Master 2 EADM 2012 - 2013 Capes Externe
UE 17 Epreuve sur dossier
21/05/2013
DOSSIER Geo 13
Thème : Orthogonalité dans l’espace
L’exercice
Soit ABCD un tétraèdre régulier, c’est – à – dire tel que ses six arêtes ont la même longueur a. On note I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD], [BC] et [BD]. Le point A’ est le centre de gravité du triangle BCD.
1) Montrer que les arêtes opposées de ce tétraèdre sont orthogonales.
2) a) Montrer que la droite (IJ) est orthogonale aux droites (AB) et (CD).
b) En utilisant le triangle ABJ, calculer la distance IJ.
3) a) Montrer que la droite (AA’) est la hauteur issue de A dans le tétraèdre ABCD.
b) Calculer la distance AA’, puis le volume du tétraèdre ABCD.
4) a) Montrer que les plans (ICD) et (JAB) sont perpendiculaires.
b) Le plan (ICD) est – il perpendiculaire au plan (ABC) ?
La réponse de trois élèves à la question 1
Elève 1
(AB) est dans le plan (ABC) et (CD) est dans le plan (BCD).
Ces plans sont perpendiculaires parce que (AK) est perpendiculaire à (BC).
Donc les arêtes (AB) et (CD) sont perpendiculaires, et aussi orthogonales.
Puis on fait pareil pour les autres arêtes.
Elève 2
(AB) est perpendiculaire à (CI) et à (DI) donc aussi à (CD).
Elève 3 Je calcule le produit scalaire des vecteurs :
AB . CD = AB . ( CB+ BD) = AB . CB + AB . BD = BA . BC - BA . BD.
BA . BC et BA . BD sont les mêmes, donc le produit scalaire vaut 0, ce qui fait que les
vecteurs sont bien orthogonaux.
Et les vecteurs AD et BC, et aussi AC et BD sont bien orthogonaux.
Le travail à exposer devant le jury
1. Illustrer cet exercice avec un logiciel de géométrie dans l’espace.
2. Analyser les réponses de chacun des élèves à la question 1 : de quelles connaissances et compétences en lien avec le thème de l’exercice témoignent – t – elles ? Préciser l’origine des éventuelles erreurs.
3. Présenter une correction des questions 3.a et 4.b, telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.
4. Proposer plusieurs exercices sur le thème « Orthogonalité dans l’espace ».
