Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 17 Epreuve sur dossier
DOSSIER Geo 15
Thème : Orthogonalité dans l’espace
L’exercice
Soit OABC un tétraèdre dont les arêtes contenant le point O sont deux à deux perpendiculaires.
On note : OA = a ; OB = b ; OC = c.
1. Montrer que les arêtes opposées du tétraèdre OABC sont orthogonales.
2. Soit H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
a) Justifier que la droite (AB) est orthogonale au plan (OCH).
b) Montrer que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.
c) Montrer que les points O et C ont le même projeté orthogonal sur la droite (AB). On appelle K ce point.
3. a) En calculant l’aire du triangle OAB, montrer que : 1 OK2 = 1
OA2 + 1 OB2 . b) Montrer que : 1
OH2 = 1 OA2 + 1
OB2 + 1 OC2 .
4. En calculant le volume du tétraèdre OABC de deux façons différentes, exprimer l’aire du triangle ABC en fonction des aires des triangles OAB, OAC et OBC, puis en fonction de a, b et c.
La solution proposée par un élève à la question 1
Le plan (OAB) est perpendiculaire au plan (OBC) car (OA), (OB) et (OC) sont deux à deux perpendiculaires. Donc (OA) est perpendiculaire à toutes les droites du plan OBC et en particulier elle est perpendiculaire à (BC), et (BC) est bien l’arête opposée à (OA).
On fait pareil avec les autres arêtes.
Le travail à exposer devant le jury
1. Quelles sont les connaissances et compétences mises en jeu dans cet exercice ? 2. Illustrez la conclusion de cet exercice à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.
3. Analysez la réponse de l’élève à la question 1.
4. Exposez une correction de la question 2 de l’exercice comme vous le feriez devant une classe.
5. Présentez plusieurs exercices sur le thème « Orthogonalité dans l’espace ».
