Geo 13 Orthogonalite espace

Master 2 EADM 2013-2014 Capes Externe

UE 16 Epreuve sur dossier

DOSSIER Geo 13

Thème : Orthogonalité dans l’espace

L’exercice

Soit OABC un tétraèdre dont les arêtes contenant le point O sont deux à deux perpendiculaires.

On note : OA = a ; OB = b ; OC = c.

1. Montrer que les arêtes opposées du tétraèdre OABC sont orthogonales.

2. On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

a) Justifier que la droite (AB) est orthogonale au plan (OCH).

b) Montrer que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.

c) Montrer que les points O et C ont le même projeté orthogonal sur la droite (AB). On appelle K ce point.

3. a) En calculant l’aire du triangle OAB, montrer que : 1 OK² = 1

OA² + 1 OB² . b) Montrer que : 1

OH² = 1 OA² + 1

OB² + 1 OC² .

4. En calculant le volume du tétraèdre OABC de deux façons différentes, exprimer l’aire du triangle ABC en fonction des aires des triangles OAB, OAC et OBC, puis en fonction de a, b et c.

La solution proposée par deux élèves aux questions 1 et 3

Elève 1

1. Le plan (OAB) est perpendiculaire au plan (OBC) car (OA), (OB) et (OC) sont deux à deux perpendiculaires. Donc (OA) est perpendiculaire à toutes les droites du plan OBC et en particulier elle est perpendiculaire à (BC), et (BC) est bien l’arête opposée à (OA).

On fait pareil avec les autres arêtes.

Elève 2 3. a) 1

OK² = 1 OA² + 1

OB² = OB² + OA²

OA² OB² = AB²

OA² OB² avec le théorème de Pythagore.

Donc OA² OB² = OK² AB² ce qui fait OA  OB = OK  AB, et c’est vrai car en divisant par 2, c’est l’aire de OAB.

b) On fait pareil et on trouve 1

OH²= 1

OK²+ 1

OC²et si on remplace, on trouve la formule de l’énoncé.

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Le travail à exposer devant le jury

1. Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence ses réussites et l’origine de ses éventuelles erreurs.

2. Exposez une correction de la question 2 de l’exercice comme vous le feriez devant une classe de Terminale scientifique.

3. Illustrez la conclusion de cet exercice à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

4. Présentez plusieurs exercices sur le thème « Orthogonalité dans l’espace ».