Sur la conjecture abc version corps de fonction, d'Oesterle

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Preprint submitted on 5 Sep 2006

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Sur la conjecture abc version corps de fonction, d’Oesterle

Frédéric Campana

To cite this version:

Frédéric Campana. Sur la conjecture abc version corps de fonction, d’Oesterle. 2006. �hal-00091240�

SUR LA CONJECTURE ABC, VERSION CORPS DE FONCTIONS D’OESTERL´ E

Fr´ ed´ eric Campana July 20, 2006

R´ esum´ e: Nous d´ emontrons une forme faible de la version corps de fonctions complexe, due ` a Oesterle, de sa conjecture abc: soit B une courbe projective com- plexe, et D un diviseur r´ eduit de degr´ e d > 0 sur B de la surface S := B × P ¹ . Alors le nombre de points d’intersection compt´ es sans multiplicit´ es de D et du graphe H d’une section de la projectionq : S → B, est au moins (d − 2[ √

d]).n, ` a une constante additive pr` es ne d´ ependant que de (D, B), si H est de degr´ e n > 0 sur P ¹ . (La conjecture affirme l’existence d’ au moins (d − 2 − ).n points).

Abstract: We show a weak form of Oesterl´ e’s complex function field version of his abc conjecture: let B be a complex projective curve, and D a divisor on the surface S := B × _P ¹ , D of degree d > 0 over B. For any map h : B → _P ¹ of any geometric degree n > 0, the number of intersection points, counted without multiplicities, of D with the graph of h is then at least (d − 2[ √

d]).n, up to an additive constant depending only on (B, D). (The conjecture asserts the existence of (d − 2 − ).n intersection points at least, instead).

Remarciements: Je remercie vivement J. Oesterl´ e et le rapporteur, le premier pour m’avoir communiqu´ e sa conjecture et signal´ e une lacune dans une version ant´ erieure; le rapporteur pour sa lecture attentive, rep´ erant une erreur r´ esiduelle.

1 Introduction

L’´ enonc´ e suivant est une forme tr` es affaiblie de la conjecture abc pour les corps de fonctions, due ` a J. Oesterle ([Oe 05]), qui est l’´ enonc´ e ci-dessous, mais avec [ √

d]

remplac´ e par 1 + , > 0 arbitraire; sous forme optimiste l’in´ egalit´ e subsisterait avec = 0.

Th´ eor` eme 1.1 Soit B une courbe complexe lisse et connexe de genre g. Soit S :=

B × P 1 , munie des projections p : S → P ¹ et q : S → B. Soit D ⊂ S une courbe projective r´ eduite de degr´ e g´ eom´ etrique d > 0 sur B .

Il existe alors une constante C := C(D, B) telle que:

Pour tout n > 0, et pour toute application holomorphe surjective h : B → P 1 , de degr´ e g´ eom´ etrique n, de graphe H ⊂ S, non contenu dans D, le nombre N H de points d’intersection (deux ` a deux distincts) de D et H v´ erifie: N _H ≥ n.(d − 2[ √

d]) − C.

Remarques: 1. Lorsque D est un diviseur constant constitu´ e de la r´ eunion des graphes de d sections constantes distinctes de q, la conjecture est une cons´ equence imm´ ediate de la formule de Riemann-Hurwitz, qui fournit: N ≥ (d − 2)n − (2g − 2).

2. La conjecture est invariante par transformation birationnelle de S = B ×

P ¹ au-dessus de B, rempla¸cant D, H par leurs transform´ ees strictes. En effet, le nouvel n diff` ere alors de l’ancien par une constante additive, ´ egale ` a la diff´ erence cohomologique entre une section constante de q et sa transform´ ee stricte, divis´ ee par la classe d’une q-fibre.

3. Si d ≤ 3, on peut transformer birationnellement D en un diviseur constant

`

a l’aide du birapport. La conjecture est donc vraie pour d ≤ 3 (mais ouverte d´ ej` a pour d = 4). On peut en d´ eduire ais´ ement que N H ≥ n.(d/3) − C ⁰ (D, B).

4. La conjecture est vraie pour (D, B ) si elle l’est pour (D ⁰ , B ⁰ ) d´ eduit par changement de base fini B ⁰ → B. On supposera donc dans la suite que D est la r´ eunion des graphes D j de d sections distinctes s j : B → S de q, pour j ∈ J :=

{1, · · · , d}.

5. La m´ ethode suivie est, en plus simple, celle de [Ca 04], issue des consid´ erations orbifoldes de [Ca 01].

Notations et conventions: On supposera que la section ` a l’infini B ∞ :=

B × {∞} diff` ere de H, et coupe D transversalement en δ points, δ ´ etant le degr´ e de D sur _P ¹ . On notera δ _j ≥ 0 les degr´ es des sections s _j , et δ est donc la somme des δ _j . On notera x (resp. y) une coordonn´ ee locale sur B (resp. une coordonn´ ee lin´ eaire sur C := P ¹ − {∞}), et dx (resp. dy) les formes diff´ erentielles d´ eduites de ces fonctions par d´ erivation. On notera aussi p ∈ B un point fix´ e de B (choisi en fonction de h), et P := q ⁻¹ (p) sa q-fibre r´ eduite.

Definition 1.2 Soit m, ν deux entiers, et w ∈ H ⁰ (S, Sym ^m (Ω ¹ _S )(2mB ∞ + ν.P )), m > 0. On dit que w est tangente ` a D si s <sup>∗</sup> <sub>j</sub> (w) = 0, pour tout j ∈ J . On note W <sub>m,ν.p</sub> le sous-espace vectoriel complexe de H <sup>0</sup> (S, Sym <sup>m</sup> (Ω <sup>1</sup> <sub>S</sub> )(2mB ∞ + ν.P )) constitu´ e des formes pluridiff´ erentielles tangentes ` a D.

Lemme 1.3 Si m ≥ [ √

d], il existe ν(m) tel que si ν ≥ ν(m), alors W _m,ν.p est de dimension au moins 1, ceci pour tout p ∈ B.

D´ emonstration: Ecrivons w = ^{P h=m} _h=0 (dy) ^⊗(m−h) ⊗ w h , avec w h ∈

q ^∗ (H ⁰ (B, hK _B + ν.p)) ⊗ π ^∗ (H ⁰ ( _P ¹ , O(2h))), π : S → _P ¹ ´ etant la seconde projec-

tion. Notons V := V _m,ν.p l’espace vectoriel complexe des formes pluridiff´ erentielles

m´ eromorphes sur S de cette forme. Alors, pour tout j ∈ J , on a une restriction

lin´ eaire naturelle s ^∗ _j (w) ∈ H ⁰ (B, mK _B + 2m{δ _j } + ν.p) dont le noyau est de codi-

mension au plus: ((2m − 1)(g − 1) + 2mδ _j + ν) dans V , avec {δ _j } := s ^∗ _j (B ∞ ) . La

codimension dans V de W _m,ν.p est donc au plus (2md(g − 1) + 2mδ + d.ν).

Supposons (pour simplifier l’´ ecriture) que g ≥ 1, et que ν ≥ (2g − 1). Alors V est de dimension ( ^{P h=m} _h=0 (2h + 1).ν) = ((m + 1) ² .ν). Si (m + 1) ² > d, et si ν ≥ ν(m, d, δ), avec ν(m, d, δ) := 1 + [(2m/(m + 1) ² − d)).(d(g − 1) + δ)], alors W _m,ν.p n’est donc pas r´ eduit ` a {0}, et ceci pour tout choix de p ∈ B•

Conventions: Soit maintenant h : B → S une section de q de degr´ e n. On fixe m, ν satisfaisant les in´ egalit´ es du lemme pr´ ec´ edent. On supposera, quitte ` a choisir p g´ en´ erique, et ` a modifier un peu B ∞ , que: s(p) ∈ / (B ∞ ∪ D), et que B ∞ coupe D transversalement (en δ points distincts, donc). On choisit alors 0 6= w ∈ W _m,ν.p . Lemme 1.4 Soit b ∈ B tel que h(b) ∈ D. Soit t _j := t _j (b) l’ordre de contact en h(b) de H avec D _j , j ∈ J, et t := ^P _j∈J t _j . Soit t ⁰ = t ⁰ (b) l’ordre d’annulation en b de h ^∗ (w) ∈ H ⁰ (B, mK _B + 2mB ∞|H + ν.p)). Si h(b) ∈ / B ∞ , alors:

1. t ⁰ ≥ (t − 1) si h(b) est un point lisse de D.

2. t ⁰ ≥ (t − 1 − T (r) − d), si r := h(b) est un point singulier de D, et si T (r) := ^P _j<k∈J

δ _j,k , o` u J _r ⊂ {1, · · · , d} est l’ensemble des j tels que r ∈ D _j , et δ _j,k est l’ordre de contact en r des branches D _j et D _k de D.

3. Si h(b) ∈ B ∞ , h ^∗ (w) a en b un pˆ ole d’ordre au plus (2m − t + 1).

D´ emonstration: Assertion 1: Soit D _j une composante irr´ eductible locale de D contenant a := h(b), et y = s _j (x) l’expression locale de la section s _j dans des coordonn´ ees locales (x, y) pr` es de a. On peut donc ´ ecrire, sur un voisinage analytique de a dans S: w(x, y) = (dy − s ⁰ _j (x)dx) ⊗ w ₁ (x) + (y − s _j (x)).w ₂ (x, y), avec w ₁ (resp.

w ₂ ) une section locale de Sym ^m−1 (Ω ¹ _S ) (resp. de Sym ^m (Ω ¹ _S )).

Puisque D _j et H ont en a un contact d’ordre t, on a: h(x) = s _j (x) + x ^t .u(x), et h ^∗ (dy) = s ⁰ _j (x)dx + x ^(t−1) v (x), avec u, v des 1-formes holomorphes non nulles en b.

Donc h ^∗ (w) = x ^(t−1) v(x)dx ⊗ w ₁ (x) + x ^t .u(x)w ₂ (x, s(x)). D’o` u l’assertion.

Assertion 2: soit t + := max{t j , j ∈ J r } = t j

. On a donc: t ⁰ ≥ (t + − 1), par l’argument pr´ ec´ edent. Il suffit donc de voir que t ₊ ≥ t −T (r)−d. Or, t := ^P _j∈J

t _j ≤

P

j∈J

t _j + d, si J _r ⁰ ⊂ J _r est l’ensemble des j ∈ J _r tels que H soit tangente ` a D _j . Pour chaque j 0 6= j ∈ J _r ⁰ , on a: t j = δ j,j

, puisque l’ordre de contact avec H est une valuation sur l’ensemble des germes de courbes lisses de S passant par r. Donc t ≤ t ₊ + ^P _j∈J

r

δ _j,j

+ d ≤ t ₊ + T (r) + d. D’o` u l’assertion.

Assertion 3: elle se d´ eduit de l’assertion 1 en exprimant w dans les coordonn´ ees locales (x, z := 1/y) pr` es de h(b) •

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.1: Consid´ erons h, m, ν, p, w comme ci-dessus.

Si h ^∗ (w) 6= 0, soit Z (resp. P ) le nombre de ses z´ eros (resp. pˆ oles) compt´ es avec multiplicit´ es. Alors Z − P = 2m(g − 1). Les seuls pˆ oles de h ^∗ (w) sont en p (d’ordre au plus ν), et en les b o` u h(b) ∈ B ∞ (d’ordres (2m − t + 1) au plus).

Donc: P ≤ ν + 2mn − ^P _(h(b)∈B

_∩D) (t − 1).

Soit maintenant T := ^P _r∈R T (r), o` u R est l’ensemble des points singuliers de D. on a donc: T ≤ ^P _(j<k∈J) D _j .D _k = ^P _(j<k∈J) (δ _j + δ _k ) ≤ dδ/2, et le lemme 1.4 montre que: Z ≥ ^P (h(b)∈D−R−B

) (t(b) − 1) + ^P (r:=h(b)∈R) (t(b) − 1 − T (r) − d) =

P

D−B

(t − 1) − T − d.|R|.

Pour tout t ≥ 1, soit N _t le nombre des b ∈ B tels que t(b) = t. On a donc:

N := N H := ^P _t≥1 N t , et aussi: ( ^P _b∈B t.N t ) = H.D = dn + δ. Des deux in´ egalit´ es pr´ ec´ edentes r´ esulte que: 2m(g −1) = Z −P ≥ ( ^P _b∈B (t(b)−1)−T −d.|R|−ν−2mn) =

P

t≥1 (t − 1)N _t − T − d.|R| − ν − 2mn = (dn + δ) − N _H − T − d.|R| − ν − 2mn. Donc:

N _H ≥ n(d − 2m) − C, si C := T + d.|R| + ν − 2m(g − 1). Choisissant m = [ √ d]

fournit l’assertion dans ce cas.

L’estimation obtenue ne d´ epend pas de w, g´ en´ erique dans W _m,ν.p , mais seulement de m, ν, g, D, fix´ es. Si h ^∗ (w) = 0, pour h fix´ ee et w g´ en´ erique dans W _m,ν.p , p ∈ B g´ en´ erique, on a alors h ^∗ (w) = 0 pour toute w ∈ W _m,ν.p . On peut donc fixer 0 6=

w ∈ W _m,ν.p d´ esormais. Puisque h ^∗ (w) = 0, La section w d´ efinit une hypersurface Y _w ⊂ P (Ω ¹ _S ) g´ en´ eriquement finie sur S. Les sections h telles que h ^∗ (w) = 0 sont des courbes de S dont les rel` evements canoniques ` a _P (Ω ¹ _S ) sont contenues dans Y _w et sont des courbes int´ egrales alg´ ebriques du feuilletage alg´ ebrique (singulier) d´ efini par w sur Y _w (ou sur l’une de ses d´ esingularis´ ees). Le th´ eor` eme de Jouanolou ([J]) affirme alors que ces courbes int´ egrales alg´ ebriques forment une famille born´ ee (plus pr´ ecis´ ement: soit finie, soit fibres d’un pinceau) sur Y _w et donc sur S. Pour n ≥ n ₀ assez grand, H n’est donc pas contenue dans cette famille, et le r´ esultat pr´ ec´ edent s’applique. Il existe donc bien une constante C ₀ (non effective, d´ ependant de n ₀ ) N ≥ n(d − 2[ √

d]) − C ₀ , pour toute H•

References

[Ca 01] F.Campana. Special Varieties, Orbifolds, and Classification Theory. Ann.

Inst. Fourier 54 (2004), 499-665. (Aussi sur math. AG/0110051).

[Ca 04] F.Campana. Fibres multiples sur les surfaces: aspects g´ eom´ etriques, arithm´ etiques et hyperboliques. Man. Math. 117 (2005), 429-461. (Aussi sur math. AG/0410469).

[J78] J.P. Jouanolou. Hypersurfaces solutions d’une ´ equation de Pfaff analytique.

Math. Ann. 232 (1978), 239-248.

[Oe 05] J. Oesterl´ e. Communication orale. Juin 2005.

Adresse: Fr´ ed´ eric Campana.

Universit´ e Nancy 1.D´ epartement de Math´ ematiques BP239. F-54506-Vandoeuvre-les-nancy.

E-mail: [email protected]