Niveaux d'impureté dans les cristaux (modèle hydrogénoïde)

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Niveaux d’impureté dans les cristaux (modèle hydrogénoïde)

Daniel Curie

To cite this version:

Daniel Curie. Niveaux d’impureté dans les cristaux (modèle hydrogénoïde). J. Phys. Radium, 1956,

17 (1), pp.16-20. �10.1051/jphysrad:0195600170101600�. �jpa-00235298�

NIVEAUX D’IMPURETÉ DANS LES CRISTAUX (MODÈLE HYDROGÉNOÏDE)

Par DANIEL CURIE,

Laboratoire de Luminescence, Faculté des Sciences, ^Paris.

Sommaire.

On étudie l’influence de l’anisotropie du cristal et de la variation de la constante

diélectrique ^{avec la} fréquence ^sur le modèle de Bethe des niveaux localisés (électrons gravitant

autour d’une charge + 03B5).

L’orbite de l’électron est alors ellipsoïdale. L’anisotropie du cristal intervient surtout par la diffé-

rence des masses effectives des électrons dans les diverses directions ; les orbites deviennent forte- ment excentriques pour des valeurs peu différentes de ¹ du rapport ^{de ces masses ;} mais il faut

qu’il atteigne plusieurs unités pour provoquer un déplacement important ^du niveau d’énergie. ^On

donne des courbes permettant de calculer ce niveau.

Pour traiter le cas des cristaux ioniques, ^{il suffit} d’introduire, ^{au lieu de la constante diélec-} trique K ^du cristal, ^{une constante} diélectrique effective Ke dont l’expression ^{est une} combinaison très simple ^{de K et} Ko = ^n2.

PHYSIQUE 17, 1956,

1. Introduction.

1.1. Considérons dans un

cristal une impureté constituée par un ion de

charge ^{+ E. Un} électron, capturé’dans ^le champ

coulombien de cet ion, gravite ^{autour de lui sur}

une orbite de Bohr : Telle est la représentation ^la plus simple d’un niveau électronique localisé dans

un cristal. On désigne ^ce modèle, ^{dû à Bethe} [1],

sous le nom de modèle hydrogénoïde.

Soit .K la constante diélectrique ^{du milieu. La} première ^{orbite a} pour rayon

et son énergie ^est

valeur qu’on ^{identifie à la} profondeur ^{du niveau}

en dessous de la bande ^de conductibilité.

On explique ^ainsi pourquoi différentes impu-

retés (P, As, Sb, substitutionnels dans le germa

nium) conduisent à des énergies d’activation voi- sines (-- 0,01 eV) : ^{elles se} traduisent par le même modèle d’une charge additionnelle + ^{s. En substi-} tuant dans l’expression ci-dessus la valeur de K

(16 pour le germanium, 12 pour le silicium), ^on

trouve l’ordre de grandeur ^de E ; ^{mais avec cette}

forme simpliste du modèle l’accord est encore des

plus grossiers.

1.2. Le modèle peut ^{être étendu aux cristaux} ioniques ^{à condition} d’introduire dans les formules ci-dessus une constante diélectrique eflective ^Ke

intermédiaire entre les constantes diélectriques K

en champs statiques ^et Ko ^{en haute} fréquence (Mott et Gurney [2]). L’introduction de Ke ^au lieu de .K a pour but de tenir compte ^{de la} polari-

sation du milieu cristallin due à l’électron gravi-

tant. Mott a indiqué ^le principe ^{d’une méthode de}

champ self-consistent permettant de calculer cette

polarisation [2] ; ^{les calculs ont été} effectués par

Simpson [3] ^{et Lehovec} [4]. ^{J’ai donné} [5] ^une interprétation physique de la notion de constante

diélectrique effective :

Du fait de la polarisation, ^le champ ^dans lequel gravite l’électron n’est plus coulombien ; ^{il a} pour valeur e / Kr2 près ^{de l’ion} d’impureté ^{et z} / K or2 ^à grande ^distance. L’énergie ^{du niveau}

n’est plus donnée par ^une formule de Bohr. Mais

on peut rechercher une solution approchée ^de l’équation ^d’onde qui corresponde ^{à une orbite} hydrogénoïde de rayon ^a. Je pose :

.

Il vient

On trouve alors

hv = 1 Wl ^est l’énergie d’ionisation optique ^du

niveau.

L’énergie d’ionisation thermique ^{E est moindre} que 1 WI, ^{car au cours} de l’ionisation la polarisation

du milieu ^{a eu} le temps ^{de se modifier.}

Le calcul donne

Une autre interprétation (approchée) ^{de Ke est}

la suivante : Bien que le champ ^ne soit pas ^cou-

lombien, ^on le pose égal à E jKea2 ^{sur l’orbite de}

rayon a [5].

Le modèle hydrogéneïde ^{a ainsi été} utilisé pour les halogénures alcalins ainsi que AgCl (Simpson),

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0195600170101600

17

SiC (Lehovec). Essayant ^de l’appliquer, ^non plus

à des niveaux donneurs, ^{mais aux} pièges ^{liés au}

réseau dans ZnS, ^{on trouve aussi un bon accord}

avec l’expérience [6].

1.3. La forme simpliste exposée ^{ci-dessus se}

heurte à diverses objections :

a) ^En supposant l’électron mobile dans le seul

potentiel 8 Y créé par l’impureté ^{(au lieu de 8V +}

le potentiel ^{du réseau} parfait), ^on remplace Inéqua-

tion de Schroedinger d’un électron dans le réseau

(ceo hamiltonien du cristal non perturbé) par

l’équation de Wannier [7] ^{obtenue en} substituant à 9Co ^{sa valeur} propre Eo

La validité de cette approximation ^{a[ été récem-}

ment discutée _par Kittel et Mitchell [8], qui ^on

montré que l’erreur commise, ^{évaluée comme frad-}

tion du potentiel 8 Y, ^est de l’ordre de

(avec ^un coefficient numérique que l’on ^ne sait pas

préciser actuellement).

b) ^En exprimant ^{8 V au} moyen d’une constante

diélectrique, ^on suppose ^le milieu cristallin

continu ; ^cette approximation ^{est d’autant} plus

valable que le rayon de l’orbite est plus grand.

c) ^{Dans le modèle} simple, ^{on a considéré le cris-}

tal comme isotrope (orbites circulaires). ^{En réalité} l’anisotropie du cristal ^a _pour conséquence l’ellip-

ticité des orbites.

_

Les deux premières objections reviennent à dis- cuter la validité du modèle. Le but de ce travail est différent :

Etant donné un cristal dont les constantes diélec-

triques respectives ^{à basse et haute} fréquence ^sont

K et .K4, ^{dont un} électron de conductibilité a pour

masses effectives m., m,, mz selon les trois axes

principaux x, y, z, déterminer l’orbite et l’énergie

de l’électron localisé ^autour de la charge + ^E.

Nous supposons négligeable l’anisotropie ^{de K}

et Ko ^{devant celle des masses} effectives ( 1). ^Cette approximation ^{sera le} plus ^souvent légitime (2).En particulier, ^{dans un cristal} cubique ^les propriétés optiques ^et diélectriques ^sont isotropes, tandis que dans le germanium ^{on aurait}

(1) ^{Pour en tenir} compte, ^il suffirait de remplacer ^dans

les calculs exposés ici les variables _{x, y,} z par Kx x, Ky y, Kz ^z.

(2) Cependant, M. le Pr J. P. MATHIEU nous a signalé ^le

cas du rutile [9], qui présente ^une anisotropie considérable de K, quoique ^non ferroélèctrique.

d’après ^{les mesures} indirectes (photomagnéto-

résistance et ^« résonance cyclique ») ^mais qui ^sont

en bon accord.

L’anisotropie ^{de l’indice de} réfraction ^ou de la constante diélectrique ^{est loin de ces valeurs.}

Le problème consiste alors à exprimer les valeurs propres de l’équation

où 8V est le potentiel. ^créé par la chargè ^{+ e,} compte ^{tenu de la} polarisation ^{du milieu cristal-}

lin. Cette équation ^{se réduit à celle de Kittel et}

Michell [8] ^{dans le cas du} germanium (my ^{= mx}

et Ko ⁼ K).

2. Expressions ^de l’énergie d’ionisation _optique

hv et de l’énergie d’ionisation thermique ^{E dans le}

cas général.

.

2.1. Il n’est pas possible de résoudre exactement

l’équation (1). ^Nous rechercherons une solution

approchée § ^du type suivant, qui ^{se ramène au} Ç hydrogénoïde quand ^{les 3 axes sont} égaux :

Les surfaces sur lesquelles la densité de charge

est constante sont les ellipsoïdes homothétiques E(O) ^définis par

L’« orbite ^» est définie par le maximum de

1.21 12 ; ^{elle est} constituée par l’ellipsoïde ^d’axes 4a, 4b, 4c. a, b, ^{c sont les} paramètres ^à assujettir.

Soit V(x, y, z) ^le potentiel créé par la répar-

tition de charge (2). ^Le potentiel ^effectif 8 V agis-

sant sur l’électron est

Cette équation traduit que la charge + ^e déplace les ions du réseau depuis ^leur position d’équilibre ^dans le cristal pur : d’où le ^terme

e2 1 Kr; mais l’électron tend à les y ^{ramener :} à

grande ^{distance V est en 1} /r ^{et 8 V = -} e;2JKor.

2.2. EXPRESSION DU POTENTIEL V CRÉÉ PAR LA DISTRIBUTION ÉLECTRONIQUE (2). - On sait que le problème ^du potentiel créé par ^une distribution

ellipsoïdale ^a reçu ^une solution par l’emploi des

coordonnées elliptiques (Chasles, Lamé).

Considérons la couche comprise ^{entre les deux} ellipsoïdes homothétiques E(O) ^et E(O + dO). ^{Soit à}

déterminer le potentiel créé par cette couche ^en

un point ^extérieur P(X, Y, Z). On considère

l’ellipsoïde S(6) homofocal ^de E(O) ^et passant par P:

u est la racine positive ^{de cette} équation. ^Le poten- tiel créé par ^la couche en P est, d’après [10]

En un point P intérieur à la couche de potentiel

est le même _que sur E(O), ^soit

Le potentiel ^{créé en} P(X, Y, Z) par la distri- bution infinie (2) ^est par suite

où 0 définit l’ellipsoïde E(0) passant par P :

On transforme cette expression (par intégration

par parties) ^en

où 6 (u) ^{est défini} _par l’équation (4).

2.3. ÉNERGIE POTENTIELLE TOTALE DE L’ÉLEC-

TRON DANS LE POTENTIEL 8F.

Dans ce qui suit,

il est nécessaire de préciser ^{l’ordre des axes si l’on}

veut aboutir à des expressions ^{réelles. Nous} pose-

rons

considérons d’abord la contribution à l’énergie

du terme en 1 Ir figurant ^{dans le} potentiel :

Pour l’évaluer, on commence par prendre pour coordonnées 6, ^{r et z. Il est alors} possible, par des

changements ^{de variables} homographiques, ^de

mettre 1 ^sous la forme

Cette expression, ainsi que celles auxquelles ^on parvient ^{dans les calculs} suivants, ^{se ramène à}

celles figurant ^{dans les Tables 73 et 225 de Bierens}

de Haan [11]. ^Par regroupement ^des termes, ^il vient simplement

où F est l’intégrale elliptique ^de première espèce

dont il existe des tables [12]. ^{On a}

Considérons maintenant la contribution du

potentiel V(X, Y, Z).

Quoiqu’il ^ne paraisse pas possible d’expliciter ^V

défini par (5), ^{on établit} par des changements ^de

variables analogues ^aux précédents

L’énergie potentielle ^de l’électron est ainsi

2.4. ÉNERGIES D’IONISATION _THERMIQUE ET

OPTIQUE.

Le calcul de l’énergie cinétique (3) ^ne présente pas de difficultés, ^{il vient}

Ainsi l’énergie ^{W du} niveau, ^{dont la valeur}

absolue hv est l’énergie d’ionisation optique ^(à polarisation ^maintenue constante) ^est

La différence entre l’énergie d’ionisation

optique ^{hv et} thermique ^{E est}

où P est la polarisation ^{du milieu et F le} champ

créé par l’électrpn (le champ qui ^{crée la} partie

variable de la polarisation) ^{et non le} champ

total [4]. ^De même que l’énergie potentielle ^d’une charge q ^{dans un} potentiel ^V est qY ^{si ce} potentiel

est fixe et seulement q V ₂ ^{si le potentiel P est créé}

par la charge elle-même, je ^trouve ainsi que

l’énergie d’ionisation thermique digère ^de l’énergie

d’ionisation optique ^{par la} simple ^division par 2 des termes de polarisation ^{dus à} l’électron localisé :

où

On retrouve la même combinaison (constante diélectrique effectives Ke) que dans le cas isotrope

(3) ^Nous désignons par là l’opérateur figurant ^au premier

terme de (1).

19

2.5. hFTERMINATION ^DES PARAMÈTRES a, b, c.

2013

l,e calcul de variation ^sert à déterminer ^{la solu-’}

tion la meilleure pour ^un potentiel V donné. Il ^ne

faut donc ^pas écrire, par exemple,

mais

Le calcul des intégrales ^{de ce} type ^{est encore} plus

laborieux que celui de I ^et J. Mais on parvient à ^la

condition très simple

d’énergie d’ionisation thermique ^minimum.

Ainsi, ^bien que W soit la valeur _{propre de} l’hamiltonien (1), ^{c’est .E} qui joue ^{ici le rôle} d’énergie ^{du niveau. E est} d’ailleurs l’énergie ^du

niveau par rapport ^{au bas} de la bande de eonduc- tibilité ( fcg. 1).

Fie. 1.

Énergies d’ionisation thermique ^{E et} optique hv

dans un cristal ionique.

La raison de ce résultat est, ^en gros, que dans

(10) ^{P et F sont} fous, ^déux proportionnels ^au champ dérivamt ^du potentiels ^V et, par suite,

On voit ainsi apparaître ^{la division} par 2 du terme de polarisation qui ^fait passer de ^{W à E.}

L’écriture explicite ^des 3 relations (13) ^fait apparaître, ^en plus ^de F, l’intégrale elliptique ^de

deuxième espèce E(y, q), ^{dont il existe} également

des tables. Les combinant linéairement, ^{on trouve}

de sorte que, finalement,

qui ^{s’écrit avec une} approximation très suffisante

3. Cas particuliers ^{où deux des masses sont} égales.

Lorsque mx - my, l’orbite est de révolu- tion autour du petit ^{axe. On a} y = 0 ^et

e excentricité : c2 = a2 (1

e2).

Des relations (13), qui ^{ne sont alors} plus que

deux, ^{on déduit :}

et en posant

(u ^en particulier étant la moyenne géométrique ^des

masses mx ^et mz) ^{il vient}

Lorsque Tny ⁼ ma, l’orbite est de révolution autour du grand ^{axe. On a} y ⁼ 1 et il vient due

même

On peut poser

(16) ^et (17) constituant les équations paramé- triques ^{de la courbe} représentative ^de f ( fig. ² b).

On a aussi figuré l’excentricité e en fonction du

rapport ^{des masses mx} /mz. ^{Les deux courbes}

obtenues sont très voisines (fig. 2 a). ^{Une forme} approchée ^{commune en est :,}

Cette expression, assujettie à coïncider ^avec le

développement ^limité (commun ^au premier ordre)

de (16) et, (16) ^{aux faibles} excentricités, ^donne

encore une.précision de 1 /200 ^{sur e} pour le germa-

nium, ^{où le} rapport ^{des masses est de} 5,2. ^10-2 (e ⁼ 0,935).

L’aspect des courbes de la figure ^{2 montre que}

pour ^un rapport ^{des masses} peu différent de 1 ^on (4) Cette forme a été choisie pour donner ^une solution

grossière rapide ^{dans le tas} général Ba =1: b =1= c). ^Admet-

tant que le rapport ^{des axes dans} deux directions ne dépend qué ^du rapport ^{des masses} effectives des électrons de conductibilité dans ces deux directions (ce qui ^n’est

qu’approximatif), ^{on a 3} relations de la forme (19)

pour

déterminer les rapports ^{des axes.} Cette forme est telle que

ces 3 relations soient compatible.

atteint déjà ^’des excentricités élevées ; ^{mais la}

variation de l’énergie d’ionisation E reste assez

faible tant que le rapport ^{des masses effectives}

A.

Excentricité e en fonction du rapport ^{des masses}

mx /mz. ^Les points. ^et les ronds o représentent ^.les

valeurs calculées, respectivement d’après (16) ^et (16’),

La courbe continue représente l’expression appro-

,chée (19).

B. ²⁰¹³ Facteur multiplicatif f(mx/mz) intervenant dans

l’expression (18) ^de l’énergie d’ionisation thermique ^E.

Ce facteur représente la correction due à l’excentricité.

Les nombres inscrits à côté des points figurés ^{sont les}

valeurs -correspondantes de l’excentricité. Pour les faibles excentricités on a f ^{= 1 +} (mx/6mz) .

FIG. 2.

Excentricité de l’orbite et énergie d’ionisation thermique ^{dans le cas où l’orbite} est de révolution : . autour du petit axe ; ^o autour du grand ^axe.

Sur les deux figures ^sont indiquées ^en outre les valeurs relatives ^au Germanium et ^au Silicium.

dans les différentes directions n’atteint pas plu-

sieurs unités.

Il convient bien entendu d’insister ^sur la néces- sité d’effectuer des mesures de masse effectives

en particulier ^{des mesures directes}

^{mais on voit}

que dans les cas où l’on ignore ^{encore celles-ci}

on peut espèrer ^le plus ^{souvent ne} pas ^commettre de fautes d’ordre de grandeur ^en appliquant ^les

formules simples ^{du modèle} isotrope.

Manuscrit reçu le ⁶ juillet ^1955.

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