La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D. Bertrand sur la fonction modulaire

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

UY

D

IAZ

La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures

de D. Bertrand sur la fonction modulaire

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

9, n

o

_{1 (1997),}

p. 229-245

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1997__9_1_229_0>

© Université Bordeaux 1, 1997, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

La

_conjecture

des

_quatre

_{exponentielles}

et les

conjectures

de D. Bertrand sur la fonction modulaire

par Guy DIAZ

RÉSUMÉ. Est-il possible d’utiliser les propriétés de la fonction modulaire j pour avancer un _peu en direction de la _conjecture des quatre exponentielles ?

Sur ce _thème, le texte _{propose plusieurs conjectures équivalentes} et _quelques

résultats partiels.

ABSTRACT. Is it _possible to use the _properties of the modular _j-function

in order to make some _progress on the four-exponential conjecture ? We

here present several equivalent conjectures in this _direction, as well as some

partial results.

0 - Introduction.

La

_conjecture

des

_quatre

_{exponentielles}

_(premier

_problème

de

_Schneider,

1957,

voir

_{[7] p. 139)}

est un des

grands problèmes

de la transcendance

depuis

quarante

ans

(au moins).

_L’attaque

frontale _par la méthode

_classique

de

Gel’fond-Schneider n’a rien

_donné,

_jusqu’ici.

Lors d’une conférence à Madras

_{en janvier 1996,}

D. Bertrand a

_proposé

différentes

_conjectures,

liées à la fonction modulaire

_{J ;}

une

_réponse

po-sitive à ces

conjectures permettrait

d’obtenir un cas

particulier

des

_quatre

exponentielles,

ce

qui

serait

déjà

une belle avancée. Il n’est _pas a

priori

très naturel de passer par J pour étudier la fonction

exponentielle ;

mais

c’est

_pourtant

bien un tel détour

_qui

a

_permis

d’obtenir

l’indépendance

algébrique

de 7r et e7r

_(travaux

de Y.V.

_Nesterenko,

voir

_{[4]) !}

Mon

_objectif

ici est

_{d’expliciter}

_{quelques conjectures intermédiaires,}

_plus

faibles _que la

_conjecture

des

_quatre

_{exponentielles}

mais

_plus

fortes _que le

cas

particulier

visé _par D. Bertrand. En variant les formulations on finira

peut-être

par trouver un chemin d’accès !

Sur ce thème on trouvera de nombreuses _remarques et variations dans les articles de D. Bertrand et M. Waldschmidt

_{( ~2~, [9], (10~ ),}

en

_particulier

l’analogue elliptique

de la

_conjecture

des

_quatre

_{exponentielles,}

ainsi

_qu’une

Mots clés : Transcendance. Fonction modulaire. Quatre exponentielles.

conjecture

"mixte" sur le

produit

du _groupe

multiplicatif

_par une courbe

elliptique

(dont

un cas

_particulier

a été obtenu dans

[1]).

Notations.

Je note D le

_disque

unité ouvert de

_{C, D}

=

tz

_e

1

1},

_et D*

le

_disque

unité ouvert

_pointé,

D* =

_{D B ~0~.}

?-~

_désigne

le

_demi-plan

de Poincaré et D le domaine fondamental usuel de H pour l’action de

SL2 (Z) ; j

désigne

l’invariant modulaire et J son

développement

de Fourier

à l’infini. Le n-ième

_polynôme

modulaire est noté

_{On (X,}

_Y),

avec la

conven-tion

_Y)

= X - Y. Les

propriétés

fondamentales _ou utiles à

l’exposé,

pour j, J, On,

se trouvent dans

_{[8], [1], [9].}

Pour un nombre

complexe z

non nul on notera

_{log z}

tout nombre

com-plexe

dont

_l’image

_par

_{l’exponentielle}

_{est z ;} dans

_quelques

cas on utilisera

le

_{logarithme népérien}

_usuel,

en le

précisant.

La notation

a!3

désigne

le

nombre

_{exp (,3}

_log

_a)

et suppose donc

qu’un

choix de

log

c~ a été fait.

Enfin Q

désigne

le corps des nombres

algébriques

sur

Q.

Organisation

du texte.

Le

_paragraphe

I donne l’énoncé de la

_conjecture

des

_quatre

_{exponentielles}

(ou

plutôt,

un des

énoncés),

l’énoncé du cas

particulier

visé _par D. Bertrand

et sa

"conjecture

modulaire". Au

paragraphe

II

je

donnerai

_sept

conjec-tures

_{équivalentes,}

intermédiaires entre

_{les "grosses conjectures"}

du

para-graphe

I et le cas

_particulier

visé. Au

_{paragraphe III j’étudierai quelques}

conséquences

de ces

_conjectures

intermédiaires. Le

_paragraphe

IV

contien-dra

_quelques

résultats

_{épars, qui}

font _{penser que} toutes ces

_conjectures

sont

vraies ;

mais bien sûr l’essentiel du travail reste à faire.

Merci à

_François

Gramain et Michel Waldschmidt

_qui

m’ont

_poussé

et

aidé à mettre noir sur blanc mes _remarques

orales,

ainsi

qu’au

referee.

1 -

_Conjecture

des

_quatre

_{exponentielles, conjecture}

de D. Bertrand. La

_conjecture

des

_quatre

_{exponentielles}

_{(notée (C4E) ici)}

a

_plusieurs

for-mulations

_{équivalentes.}

En voici une

(voir [9], §1.2

_pour une autre

_version).

(C4E)

Si

_{(yl, y2)}

sont deux

_familles

de nombres

_complexes

Q-linéairement

indépendants,

alors

_parmi

les

_quatre

_{exponentielles}

1

_{i, j 2, il y}

a au moins un nombre transcendant.

A la suite de travaux de D.

_Roy

_(voir

_[5]

et le

_paragraphe

_IV),

M. Wald-schmidt a

proposé

une

_conjecture

_plus

forte _que

(C4E)

et

_{dite "conjecture}

forte des

_quatre

_{exponentielles".}

Je n’en

_parlerai

_{pas ici.}

(C4E faible)

Soient _al, a2 des nombres réels

algébriques positifs différents

de 1. Alors

7r 2

et

_{(log al ) (log a2)}

sont

_{Q-linéairement}

_{indépendants}

_(log

désigne

ici le

_logarithme

_népérien).

On obtient la même

_conjecture

en

_remplaçant

la conclusion de

(C4E

faible)

par

(logal).(loga2) =f

7r.Pour

faire le lien avec

(C4E)

il suffit de

prendre

xl =

1,

_X2 =

(log

YI =

_2i7r,

Y2 =

log

_a2.

D. Bertrand propose dans

[2],

§5, plusieurs

conjectures

pour la fonction modulaire

_J,

liées entre elles

_(avec

ses notations la

_conjecture

1 est

_plus

forte que la

conjecture

2(ii),

elle même

plus

forte que la

conjecture

2(i)).

Je m’intéresse ici à la

_seconde,

sous la forme suivante

(notée

(CDB)

_{par la}

suite).

(CDB)

Si _{ql, q2 sont} deux éléments de D*

_algébriques

et

_{multiplicativement}

indépendants

alors

_J(qi)

et

_J(q2)

sont

_{algébriquement indépendants.}

Je ne connais pas de lien direct entre

(C4E)

et

(CDB).

Par contre ces

deux

_conjectures

contiennent

_(C4E

_faible).

Cette

_implication,

établie dans

[2],

§5,

sera raflinée au théorème 2 ci-dessous. Plus

_{précisément j’énonce}

dans le

_paragraphe

suivant

_plusieurs

_{conjectures, équivalentes, qui}

sont

intermédiaires entre

_(C4E)

et

_(CDB)

d’une

_part,

_{(C4E faible)}

d’autre

part.

Plusieurs sont dues à D. Bertrand et à des

_échanges

_{Paris-St-Etienne ;}

elles ne

prétendent

_pas forcément être

originales

mais ne semblent _pas non

plus

faire

_partie

du "folklore". Il

_apparaît

à travers

_{l’équivalence}

de ces

conjectures

un

lien,

_{nouveau, entre} la fonction modulaire J et la fonction

exponentielle ;

il me semble _que cette idée de D. Bertrand mérite

_quelques

travaux.

Note. En direction de

_(C4E),

on ne

_dispose

actuellement _que de _peu de

résultats : le théorème des six

_{exponentielles}

_(dû

à C.

_Siegel,

S.

_Lang

et

K. Ramachandra : voir

_[13],

_§1-4),

le théorème des

_{cinq exponentielles}

(dû

à M.

_Waldschmidt,

voir

_[12],

corollaire

_2-2),

le théorème fort des six

exponentielles

de D.

_Roy

_(voir

_[5],

corollaire

_2-2)

_qui

contient les deux résultats

_{précédents,}

et un résultat de D.

Roy

et M. Waldschmidt

(voir

(6~,

théorème

_2).

On reviendra là-dessus au

paragraphe

IV.

II - Des

_conjectures

intermédiaires.

THÉORÉME 1.

Les énoncés

_(CO)

à

_(C6)

sont

_{équivalents.}

(CO)

Si _{ql et q2 sont} deux élément de D*

_algébriques

et

_vérifiant

0,, (J(ql), J(q2))

= 0 _pour au moins un entier n &#x3E;

_1,

alors _{ql et q2}

(Cl)

Si _{ql et q2 sont} deux éléments de D*

_algébriques

et

_vérifiant

J(ql)

=

J(q2),

alors

ql et q2 sont

multiplicativement

dépendants.

(C2)

Si _ql et _q2 sont deux éléments de D*

_algébriques

et

_vérifiant

=

J(q2),

alors _ql = _q2.

(C3)

Si ql et q2 sont deux élérraents de D*

algébriques

et

vérifiant

=

J(q2),

alors =

J~4z)~

(C4)

Soit T E

_{7-l ;}

les nombres et ne sont _pas simul-tanérrzent

_{algébriques.}

(C5)

Soit avec

c #

0 ;

les nombres

exp(2iJrT)

et

_exp(2i7r

_T+d)

ne _{sont Pas} simultanément

_{algébriques.}

(C6)

Soient _{al et} a2 des nombres

algébriques

non

nuls,

et de module

différent

de 1. une détermination

_{log al,}

_{log a2}

de leurs

loga-rithmes.

_{Alors (log ai ) (log a2 )}

_{sont Q-linéairement indépendants.}

Je vais démontrer

_{l’équivalence}

de ces

_sept

assertions. Notons _que dans

(C4), (C5)

on

_peut

remplacer

l’hypothèse

T E 7~ _par

_{l’hypothèse}

T e

mais il est

_{plus agréable}

de rester dans ri

_puisque

l’on va utiliser la fonction

modulaire

_j.

J’utiliserai le lemme suivant.

LEMME. Soient _{Tl, 72} deux éléments de ri

_équivalents

modulo

_SL2(Z)

et

ql := _{q2 :=}

_exp(2z7TT2).

Si _{ql et q2 sont distincts et}

multi-plicativement

liés alors Ti et T2 sont

quadratiques.

Démontration du lemme. Par

_hypothèse

_T2 = _avec

a, b,

c, d E Z et

ad - bc = 1. Je _{supppose Tl non}

quadratique

_{et ql, q2}

multiplicativement

liés ; je

vais montrer

_qu’alors

_{ql = q2.} Par

_hypothèse

il existe

z2,

(nl,n2) =1-

(0, 0),

tel _que = 1. Donc il existe m E Z tel _{que :}

en

conséquence

on a

Puisque

Tl n’est pas

quadratique

il en résulte :

Si ni était

nul,

(1)

s’écrirait n2T2 = m ce

_qui

donnerait _n2 = ~n = 0

(puisque

T E

_{H) ;}

c’est contraire à

_{l’hypothèse (ni, n2) --~ (0, 0).}

Donc ni

n’est pas nul et

(2)

donne c =

0 ;

_comme ad - bc = 1 il _reste ad = 1

c’est-à-dire a = d = ~1. En

conséquence

_T2 =

71 :l:: b

et donc _ql = _q2. 0

Démonstration du théorème 1.

Point 1 :

_(Cl)

et

_(C2)

sont

_{équivalentes.}

Que

(C2)

implique

(Cl)

est clair. Il reste à _{voir que}

_(Cl)

_implique

_(C2).

On suppose donc que 91 et q2 vérifient les

_hypothèses

de

_(C2)

et on écrit

qi =

exp(2i7r-ri),

_q2 =

exp(2i7rr2)

avec _{ri, 7-2} E 7l.

_Puisque

=

J(q2),

on sait _que Tl et T2 sont

équivalents

modulo

SL2(Z) .

Par

(Cl),

ql et q2

sont

_{multiplicativement}

liés . Par le théorème de

_{Gel’fond-Schneider,}

Tl

n’est _pas

_quadratique

_(sinon

ql serait

transcendant).

Et donc par le lemme

il vient _{ql = q2.}

Point 2 :

_(CO)

et

_C2)

sont

_{équivalentes.}

Le cas

_particulier

n = 1 de

(CO)

est l’énoncé

_(Cl)

et on a vu

_qu’il

était

équivalent

à

_(C2).

Donc

_{(CO) implique}

_(C2).

Reste à _{voir que}

_(C2)

_implique

_(CO).

On suppose donc que ql, q2 E

D* sont

_algébriques

et vérifient

_4Jn(J(ql),

_J(q2))

= 0 avec n &#x3E; 2

(pour

n = 1 c’est

réglé).

On veut montrer _{que ql} et _q2 sont

multiplicativement

dépendants.

On note 91 =

exp(2i7r-ri),

q2 =

exp(2i7r-r2)

avec _{Tl, T2 E 7-l.}

Puisque J(q2)

est un zéro du

_polynôme

4Jn(j(Tl)’X),

on sait que l’on

_peut

écrire

_J(q2)

sous la forme :

J(q2) = j(T3)

avec _,

_{a, b, d e z}

et ad = n.

En _{notant q3} :=

exp(2iJrT3)

on a

J(q2)

=

J(q3)

_et = donc _q3 est

algébrique,

comme _ql. Par

(C2)

on sait que _q2 =

q3 et en

_conséquence

on a

_4’i

=

q3

=

qi et q2 sont donc

multiplicativement

liés.

Point 3 :

_(C2)

et

_(C3)

sont

_{équivalentes.}

Il

_s’agit

_simplement

de voir _que

_{(C3) implique (C2).}

Soient _{ql, q2 E}

_D*,

En

_itérant,

cela _permet de dire _que

_{J(q 2n) 1}

= _pour tout entier n &#x3E; 1. Or la fonction J est

_injective

sur le

_{disque pointé}

tz

e C ;

_;0

_izi

e-27r}

(car j

est

_injective

sur son domaine fondamental "usuel"

D) ;

en

conséquence

pour tout n assez

_grand

on a

q 2 n

= _et donc _{ql, q2 sont}

multiplicativement

liés. Par le lemme ils sont

_égaux,

en

invoquant

encore une fois le théorème de Gel’fond-Schneider.

Point 4 :

_{(C2),(C4),(C5)}

sont

_{équivalentes.}

On va montrer ça dans le sens C2 - C5 - C4 -&#x3E; C2.

(C2)

implique (C5).

1 1

Je note q =

exp(2z7rr) et q’

=

exp(2i7rT’)

et

je

les _{suppose tous} les deux

algébriques.

On a

J(q)

=

J(q’)

et donc

(C2)

dit _{que q}

= q’

c’est-à-dire _que

T - T’ E

_{Z ;}

ainsi il existe m E Z tel _que T - = _{m et, comme c} n’est

CT + d

pas

nul,

T est en

_{conséquence quadratique.}

Mais alors _{q est} transcendant !

C’est donc _{que q et}

_q’

ne _{sont pas tous} les deux

_{algébriques.}

(C5)

implique

(C4) :

c’est trivial.

(C4)

implique

(C2).

Soient _{ql, q2 C:}

_D*,

_{algébriques,}

avec

J(qi)

=

J(q2).

En _{notant qi} =

exp(2i7r-rl),

q2 =

exp(2iJrT2 )

où T1,T2 E

_1i,

_on sait

_qu’il

_existe

c

d

SL2 (Z)

tel _que TZ = Montrons _{que c} = 0

(ce

_sera alors terminé :

crl +d ’ *

c = 0

_permet

de dire

que T2 =

71 :i: b

_et donc

ql = q2).

On

suppose

c

0,

par

exemple

c &#x3E;

0,

et on cherche une contradiction. On a cT2 = _{a -}

c-ri 1 +d

e et on introduit _T3 =

cTl +

d,

q3 =

exp(2i7rT3) (on

_a

Tg E H car c &#x3E;

_0).

Ainsi cT2 = a -

IT3

et

_{donc q2}

= d’autre

_part

q3 =

qf..

Puisque

ql, q2 sont

algébriques

on en déduit _que

exp(2i7rT3)

et

sont simultanément

_{algébriques ;}

c’est contraire à

_(C4)

et donc finalement c=0.

Point 5 :

_(C4)

et

_(C6)

sont

_{équivalentes.}

(C6)

implique (C4).

On _suppose

_exp(2i7rr)

et simultanément

_{algébriques,}

où T E 7-l. On note _al =

exp(2i7rr),

_a2 = et on

_prend

_{log al}

=

Comme T E

_7-l,

on vérifie sans

problème

_{que al, a2 sont} de

_{module #}

1. Par

_(C6)

tout ceci est

_{incompatible ;}

on a ainsi la contradiction cherchée.

(C4)

implique

(C6).

On suppose donc que

log al, log a2

sont des

logarithmes

des nombres

algébriques

al,a2(al,a2 -#

0 ;

~ 1)

et que

sont

_Q-

linéairement

_{dépendants ;}

il existe _{n, m} E Z non nuls tels _{que :}

n(log al)(log a2)

=

4m7r 2

Je note

131

=

f32

= _exp

(1/m log(2)

_et

_je

prends

log f31

=

_{n log a 1 ,}

log 02

_sont

algébriques,

_non

nuls et de module différent de 1

_puisque

_n

@

f32’

= a2. Et on a

=

47r 2.

Je note _T =

(log/3i)/2z7r ;

_{on a} alors

log (32

=

4-r2/

log fli

= -2i7r/-r

et donc sont

_{respectivement}

égaux

à

_fl2

donc sont

_{algébriques.}

Comme T n’est _pas réel

(T

E R

en-traine

_{1 =}

=

1)

on

_peut

_supposer T E 1t

_(quitte

à

_remplacer

n, m _par -n,

-m) ;

et ceci est contradictoire avec

(C4).

0

Il est sans doute

_possible

de démontrer ces

équivalences

de

_plusieurs

façons,

de trouver d’autres formulations

_{équivalentes.}

Mais

_déjà

dans la forme ci-dessus le théorème 1 fait

_apparaître

des liens entre des assertions de natures a

priori

assez différentes.

On

_peut

maintenant faire le lien avec les

_conjectures

du

§I.

THÉORÈME 2.

(a)

implique (CO),

(Cl),

... ,

(C6).

°

(b)

(CDB)

implique

(CO), (Cl~,... , (C6).

(c) (CO~,... , (C6)

impliquent

chacune Démonstration du théorème 2.

(a) (C4E) implique (C4).

À

T E 1t on associe les familles

(Xl, X2), (YI, Y2)

suivantes :

Ces familles sont

_Q-libres

et donc

_(C4E)

dit _que les eXiYj ne sont _pas tous

algébriques,

ce

_qui

revient à dire _que

exp(2i7r-r)

et ne _{sont pas}

simultanément

_{algébriques.}

(b)

(CDB)

implique

(CO).

C’est trivial ! Au demeurant D. Bertrand

_conjecture

que pour ql, q2 E

entre

_J(qi)

et

_J(q2)

sont de la forme =

0,

à constante

multiplicative

près

(voir conjecture

2 de

_[2]).

Cette

_conjecture

est corollaire

de (CDB).

(c) (C6)

implique

(C4E

faible) :

c’est trivial ! D Toutes les formulations

_{qui apparaissent}

dans le théorème 1 font

_jouer

un rôle

_important

à 2i7r et de ce

_point

de vue

(CO),... , (C6)

sont des

conjectures

certainement

_{beaucoup plus}

faibles _que

_(C4E),

si tant est _que cette

_phrase

ait un sens !

III -

_Quelques

_{conséquences}

des

_conjectures

faibles.

On va

établir,

dans ce

paragraphe, quelques

conséquences

des

conjectures

faibles

_(CO)

à

_(C6),

concernant la fonction

_{exponentielle.}

THÉORÈME 3.

La

_propriété

suivante est

_conséquence

de chacune des assertions

_(CO)

à

(C6).

(T3).

Soient T, To dans 1t

équivalents

modulo

SL2 (Z)

(avec

To =

(aT

₊

b)/(cT

+

d),

(~

SL2(Z»-

On suppose

IFOI2

rationnel. Si

_exp(2iJrT)

est

_algébrique

on a

0;

. Re(T) = (1/2ac) - (d/e)

et

_iroi

=

la/ci (en

particulier

Re(T)

et sont

_rationnels).

Démonstration du théorème 3.

On se donne avec _To = ad - bc =

1 ;

_{on suppose}

ITo 12

rationnel

_(on

note

17012

=

pi/p2, pl,p2 E

=

1)

et

exp(2z7TT)

algébrique.

Par

_hypothèse

_{exp(2z7TT’)}

est

_algébrique

et donc aussi

_(ces

deux nombres sont des nombres

_complexes

_conjugués).

En utilisant

_{(CO), (2)}

permet de dire que

exp(2i7rT)

et

exp(-2ixr)

sont

multiplicativement

liés ;

il existe donc

_(nl,

_n2)

E

z2,

_{(nl, n2) # (0, 0),}

tel _que

En

_conséquence

il existe m E Z tel que ni T - n2r = _{m ; en notant T} =

x + iy

ceci s’écrit

_{(nl -}

_rt2)x

= _m,

(ni

₊

n2)y

= 0.

Puisque y

_{est non} nul il _en

résulte ni + n2 = 0

(donc

ni, n2 sont tous les deux non

nuls)

et

_2nIx

= _m

(donc x

est

_rationnel).

et en

_conséquence

Or _y ne

_peut

_pas être

algébrique

(sinon, puisque x

E

_Q,

T = x +

_iy

serait

algébrique

et

_{exp(2z7TT’)}

serait transcendant _par le théorème de

Gel’fond-Schneider).

De

₍₃₎

on tire donc

L’égalité

c21Tol2 - a2

= 0 interdit d’avoir a.c = 0

(compte-tenu

de ad - bc =

1) ;

_{on a} donc

a.c ~

0 et

17012

=

Q,2~C2.

La seconde

égalité

de

₍₄₎

s’écrit alors

ce

qui

donne x : 2xac =

-(ad

₊

bc).

D

La

_{proposition (T3)}

étant assez

technique,

on va l’illustrer _par

_quelques

cas

_particuliers

_plus

_simples.

THÉORÈME 4.

Les

_propriétés

suivantes sont

_{conséquences}

de chacune des assertions à

_{(C6) (et}

donc a

_fortiori

de

_(CDB),

La

_propriété

_(4-1)

_permet

de

_dire,

_{conjecturalement,}

_que le seul

_point

algébrique

de la courbe

_exp(2iJrz)

_{quand z}

décrit le cercle unité est le

_point

1

_{(correspondant}

à z =

±1).

L’allure de cette courbe est donnée dans

_[10],

appendice

2.

La

_propriété

_(4-4)

entraîne que,

conjecturalement,

les seuls

points

algé-briques

de la courbe

_exp(2i7rz)

_{quand z}

décrit

_l’image

_par

_SL2(Z)

du bord du domaine fondamental D sont obtenus _pour des z vérifiant

_Re(z)-(1/2)

e

Z.

La conclusion de

_(4-5)

est

_{optimale :}

pour tout entier k E Z et tout

nombre

_algébrique

a

Ei

exp(JrvÉ) [,

le nombre T =

(1/2)

₊ k ₊

vérifie les deux

_propriétés

_j(T)

E

_{~0, 1728~}

et

_exp(2z7TT)

_{e Q}

(on

lui associe To =

(T - k - 1)/(T - k)

et on vérifie _que

1-roi

= 1 _avec

1/2,

ce

qui donne j(T) = j(TO)

E

_{(0, 1728~).}

Dans une

première

version de ce texte

je

déduisais

(4-1)

et

(4-5)

de

(C4E)

(voir

aussi

_[10],

_~3);

en fait il suffit

_d’invoquer

les

_conjectures

faibles !

Démonstration du théorème

_4.

o

(4-1)

est

_conséquence

de

_(T3)

_puisque

c’est le cas

particulier

_{To = T,}

o

_(4-2)

_est

_conséquence

_de

_(4-1).

On introduit T’ _

(T-2Re(T))/T ;

T’ est

de module 1 et n’est pas

réel,

donc par

(4-1),

est transcendant.

Puisque

Re(T)

E

_Q*,

il en résulte _que est transcendant.

o

(4-3)

est

_conséquence

de

_(4-2).

On introduit T’ -

_{1~T ;}

on a alors

Re(T’)

=

Re(T)/ITI2

_et donc

Re(T’)

_E

Q* ;

_on

applique

(4-2).

o

(4-4)

est

_conséquence

de

_(T3).

Par

_hypothèse

on

_peut

écrire

que l’on a 1 =

Irai

=

la/cl

et

Re(T) _ -(bc

₊

ad)/(2ac).

D’où deux cas :

- soit a = _c = 1 et alors

Re(T) _

-d ₊

(1/2) ;

- soit a = -c = 1 et alors

Re(T) =

-b+

(1/2).

o

_(4-5)

est

_conséquence

de

_(T3).

Les

_hypothèses

de

_(4-5)

_permettent

de dire

_qu’il

existe To E 1£ et E vérifiant

1-rol

=

1,

B

"/

1/2,

To =

(aT

₊

b)/(cT

₊

d) (on

sait

que l’orbite de T _par

SL2

(Z)

a un élément To dans

D ;

comme de

_{plus j}

(ro) = j

(T)

E

_{[0, 1728],}

To est sur le cercle

Izi

=

1).

Par

(T3)

on sait que

ac #

0 et 1 =

[

=

la/ ci ;

on

_distingue

les deux cas a =

c, a = -c.

Cas 1 : a = c. De ad - bc = 1 on tire alors a = d - b =

1,

ce qui

_permet

d’écrire To =

(T

₊

b)/(T

₊

d)

= 1 -

1/(T

₊

d) ;

en

_conséquence

T = -d ₊

1/(1-TO),

Re(r) = -d+(1/2),

2Im(T)

=

1/2

.

Compte

tenu de

_1/2

on obtient

1/2V3 ~

~/2 ;

et les valeurs extrêmes sont interdites car et

exp(JrJÉ)

sont

transcendants.

Cas 2 : a = -c. De ad-bc = 1 on tire a = d+b = 1 _ce

_qui

_permet

d’écrire To =

(7’+&#x26;)/(2013T’-t-d) = 2013l+l/(2013T+d);

en

conséquence

T =

d-1/(TO-f-1),

Re(T)

=

d-(1/2),21m(T)

= .

Compte-tenu

de

_1/2

on obtient le même encadrement _que dans le cas 1. Dans les deux cas on vérifie sans

problème

_que

exp(2i7r7-)

est un nombre

réel de l’intervalle annoncé. D

IV -

_Quelques

résultats liés à

_(C4E).

On

_peut

déduire de

_(C4E)

d’autres assertions _que celles des théorèmes

2,3,4.

J’en donnerai deux

_exemples

au théorème 5. Je

rappelerai

ensuite

(théorème 6)

les résultats connus les

_{plus proches}

de

_(C4E),

et ce

_qu’ils

permettent

d’obtenir en direction de certaines des

conjectures

faibles.

Voici donc deux nouvelles

_{conséquences}

de

_(C4E).

THÉORÈME

5.

L’assertion

_implique

les

_propriétés

suivantes.

(1) (Ca, b).

Soit a E

Q

et

_{log a}

une détermination non nulle du

loga-rithme de a. Pour tout b E

_C

_Q,

les nombres

ab

et

a1/b

ne sont _pas

(2) (C log a).

Soit c~ e

Q

et

_{log a}

une détermination non réelle du

loga-rithme de cx. Alors est transcendant.

Démonstration du théorème 5.

Pour

_{(Ca, b)}

on utilise

(C4E)

avec xi = =

b log a, y,

=

_1,

y2 =

1/b.

Pour

_{(C log a)}

on utilise

_(C4E)

avec _~1 = = =

1 log a 12,

?Ja =

1 log a 1. (log a) .

D

On verra

plus

loin

quelques

exemples

de

couples

(a, b)

_pour

lesquels

(Ca,

b)

est vraie.

Nous allons maintenant voir que certains énoncés de D.

_Brownawell,

D.

_Roy,

M.

_Walschmidt,

_rappelés

au lemme 6

ci-dessous,

fournissent des

résultats

_{partiels en}

direction de

_{(Ca, b),}

_(C6),

_{(C log a)}

et

_(C4).

On notera

Ainsi G est le

_{Q-sous-espace}

vectoriel de C

_{engendré par Q}

et L. LEMME 6.

(A).

Soient

_(Xl,X2)

et

_(Yl,Y2)

deux

_familles

de nombres

_complexes

Q-linéairement

_{indépendants.}

-

(1)

[3], [11].

Si

_exp(x2Yl)

et

_exp(x2Y2)

sont

_{algébriques,}

alors

-

(~)

[12].

Si 8 est un nombre

algébrique

non

nul,

alors

(B)

[5].

Soient et

_{(Yl, Y2, Y3)}

deux

_familles

de nombres

_complexes

indépendants.

Alors au moins un des six nombres xiy~ n’est _pas dans £.

Le résultat

_(A-2),

_appelé

théorème des

_cinq

_{exponentielles,}

_peut

se déduire

du

_(B)

via le théorème de Baker. Le résultat

_(B),

_appelé

théorème fort des six

_{exponentielles,}

est dû à D.

_Roy

_{(voir [5],}

corollaire 2 et

_{introduction);}

il contient le théorème des six

_{exponentielles}

_(même

énoncé

_{où Q}

est

_remplacé

par

Q, £

par L : voir

[13],

par

exemple)

et améliore un résultat antérieur

o On a vu

(théorème 5)

_que,

_{conjecturalement,}

on a :

(Ca,

b).

Pour a E

_{Q, a # 0, log a ~}

0

_Q,

les nombres

ab

et

ne sont pas simultanément

algébriques.

Cela est

_acquis

dans les trois cas suivants.

Cas 1. b

_(c’est

le théorème de Gel’fond-

_Schneider).

Cas 2. b =

(log

-y) /6

_avec

1,8 algébriques, 6 ~

_0,

log

1

~

0.

(On

applique

le lemme

_6-(A.2),

avec _xi =

_{log a,}

X2 =

b log a,

yl =

1,

y2 =

1/b ;

le théorème de Hermite-Lindemann donne

b e Q

et donc

(xi, x2)~

i

(YI, Y2)

sont

Q-libres).

Par

exemple

on

peut

affirmer que l’on a :

Cas 3. b et

_{log a}

sont

_{algébriquement dépendants,}

_{b ~ Q.}

(Je

suppose

ab

et

al/b

simultanément

algébriques. J’applique

le lemme

6-(A.l)

avec xl =

log a,

X2 =

b log a,

yi

= 1,

y2 =

1/b ;

tous les eXiYj sont

algébriques

et la conclusion est alors _que

_Q(log

_a, b

_log

a,

b)

est de

_degré

de transcendance 2 : c’est contraire à

_{l’hypothèse}

de ce cas

3).

o En direction de

(C6)

et de

_{(C4E faible)}

on a le résultat suivant.

PROPOSITION 1. Soient _{al, a2} des nombres

_algébriques

non nuls et non

racines de l’unité. On

fixe

une détermination

_log

_cxl,

_log

_a2 de leurs

loga-rithmes. Si

_{(log al) (log (2)}

et

7r2

sont

_{Q-linéairement}

_dépendants

log al

et

_log

a2

(ainsi

que

log

al et

_2i7r)

sont

_{algébriquement indépendants.}

Démonstration.

On se ramène au cas

(logal)(loga2) _

-4~r2 ;

on

applique

le lemme

6-(A.1)

avec _xl

_{= 1, x2 =}

_y, =

y2 =

loga2.

On _en déduit

que

CQ(2i7r,

log

al,

log

a2)

a un

_degré

de transcendance

_supérieur

ou

égal

à

2 ;

la relation initiale dit _que ce _{corps est}

log al)

et

_qu’il

a même

_degré

de transcendance _que

_Q(109

_al,

_log

_a2),

ce

qui

donne le résultat.

o En direction de

_{(C log a) (voir}

_théorème

5)

on a le résultat suivant. PROPOSITION 2. Soit a et

_{log a}

une détermination non réelle du

logarithme

de a. Alors si

exp(llog al)

est algébrique,

les nombres

(log a)

et

Démonstration.

On _suppose

_{exp (j log a 1)}

_algébrique

et on

_applique

lemme

6-(A.l)

avec

W = =

l/llogal,YI

=

Ilogal2,Y2

=

(109a)-llOgal ;

j

les nombres 1

_{i, j 2,}

sont tous

_algébriques

et en

conséquence

est de

_degré

de transcendance &#x3E; 2. D’où le résultat.

o Dans le même ordre

d’idée,

en direction de

_(C4)

on a le résultat suivant.

PROPOSITION 3. Soit T e 71.

(1)

Si

_exp(2z7rT)

est

_algébrique

alors

_Im(T)

est transcendant et

_Re(T)

est

transcendant ou rationnel.

(2)

est

_algébrique

_{alors Im(T)/ITI2}

est transcendant

_etRe(T)/ITI2

est transcendant ou rationnel.

(3)

si

_exp(2z7rT)

et sont

_algébriques

alors

(3-1)

2i7r et T sont

algébriquement indépendants ;

(3-~)

pour tout nombres

0,

exp(6T)

et

_exp(8/T)

sont

tran-scendants ;

(3-3)

si

_0,

et sont

transcendants ;

(3-4)

pour tout nombre

algébriques

non nul _a, +

a)),

est

transcendant ;

(3- 5)

Re(T)

et Re(T)/ITI2

sont transcendants ou

nuls, Im(T)

et

_Im(T)/ITI2

sont transcendants.

Démonstration.

o

(1)

Je note T = x +

_{iy (x, y}

E

_R).

_Puisque

_exp(2i7r7-)

est

_algébrique,

sa

_partie

réelle et sa

partie imaginaire

le sont aussi :

(sin

E

_Q.

En faisant la somme des carrés cela dit aussi que

e-2"y

est

_algébrique.

Et

e"’

= _est donc

algébrique.

Le théorème de

Gel’fond-Schneider dit alors que x est transcendant ou

rationnel,

et _que

_iy

est transcendant.

o

(2)

On

_applique

le

(1)

avec

1/T.

o

₍₃₎

On

_applique

le lemme

6-(A.l)

avec xi =

2i7r,

_X2 =

2ix/T,

yl =

_1,

y2 = _{T ;} cela donne

l’indépendance algébrique

de 2i7r et _T. Puis le

lemme6-(A.2)

dit _que

_exp(6T)

et

_exp(6/T)

sont transcendants. D’où les résultats

X2 = T, X3 = T et 7/1 =

y2 =

2ix/T

(les

familles

_{(XI, X2, X3)}

et

(YI, Y2)

sont

_Q-libres).

Ce théorème dit que les

exp(xiyj)

ne _{sont pas}

tous

_{algébriques ;}

ici il dit _que est transcendant. En

per-mutant T et 7 on obtient la même chose _pour C’est

(3-3).

Pour

_(3-4)

on

applique

le lemme 6-B

(théorème

fort des six

exponentielles)

avec _xi =

2i7r,

_X2 =

2i7rT,

7/1

= 1, y2 = 1/T,

y3 =

1/(T

+

_{a) (on}

vérifie

que

(X 1, X2)

et

_(YI,

_Y2,

_Y3)

sont des familles

_Q-libres,

en utilisant le fait

que T est

_{transcendant) ;}

si +

a))

est

_algébrique,

tous les

=

1, 2 ; j

=

l, 2, 3)

_sont dans

G,

_et c’est contradictoire _{avec le}

lemme 6-B. Donc +

a))

est transcendant.

Il reste à démontrer

_(3-5).

On va faire _ça en deux

_temps,

en

précisant

chaque

fois les

_hypothèses.

Le fait que

Im(T)

et

_Im(T)/1712

sont

transcen-dants est

_conséquence

du

₍₁₎

et du

_{(2) ;}

on verra en _remarque

qu’on

_peut

le démontrer aussi par la méthode

_qui

sert à traiter Au demeurant le seul cas nouveau _par

_rapport

à

(1)

et

₍₂₎

est le cas rationnel

et pour traiter ce cas il suffit d’utiliser le théorème

classique

des six

expo-nentielles au lieu du lemme 6-B.

Partie 1. On se donne T E 1Í avec

Re(T) E ~ ~

~0~

et on _suppose

exp(2z7TT)

et

_algébriques

_(en

_conséquence

T est transcendant

par le théorème de

Gel’fond-Schneider).

On note a :=

Re(T) ;

on a donc T - 2a = -7 et du _coup

_{2i~r/(T - 2a)}

et

_{2ix /T}

sont des nombres

_complexes

conjugués.

En

_conséquence

_2a))

est un nombre

algébrique.

On sait donc que

2i7rT,

2z7r/T,

2z7r/(T20132a)

sont dans L. On va

appliquer

le lemme 6-B avec _xi =

2i7r,

X2 =

2i7r(T - 2a),

7/1 =

1,

_y2 =

1/T,

y3 =

1/(T - 2a).

On vérifie sans

problème

_que

(Xl, X2)

et

_(YI,

Y2,

Y3)

sont

Q-libres en utilisant le fait _que T est trancendant. Le lemme 6-B affirme

qu’aucun

des zjyj n’est dans

G ;

or ici ils le sont tous et cela fournit la

contradiction cherchée

_{(vérification :}

xlyi = 2i7r

E L ;

xly2 =

2iJr/T

_E

L ;

XlY3 =

2ix /(T - 2a) E L ;

z2yi

= (2~7r)7’2013

est dans G

puisque

(2ix)T

est dans

_{L ;}

_x2y2 = 2i~r -

2a(2ix/T)

_est dans G

puisque (2ix/T)

_est

dans

L ;

x2y3 = 2i7r

E L).

Partie 2. On se donne T E 1Í avec

Re(r)/ITI2

C Q B

{0}.

On lui associe

T’ :_ -1/T ;

on a T’ E 71 et

_{Re( T’) =}

Ainsi

_Re(T’)

e ce

qui

permet

d’utiliser la

_première

_{partie :}

et

_exp(2i7r/-r)

ne sont pas simultanément

algébriques. Puisque

T’ =

-1/T

c’est bien le résultat

annoncé. 0

Remarque.

La méthode utilisée ci-dessus

_permet

de retrouver le fait _que

O Îm(T) -

On se donne TEH avec

Im(T)

{0~

et on _suppose

exp(2i7r-r)

et

_algébriques

_(donc

T est

_{transcendant).}

On note

_(3:

=

Im(T) ;

on a donc T -

2ifl

= T et ainsi

2i~r/(T -

et - 2i7r / T

sont des nombres

complexes

conjugués.

En

_conséquence

_{exp(217r /(T -}

_2z/3))

est

_algébrique.

Donc

2i7rT,

2i7r / T

et

_{2ix/(T -}

_2io)

sont dans L. On

_applique

de nouveau

le lemme

_6-B,

avec

x, =

2i7r,

_X2 =

2Z7T(7- -

= 1, y2 = 1~T,

_ys =

les familles

_{(Xl, X2)}

et

_(YI,

_Y2,

_Y3)

sont

_Q-libres

car T est transcendant. Il

reste à vérifier que les sont tous dans

_G,

ce

_qui

contredit la conclusion

du lemme 6-B et fournit la contradiction cherchée.

On se donne T E 1i avec

Im(T)/ITI2

e

_{~B f 0~.}

On lui associe

T’ # - 1 /T

on a

Im (T’ )

= _{et on}

peut

donc conclure en utilisant

la

_partie

_{précédente.}

En direction de

_(C4)

on voit donc _{que, pour}

est de

_degré

transcendance &#x3E; 1 dès _que l’une des conditions suivantes est vérifiée :

o 2i7r et T sont

_{algébriquement}

liés,

Evidemment cela ne dit _pas encore _que la

Proposition

(C4)

est vraie. Tous les résultats de ce

paragraphe

IV ont été obtenus en utilisant la

seule fonction

_{exponentielle.}

Comme on l’a vu au

paragraphe

II,

il serait

intéressant d’aller

_plus

loin à l’aide de la fonction modulaire.

REFERENCES

[1]

K. _Barré, G. Diaz, F. _Gramain, G. _Philibert, Une preuve de la conjecture de

Malher-Manin, Invent.Math. 124 _(1996), 1-9.

[2]

D. _Bertrand, Theta _functions and _{transcendence,} Madras Number _Theory

Sympo-sium _1996, The _Ramanujan J. Math. _{(à paraître).}

[3]

D. _Brownawell, The algebraic independence of certain numbers related by the expo-nential function, Journal of Number _Theory 6 _(1974), 22-31.

[4]

Y. V. _Nesterenko, Modular _functions and transcendence _problems, C.R.Acad.Sci.

[5]

D. Roy, Matrices whose _coefficients are linear _forms in _logarithms, Journal of Num-ber _Theory 41 _(1992), 22-47.

[6]

D. _Roy, M. _{Waldschmidt, Quadratic} relations between _{logarithms of algebraic}

num-bers, Proc.Japan Acad.Sci. _Sér.A, 71 _(1995), 151-153.

[7]

Th. Schneider, Introduction aux nombres transcendants, Gauthier-Villars _(1959).

[8] J. P. _Serre, Cours d’arithmétique, Sup, PUF, (1970).

[9]

M. Waldschmidt, Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires,

Séminaire Bourbaki 824 _(1996-97).

[10]

M. _Waldschmidt, Transcendance et _{indépendance algébrique} de valeurs de _fonctions

modulaires, CNTA 5 Carleton _{(Août 1996),} à _paraître.

[11]

M. _Waldschmidt, Solution du huitième problème de Schneider, Journal of Number

Theory 5 _(1973), 191-202.

[12]

M. _Waldschmidt, On the transcendence methods of Gel’fond and Schneider in

sev-eral variables, A.Baker _{(éditeur), Cambridge} Univ.Press, London Math. Soc.

Lec-tures _Notes, New advances in transcendence theory, Proc.Durham Conf. 1986.

[13]

M. _Waldschmidt, Linear _{independence of logaritms of algebraic} numbers, Matscience

Lecture Notes, Madras _(1992).

Guy DIAZ

Université de Saint-Etienne

Equipe de Théorie des Nombres

23, rue du Dr. Paul Michelon

42023 Saint-Etienne Cedex 2