dehors de la p-ième composante que l’on prend égale à 1). Alors grâce au lemme d’approximation ℓ-adique, nous pouvons trouver y ∈ RL

tel que ^y_x ∈ R^(˜_L^f^p⁾ et y ∈ R⁽

˜fL/K

˜fp )

L , les modules étant les étendus à L. Ainsi nous avons N_L/K(^y_x)∈ R^(˜_K^f^p⁾etN_L/K(y)∈ R⁽

˜fL/K

˜fp )

K . Par suite,N_L/K(y)est unp-associé deα. Écrivons ψ(y) =OU avec O qui contient les diviseurs premiers au dessus de p et U étant premier à p i.e U ∈ P ℓ^(˜_L^f^L/K⁾. Ainsi ψ(N_L/K(y)) =N_L/K(ψ(y)) =N_L/K(O)N_L/K(U). Il suit alors (^^α,L/K_p ) = ( ^L/K

N_L/K(U)) = 1 puisqueN_L/KP ℓ^(˜_L^f^L/K⁾⊂Aℓ_K.

(10)

Réciproquement supposons ^

(^α,L/K_p ) = 1, et désignons par Xp l’ensemble des éléments α∈ RK tels que ^

(^α,L/K_p ) = 1. Alors nous avons la suite exacte suivante :

1−→X_p−→ RK −→D_p −→1

oùDp désigne le sous-groupe de décomposition dep. D’après la partie directe, nous savons queRK∩N_L_P_/K_pRLP ⊆Xp. Or _N ^R^Kp

LP/KpR_L

P

est isomorphe au groupe de Galois local, et est d’indice epfp = eepfep. Or _N ^R^Kp

LP/KpR_L

P ≃ R_K∩N_L^R^K

P/KpR_L

P

, par suite nous en déduisons l’égalitéXp=RK∩N_L_P_/K_pRLP.

Remarque : Le symbole de Hasse logarithmique permet également, comme dans le cas classique, une description du sous-groupe d’inertie logarithmique associé à une place p et uneℓ-extension abélienne finieL/K, celui étant défini comme le sous-groupe du groupe de Galois de l’extension, qui fixe l’extension maximale deK logarithmiquement non ramifiée.

Théorème 2.1.2. L/K étant une ℓ-extension abélienne finie, la restriction du symbole de Hasse logarithmique aux idèles principaux dont le diviseur logarithmique principal est premier à p a pour image le sous-groupe d’inertie logarithmique pour p dans L/K.

Démonstration. Notons RK,p l’ensemble des idèles principaux dont le diviseur logarithmique principal est premier à p. Si α ∈ RK,p, un p-associé de α, β a pour image un diviseur logarithmique principalψ(β) premier àp puisque ^β_α ∈ R^(˜_K^f^p⁾, et ^

(^α,L/K_p ) = (^L/Kg

ψ(β)).

Désignons parI le corps d’inertie logarithmique et parI_p le sous-groupe d’inertie logarithmique. Par définition du p-associé, nous savons que β ∈ R⁽

˜fL/K

˜fp )

K , Or˜f_I/K|˜f_L/K = ˜fp

˜f_L/K

˜fp , comme˜f_I/K est premier avec˜fp, nous obtenons que ^˜^f^L/K_˜

fp est un multiple de˜f_I/K, ainsi de part l’expression du noyau de l’application d’Artin :(I/Kg

ψ(β)) = 1.

Réciproquement, supposons que σ ∈ I_p, par la surjectivité du symbole d’Artin logarithmique il existe b ∈ Dℓ^˜^f_K^L/K tel que (L/Kg

b ) = σ. Comme σ ∈ Ip, nous avons (gI/K b ) = 1.

Finalement, b ∈ Aℓ_I/K,_˜_f

L/K ⊂ Aℓ

I/K,

˜fL/K

˜fp

. Par le lemme précédent, nous savons que

Aℓ_L/KP ℓ⁽

˜fL/K

˜fp )

K =Aℓ

I/K,(

˜fL/K

˜fp ): il existe doncα∈ R⁽

˜fL/K

˜fp )

K etc∈Aℓ_L/K tels queb=cψ(α) etα est premier avec p car b etc le sont. Ainsi, comme α est son propre p-associé, nous obtenons : ^

(^α,L/K_p ) = (L/Kg

ψ(α)) = (L/Kg

bc⁻¹) = (L/Kg

b ) =σ.

(11)

2.2 La formule du produit et sa réciproque pour le symbole de Hasse logarithmique

Théorème 2.2.1. Formule du produit pour le symbole de Hasse logarithmique

Soit L/K une ℓ-extension abélienne finie et α ∈ RK, alors le symbole de Hasse logarithmique vérifie la formule du produit :

Y

p

^ (α, L/K

p ) = 1

Démonstration. Ce produit a tout d’abord un sens en vertu de la proposition 2.1.1 précé- dente : sip6 |f]_L/K, alors ^

(^α,L/K_p ) = (L/Kg

p )^−a où ψ(α) =p^aaavec apremier àp.

Il suit donc que si p 6 |f]_L/K et p 6 |ψ(α) (i.e a = 0) alors ^

(^α,L/K_p ) = 1. Ainsi, le symbole de Hasse logarithmique ne peut être différent de1, que pour les places logarithmiquement ramifiées dansL/K, ( donc divisant le conducteur logarithmique globalf]_L/K ) et les places divisantψ(α).

Soitα∈ RK, posons alors :

ψ(α) =

i=ρY

i=1

p^λ_iⁱ

avec dans {p₁,p₂, ...,p_ρ} outre les diviseurs premiers de ψ(α), les places finies logarithmiquement ramifiées. Enfin, notonsp_ρ+1, ...,p_R les places à l’infini logarithmiquement rami- fiées qui par convention sont les places à l’infini ramifiées au sens classique [Ja2].

Pouri= 1...Rconsidérons β_i unp_i-associé deα alors par définition : β_i

α ∈ R^(˜_K^f^pⁱ⁾etβ_i ∈ R⁽

˜fL/K

˜fpi

)

K .

Nous posons ψ(β_i) = p^a_iⁱa_i et ainsi ^

(^α,L/K_p ) = (^L/K_a

i ), avec la convention a_i = 0 pour les places à l’infini. Par hypothèse, ^β_αⁱ ∈ R^(˜_K^f^pⁱ⁾, il en découle que ψ(^β_αⁱ) est premier à p_i. Or nous avons :

ψ(β_i

α) = p^a_iⁱa_i Qρ

j=1p^λ_j^j = p^a_iⁱa_i p^λ_iⁱQ

j6=ip^λ_j^j.

Nous en déduisons donc que pour tout i∈[1, R], λ_i=a_i, et finalement nous obtenons : ψ(α) =

Yρ

i=1

p^a_iⁱ.

Il s’ensuit alors :

YR i=1

^ (α, L/K

p_i ) = YR i=1

(L/Kg

a_i ) = ( ^L/K Q_R

i=1a_i) d’après la propriété de multiplicativité du symbole d’Artin.

Le but est de prouver queQ_R

i=1a_iest dans le noyau de l’application d’Artin logarithmique.