Conductibilité électrique des lames minces anisotropes

HAL Id: jpa-00235342

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235342

Submitted on 1 Jan 1956

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Conductibilité électrique des lames minces anisotropes

E.H. Sondheimer

To cite this version:

E.H. Sondheimer. Conductibilité électrique des lames minces anisotropes. J. Phys. Radium, 1956, 17

(3), pp.201-203. �10.1051/jphysrad:01956001703020100�. �jpa-00235342�

201

CONDUCTIBILITÉ ÉLECTRIQUE ^{DES LAMES MINCES} ANISOTROPES

Par E. H. SONDHEIMER,

Queen Mary College, ^Londres.

Summary. - In thin metallic films the effective free path of the conduction electrons is shor- tened by collisions with the surfaces of the film and, when the thickness is small compared ^{with the}

bulk free path, ^{the current} is carried mainly by electrons which move nearly parallel ^{to the sur-}

face. As a consequence, when the orientation of the crystal ^axes relative to the surface is varied in single crystal films, different groups of electrons corresponding ^{to different} regions ^of

the Fermi surface become prominent ⁱⁿ determining ^the resistance, ^and the resistance may there- fore be expected ^{to show a much} greater varietyof anisotropic behaviour than is observed in the bulk metal. It is suggested that measurements of the anisotropy of the resistance of single crystal

films may provide useful information about the shape of the Fermi surface ⁱⁿ metals.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ^{ET LE RADIUM} TOME 1’, MARS 1956,

C’est un fait bien connu que les lames métal-

liques très minces ont des propriétés électriques

variées et compliquées qui ^{ne sont} encore, ^en

aucune façon, complètement ^{connues. Le compor-}

tement des lames, ^dont l’épaisseur dépasse ^un

micron à peu près, ^{est néanmoins} beaucoup plus simple, ^{et leurs} propriétés de résistance sont sou-

vent évaluées assez efficacement en présumant que le comportement ^{des lames} est, semblable à celui du métal massif, ^{sauf un mécanisme} additionnel de résistance dû à la réflexion diffuse des électrons sur

les parois de la lame. Cet effet n’est accusé que

lorsque ^{le libre} parcours des électrons ^est grand par

rapport ^à l’épaisseur ^{de la} lame, ^{et dans les lames}

de l’épaisseur considérée ici, ^des expériences ^{à la} température de l’hélium liquide ^sont nécessaires afin d’obtenir les longs ^libres parcours requis [1].

Des expériences ^{de ce} genre donnent ^une évalua- tion directe du libre parcours des ^électrons dans les métaux. Un phénomène ^d’un type apparenté

est l’effet de peau ^{anomal dans les} métaux, ^{où le}

libre parcours ^est comparé ^{à la} profondeur ^de péné-

tration d’un champ électromagnétique ^à haute fréquence dans le métal [2].

Des travaux théoriques ^et expérimentaux

récents sur l’effet de peau anomal [3], [4], [5] ^ont

démontré que ^ces effets de libre parcours moyen

peuvent s’employer pour fournir des renseigne-

ments particulièrement importants ^au sujet ^{de la}

structure électronique des métaux lorsque ^les expériences ^{sont faites sur} monocristaux. La conductivité électrique ^{6 d’un métal} anisotrope ^est généralement représentée par ^{un tenseur} symé- trique de deuxième ordre, ^et l’anisotropie ^{de a est}

déterminée par les cosinus de direction spécifiant

la direction du passage du ^courant relatif aux axes

du cristal. La situation dans l’effet de peau anomal est moins simple, ^et peut ^être plus ^facilement comprise ^{à l’aide du « concept} d’inefficacité » de

Pippard. D’après ceci, seuls les électrons qui ^cir-

culent quasi parallèlement ^à la surface du métal contribuent au courant d’une manière appréciable,

en sorte que pour l’orientation différente des axes du cristal relativement à la surface, ^différents

groupes d’électrons ^{entrent en} jeu, ^et la résistance

ne dépend pas seulement de la direction ^{du pas-}

sage du courant, mais aussi de l’orientation de la surface relative aux axes du cristal. De cette manière la géométrie locale de la surface Fermi est réfléchie dans le comportement de la résistance de surface.

Nous avons cru intéressant de souligner que des considérations analogues s’appliquent ^au compor- tement des lames minces: Fuchs [6] ^{donne la}

théorie exacte des effets de libre parcours moyen dans les lames minces isotropes, ^{mais il est assez}

difficile de l’étendre aux lames anisotropes ^{dans les}

cas généraux. ^Aussi limiterons-nous la discussion

aux lames fort minces par rapport ^{au libre} par- cours, ^vu les résultats particulièrement frappants qui peuvent être obtenus ^en ceci par des arguments simples quoique ^non rigoureux.

Si nous considérons d’abord le ^cas des isotropes,

nous pouvons présumer que ^tous les libres parcours ont leur .point ^de départ ^{à la} surface, ^et que le libre parcours ^{effectif est} la moyenne de ^tous les libres parcours d’un électron donné, ^{le libre} parcours étant _conçu comme la distance jusqu’à ^l’inter-

section suivante avec la surface ou comme un libre parcours ordinaire, ^en prenant ^le plus ^{court d’entre}

eux [7]. ^{Si nous} admettons, ^de plus, que la densité des électrons circulant de la surface ^vers l’intérieur est uniforme (réflexion diffuse), ^nous pouvons éta- blir ce qui ^{suit : si 0 est} l’angle ^entre la direction du mouvement et la normale à la surface de ^la lame, ^et 0,

^{arc cos b} /1,

où b est l’épaisseur ^{de la} lame et 1 le libre parcours

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01956001703020100

202

dans le métal massif. Par conséquent ^{on obtient}

pour des lames fort minces

.

approximativement, ^avec 6o ^comme conductivité du métal massif ; ^ceci correspond (à l’exception

d’un facteur numérique) ^{au terme dominant}

obtenu dans la théorie exacte. En examinant les

intégrales, ^{on constate} que l’apport principal ^à leff quand 1 ^{» b} provient des valeurs de 0 proche

de 00 ; ^ceci peut s’exprimer ^{en écrivant}

où ,f

b jl peut être considéré comme la fraction

des électrons qui ^contribue pleinement ^au proces-

sus conducteur dans les lames fort minces.

On peut ^{étendre ce résultat au cas} général ^d’un

métal où la surface de Fermi est de forme arbi- traire au moyen des arguments généraux employés

par Pippard [4]. ^{Pour donner une} première ^{idée des} résultats, ^{nous allons} cependant circonscrire notre attention sur le modèle le plus simple ^{d’un cristal}

de métal uniaxe, ^dans lequel la surface Fermi est

supposée ^{être un} ellipsoïde de révolution autour de l’axe principal. ^{Dans ce cas la} fraction des électrons efficace dans le processus conducteur dépend ^de l’angle ^{entre l’axe} principal ^de l’ellipsoïde ^{et la nor-}

male à la surface de la lame, ^et par le ^{recours à} des

arguments similaires à ceux que Pippard ^a employés [4] ^{il est aisé} de démontrer qu’à pré-

sent

où 1 est un libre _parcours proprement défini, ^{et où}

1 + a marque le rapport de la conductivité

a (1 + a) ^{du métal} massif ^le long ^{de l’axe} principal

à la conductivité ^a dans le plan ^{normal à l’axe} prin- cipal ^de l’ellipsoïde.

Admettons maintenant, par analogie ^{avec le cas}

de l’isotrope, que la conductivité de la lame soit rendue par

où co(§) ^{est la} conductivité du métal massif mesurée dans les mêmes conditions géométriques

que a(). ^{Ici l’intérêt} dominant réside dans les conductivités a1> et G(2) mesurées selon les direc- tions principales ^de la surface de la lame, ^c’est-à-

dire pour le passage du ^{courant dans et} perpendi-

culairement au plan ^{contenant l’axe du cristal et}

la normale à la surface. Ces conductivités sont

représentées dans le métal massif par

de là, ^{en combinant} (3), (4) ^et (5), ^nous arrivons,

pour les lames minces anisotropes, ^à

-

1 ¹

La théorie exacte, ^{basée sur un} prolongement

de l’analyse ^{de Fuchs} [6], ^{mène au même résultat} quand b « l, ^{si ce n’est} pour ^un facteur numé-

rique ^constant qui ^est dépourvu ^{d’intérêt.}

D’une façon plus.générale, ^{si les} électrons conduc- teurs occupent plusieurs ^bandes d’énergie, ^{les sur-}

faces d’énergie ^étant splréroidales (de ^{formes diffé-}

rentes mais ayant ^{en commun un axe} principal)

dans les bandes différentes, ^{nous arrivons à}

où a(l)’, etc..., ^sont exprimés par les expression

de la forme (6) ^{mais. avec des} paramètres a’, a’,

l’ etc... qui ^se rapportent ^{aux électrons dans une}

bande particulière ^seulement.

Prenons le ^cas de l’étain à titre d’exemple. ^La

conductivité à l’état massif de ce métal est presque

isotrope ^{dans la} région ^de résistance résiduelle à très basses températures, ^{avec a}

^0.12 [8],

mais l’effet de peau anomal dans les fils ^mono- cristaux de l’étain est décidément anisotrope [3].

Sondheimer [5] ^{a montré} que le modèle le plus simple capable ^de reproduire ^les résultats de Pip- pard [3] ^{est un de ceux dans} lesquels ^{la surface}

Fermi consiste en deux ellipsoïdes ; ^{une confor-}

mité approximative ^avec l’expérience peut ^être obtenue en admettant _que

FIG. 1.

Conductivité électrique

d’une lame mince anisotrope.

L’emploi ^{de ces valeurs dans} (7) ^{en admettant}

en plus ^que 1" /b

^{100 donne} les courbes indi-

quées ^{dans la} figure ^{1. La forte} anisotropie de, ^{à la}

fois, ^{0’(1) et G(2) est} remarquable, ^{et accuse le}

203

contraste avec le comportement presque isotrope

du métal massif.

En vue des nombreuses approximations que pré-

sente la théorie actuelle, ^{et de la nature} artificielle du modèle, ^{les résultats ci-dessus ne} peuvent ^reven- diquer ^de signification qu’à ^titre d’exemple ; ^il

faut néanmoins préciser ^{que les} expériences ^du

.

genre de celles _que nous venons de suggérer, ^si

elles pouvaient ^être pratiquées, ^ne laisseraient pas d’être importantes ^et intéressantes comme une

méthode nouvelle pour l’étude de la configuration électronique ^des métaux.’ Nous n’essaierons pas de discuter le problème pratique, qui ^{offre une diffi-}

culté évidente, ^{de la} préparation ^{des lames mono-}

cristallines du type requis ici ; ^{mais il faut insister}

sur le fait que, ^aux plus ^basses températures, ^le

libre _parcours électronique ^dans l’étain très pur ^est de l’ordre de 10-2 _{cm ;} en sorte que les effets _que

nous venons de discuter ici peuvent ^s’observer dans les lames épaisses ^de plusieurs ^microns d’épaisseur.

DISCUSSION

M. Van Itterbeek.

Je voudrais faire remar-

quer ^à M. Sondheimer _que nous avons fait aussi des mesures sur l’étain. Mais nous avons attaqué

le problème d’une manière différente de celle de M. Pippard. Cependant ^{nous arrivons aux mêmes}

résultats. Nous supposons que nous avons mesuré la profondeur ^de pénétration ^du champ magné- tique ^{dans l’état} supraconducteur. ^{Nous avons} beaucoup ^{de raisons de croire que} nous avons des couches lacunaires avec des cristaux d’étain orientés perpendiculairement ^{à la} surface, ^on le

constate à une chute très aiguë ^de résistance. De même les variations d’anisotropie ^{de la surface en}

fonction de 8 correspondent ^{très bien à cette}

structure.

M. Mayer. - ^{Je voudrais} signaler ^{que nous}

sommes en train de mesurer à Claustal l’effet Hall de couches winces ^{de métaux} alcalins, ^{en fonction}

de l’épaisseur, ^{dans le but} de déterminer le nombre d’électrons de conduction et de retrouver la théorie du ^« Weglangeneffekte ^» qui prévoit qu’il ^{est pos-}

sible de déterminer également par ^ce procédé l’impulsion de Fermi de ces électrons : m v.

M. Abelès. - Si on faisait des mesures dans

l’infrarouge, ^est-ce que cela ^ne donnerait _pas des résultats plus simples ?

M. Sondheimer.

A quelle température ?

M. Abelès.

A basse température.

M. Sondheimer.

C’est très compliqué. Il y ^a

un effet de peau anomal très important ^{dans la} région infrarouge ainsi que dans la région ^{des ondes} centimétriques. ^{Les calculs sont} beaucoup plus

difficiles dans cette région ^{que dans celle de} Pip- pard, pour des raisons mathématiques.

Je _pense aussi qu’il serait très intéressant d’étu- dier l’anisotropie, ^{pour les} propriétés optiques ^de

tels films aux très basses températures.

M. Colombani.

Je crois que la question posée

par M. Abelès a été résolue. Dingle n’a-t-il pas fait des calculs dans l’infrarouge ?

M..Sondhezmer.

Oui, mais seulement sur des métaux isotropes. ^{Nous avons} essayé ^de généra-

liser les calculs de Dingle ^dans l’infrarouge pour le cas de métaux anisotropes.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^ANDREW (E. R.), ^Proc. Phys. Soc., London, 1949, A 62, 7 7.

[2] ^CHAMBERS (R. G.), ^Proc. Roy. Soc., 1952, ^A 215, ^481.

[3] ^PIPPARD (A. B.), ^Proc. Roy. Soc., 1950, ^A 203, ^98.

[4] ^PIPPARD (A. B.), ^Proc. Roy. Soc., 1954, ^A 224, ^273.

[5] SONDHEIMER (E. H.), ^Proc. Roy. Soc., 1954, ^A 224,

260.

[6] ^FUCHS (K.), Proc. Camb. Phil. Soc., 1938, 34, 100.

[7] ^LOVELL (A. ^C. B.), ^Proc. Roy. Soc., 1936, ^A 157, 311.

[8] ^PIPPARD (A. B.), ^Proc. Roy. Soc., 1953, ^A 216, ^547.