Chapitre 2 LES COMPLEXES

Chapitre 2

LES COMPLEXES

RésuméLesnombresomplexesportentbienleurnom!Ilsinter viennentpartout:

enalgèbre,enanalyse,engéométrie,enéletronique,entraitementdusignal,enmu-

sique,et.Etenplus,ilsn'ontjamaislamêmeapparene:tanttsousformealgé-

brique,tanttsousformetrigonométrique,tanttsousformeexponentielle,...Leur

suèsvientenfaitdedeuxpropriétés:entravaillantsurlesnombresomplexes,tout

polynmeadmetunnombrederaineségalàsondegréetsurtoutilspermettentde

alulerfailementendimension2.

2.1

VOCABULAIRE ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

Théorème1 L'ensembleC

OndénitunensembleC

. munid'uneadditionetd'unemultipliationquiprolongentellesdeR

. ontenantunnombreivér ianti 2

Æ¡1

. telquehaqueélémentzdeCpeuts'ér iredemanièreuniquesouslafor me

zÆaÅib aveaetbdesnombresréels

a. For mealgébr ique

Cetteér itureuniqueestappeléefor mealgébr iqueduréelz.

Lenombreaestappellépar tieréelledezetnotéeRe(z)

Lenombrebestappellépar tieimaginairedezetnotéeIm(z)

! Im(z)estunnombreréel.

b. Àquoiser tl'uniitédelafor mealgébr ique?

Parexemple,aprèsmaintsalulssavants,vousarr ivezaurésultat2xÅ3y¡5Åi(7x¡32yÅ1)Æ0avexetydesréels.

Etbienlemembredegauheestunefor mealgébr iquepuisquedelafor meréel+i¢réel.Orlafor mealgébr iquede0est

0Åi¢0.

Ainsi,uneéquationomplexerevientàdeuxéquationsréelles(bienvenuedansladeuxièmedimension...)etdon

2xÅ3y¡5Åi(7x¡32yÅ1)Æ0() 8

>

<

>

:

2xÅ3y¡5Æ0

7x¡32yÅ1Æ0

. Leplanomplexe

Nousavonsvuquehaquenombreomplexepeutêtreassoiéàunpointduplanqu'onmunitd'unrepère

¡

O,

¡

!

e

1 ,

¡

!

e

2

¢

M (a,b)

¡

!

e

1

¡

!

e

2

a b

0

axeréel axei m agi nai re

¡

!

u

FIG.1–

Àtoutnombreomplexe zÆaÅibon assoielepoint Mdeoordonnées(a,b)qu'on appelleimagedeomplexe

zÆaÅib.OnlenotesouventM(z).

Inversement,àtoutpointMduplandeoordonnées(a,b),onassoiesonafxezÆaÅibqu'onnotesouventz

M .

Enn,àtoutveteur

¡

!

u Æa

¡

!

e

1 Åb

¡

!

e

2

deoordonnées(a,b)danslabase

¡

¡

!

e

1 ,

¡

!

e

2

¢

estassoiéuneafxe z¡!

u

ÆaÅib

d. Premiersalulsgéométr iques

. Soient

¡

!

u et

¡

!

v deuxveteursdeoordonnéesrespetives(a,b)et(a 0

,b 0

),alors

¡

!

uÅ

¡

!

v Æ(aÅa 0

)

¡

!

e

1 Å(bÅb

0

)

¡

!

e

2 ,don

z¡!

uÅ

¡

!

v Æz¡!

u Åz¡!

v

. Demême,si¸estunnombreréel

z

¸

¡

!

u Æ

¸z¡!

u

. Alors,siIestlemilieudusegment[A,B℄,ona

z

I Æ

1

2 (z

A Åz

B )

. Plusgénéralement,siGestlebar yentredusystème n

(A

1 ,®

1 ),(A

2 ,®

2 ),¢¢¢,(A

n

®

n )

o

alors

z

G Æ

®

1 z

A

1 Å®

2 z

A

2 Å¢¢¢®

n z

A

n

®1Å®2Å¢¢¢®

n

. PourtouspointsAetB

z¡!

AB Æz

B

¡z

A

e. Conjuguéd'unomplexe

Dénition1Conjugué

OnappelleonjuguédunombreomplexezÆaÅiblenombre

zÆa¡ib

Géométr iquementeladonne

M (z)

M (z)

¡

!

e

1

¡

!

e

2

0

axeréel

FIG.2–

Jevouslaisseprouverlespropr iétésimmédiatessuivantes

Propr iété1Propr iétésdesonjugués

. M(z)etM 0

(z)sontsymétr iquesparrappor tàl'axe(O,

¡

!

e

1 )

. z

1 Åz

2 Æz

1 Åz

2

. z

1 z

2 Æz

1 z

2

. zÆz

. z2R()zÆz

. z2iR()zơz

. Re(z)Æ 1

2 (zÅz)

. Im(z)Æ 1

2 (z¡z)

. SizÆaÅib,alorszzÆa 2

Åb 2

f. Àquoiserventlesonjugués?

Àmontrerqu'unomplexeestunréel

Eneffet,sionarr iveàmontrerquezÆz,alorsonenonlutquezestréel.

Àrendreréeldesdénominateurspourobtenirdesfor mesalgébr iques

Eneffet,

z¢zÆ(aÅib)(a¡ib)Æa 2

¡(ib) 2

Æa 2

Åb 2

Ainsi,pourobtenirlafor mealgébr iquedel'inversede2Åi,

1

2Åi Æ

1

2Åi

£ 2¡i

2¡i Æ

2Åi

4Å1 Æ

2

5 Å

1

5 i

g. Moduled'unnombreomplexe

Dénition2Module

Lemoduleduomplexezestleréelpositifnotéjzjtelque

jzjÆ p

z z

Quelquesremarques

. Cettedénitionenestbienunearz zÆa 2

Åb 2

d'aprèsnotreétudesurlesonjugués.

. Siaestunréel,jajÆ p

aaÆ p

aaÆ p

a 2

araÆa.Donlemoduledeaestbienlavaleurabsoluedeaetnotre

notationestohérente.

LanotiondemoduledansCgénéralisedonelledevaleurabsoluedansR.

Interprétationgéométr ique

M (aÅib)

¡

!

e

1

¡

!

e

2

a b

0

axeréel axei m agi nai re

p

a 2

Åb 2

FIG.3–

Nousvenonsdevoirque,sizÆaÅib,alors

jzjÆ p

a 2

Åb 2

Or,qu'est-eque p

a 2

Åb 2

sien'estlanor meduveteur

¡¡!

OMouenorelalongueurOM.

jz

M jÆk

¡¡!

OM kÆOM

¯

¯

z¡!

u

¯

¯

Æk

¡

!

uk

Propr iétésdesmodules

Jevouslaisseprouverlespropr iétéssuivantes

Propr iété2Modules

.

¯

¯

z

¯

¯

Æjzj

. jzjÆ0()zÆ0

. jz

1

¢z

2 jÆjz

1 j¢jz

2 j

. Re(z)

6

. Im(z)

6

Lapropr iétésuivantemér iteunepetiteaideàladémonstration

Propr iété3Inégalitétr iangulaire

jz

1 Åz

2 j

6

jÅjz

2 j

C'estàdire,pourallerdeNantesàMontaigu,ilestpluslongdepasserparBratislavaquedesuivrelaRN137.

Commeils'agitd'unedémonstar tionlassique,nousallonsladétailler.Ellepourraser viràd'autresoasions.

Commelesdeuxmembresdel'inégalitésontpositifs,ilsuftdondeomparerlesarrésdehaquemembre.

Orjz

1 Åz

2 j

2

Æ(z

1 Åz

2 )

¡

z

1 Åz

2

¢

Æ(z

1 Åz

2 )

¡

z

1 Åz

2

¢

Æjz

1 j

2

Å

¡

z

1 z

2 Åz

1 z

2

¢

Åjz

2 j

2

D'autrepar t(jz

1 jÅjz

2 j)

2

Æjz

1 j

2

Å2jz

1 z

2 jÅjz

2 j

2

Ils'agitdondeomparerles«doublesproduits».

Orz

1 z

2 Åz

1 z

2 Æz

1 z

2 Åz

1 z

2

Æ2Re(z

1 z

2 )

6

z

2

jd'aprèsunepropr iétéi-dessus.Don

jz

1 Åz

2 j

2

Æjz

1 j

2

Å

¡

z

1 z

2 Åz

1 z

2

¢

Åjz

2 j

2

6

2

Å2jz

1 z

2 jÅjz

2 j

2

Æ(jz

1 jÅjz

2 j)

2

2.2

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

a. Rainearréed'unnombreomplexe

L'objetdeettesetionestderésoudredansCl'équationz 2

Æ®

Rainearréed'unnombreréel

Onsupposeiique®estunréel.

. ®

>

p

® )(zÅ p

®)Æ0.Lessolutions a

sontdon§ p

®

Ononnait:z 2

Æ4()zÆ¡2ouzÆ2

. ®Ç0:alorsz 2

Æ®()(z¡i p

¡®)(zÅi p

¡®)Æ0.Lessolutionssontdon§i p

¡®

C'estlanouveauté:z 2

Æ¡4()zÆ¡2iouzÆ2i

Rainearréed'unomplexenonréel

Leshosesseompliquent!Nousallonstraiterunexemplepournepasvousfaire(trop)peur.

Cherhonslesrainesarréesde4Å3i,àsavoirlesnombresaÅibtelsque(aÅib) 2

Æa 2

¡b 2

Å2iabÆ4Å3i.Paruniité

delafor mealgébr iqueonobtient

8

>

>

<

>

>

: a

2

¡b 2

Æ 4

a 2

Åb 2

Æ 5

2ab Æ 3

Ainsia 2

Æ9/2etb 2

Æ1/2,donaƧ3 p

2 /2etbƧ p

2 /2,or2abÆ3,donaetbsontdemêmesigne.

Lessolutionssontdon p

2

2

(3Åi)et¡ p

2

2 (3Åi)

a

L Asolutionsi®Æ0

b. Résolutiondeax 2

ÅbxÅÆ0 avea,b et desréels

C'estommeen1 ère

:ax 2

ÅbxÅÆ0()a

·µ

xÅ b

2a

¶

2

¡ b

2

¡4a

4a 2

¸

Æ0() µ

xÅ b

2a

¶

2

Æ b

2

¡4a

(2a) 2

Toutdépenddondusignedeb 2

¡4a,puisonutiliselesrésultatsdelasetionpréédente.

Théorème2 Résolutiondeax 2

ÅbxÅÆ0 avea,b et desréels

L'équationax 2

ÅbxÅÆ0admettoujoursdessolutionssurC.

Notons¢Æb 2

¡4aledisr iminantdel'équation

. Si¢Æ0,ilexisteuneuniquesolutionxÆ¡ b

2a

. Si¢È0,ilexistedeuxsolutionsréellesxÆ

¡b§ p

¢

2a

. Si¢Ç0,ilexistedeuxsolutionsomplexesonjuguéesxÆ

¡b§i p

¡¢

2a

Vousserezamenésauhasardd'exeriesàrésoudredeséquationsàoefientsomplexes,maisonn'attenddevous

auunsavoir-fairepar tiulier:vousserezguidéspasàpas.

2.3

FORME TRIGONOMÉTRIQUE

a. Argumentd'unomplexenonnul

For metr igonométr ique

VousvoussouvenezdelaorrespondaneentreCetlePlan.Nousavionspr ivilégiélesoordonnéesar tésiennesd'un

point.Onauraitpuutilisertoutaussibiensesoordonnéespolaires.LePlanaettefoisbesoind'êtreor ienté(illesera

impliitementàpar tirdemaintenant).

M (z)

¡

!

e

1

¡

!

e

2

rosµ r s i nµ

0

r

µ

FIG.4–

Ainsi,(r,µ)étantleoupledeoordonnéespolairesdel'imageMdez,onazÆrosµÅirsinµdéter minédemanière

unique,ar'estenfaitunefor mealgébr iquedéguisée:onl'appellefor metr igonométr iqueduomplexez.

zÆr(osµÅisinµ)

Lesphysiiensnotenterésultatsouslafor me

zÆ[r,µ℄

Congr uenemodulo2¼

Vousrenontrerezsouvent b

lanotationx´y[2¼℄quiselit«xestongr uàymodulo2¼».Elleveutsimplementdireque

x¡yestunmultiplede2¼,'estàdirequ'ilexisteunentierrelatifktelquex¡yÆk£2¼.Retenons

x´y[2¼℄() ilexistek2ZtelquexÆyÅ2k¼

Parexemple,voussavezque

¼

3

´ 4¼

3 [2¼℄.

Mesured'unangledeveteurs

Nousn'avonspaslesmoyensdedénir«proprement»lesanglesdeveteurs.Nousn'enavonsqu'unedénitionintui-

tive.Cequinousintéresse,'estqueµestUNEmesureenradiansdel'angledeveteurs

³

¡

!

e

1 ,

¡¡!

OM

´

.UNEmesure,arelle

estdéniemodulo2¼.EtbienettemesureseraUNargumentduomplexez,qu'onnoteraargz.Onretiendra

argz´µ[2¼℄

Parexemple,arg32´0[2¼℄,arg32i´

¼

2 [2¼℄.

Desfor mestr igonométr iquesderéférene

. 1Æos0Åisin0donj1jÆ1etarg(1)´0[2¼℄

. iÆos

³

¼

2

´

Åisin

³

¼

2

´

donjijÆ1etarg(i)´

³

¼

2

´

[2¼℄

. j1ÅijÆ p

2et1ÅiÆ p

2

p

2

2 Åi

p

2

2

!

Æ p

2

³

os

³

¼

4

´

Åisin

³

¼

4

´ ´

donarg(1Åi)´

³

¼

4

´

[2¼℄

. j

p

3ÅijÆ2et p

3ÅiÆ2

p

3

2 Å

1

2 i

!

Æ2

³

os

³

¼

6

´

Åisin

³

¼

6

´´

donarg(

p

3Åi)´

³

¼

6

´

[2¼℄

b. Correspondanefor mealgébr ique/for metr igonométr ique

Soitzleomplexedefor mealgébr iqueaÅibetdefor metr igonométr iquer(osµÅisinµ)alorsonad'unepar t

aÆrosµ bÆrsinµ

etd'autrepar t

rÆjzjÆ p

a 2

Åb 2

Sizestnonnul,sonmodulerÆ p

a 2

Åb 2

seranonnulégalement.Ainsi,nouspouvonsér irezsouslafor me

z Æ p

a 2

Åb 2

µ

a

p

a 2

Åb 2

Åi b

p

a 2

Åb 2

¶

Ær µ

a

p

a 2

Åb 2

Åi b

p

a 2

Åb 2

¶

Ær(os(µ)Åisin(µ))

Nousendéduisonsque

os (µ)Æ a

p

a 2

Åb 2

sin (µ)Æ b

p

a 2

Åb 2

Ainsi,onnaissantaetb,onpeutobtenirlemoduleetunargumentdeaÅib.Onobtiendraunemesureexatedeµsi

os(µ)etsin(µ)sontdesvaleursonnuesomme1/

2 ,

p

3/

2 ,1,et.

Sinon,onobtiendraunevaleurapprohéeàl'aidedestouhes

@

?

A

nonnul

,

b

Celadoittitillerlamémoiredesspéialistes

Sinon,onsaitquiestµ...

tan (µ)Æ sin (µ)

os(µ) Æ

b

p

a 2

Åb 2

a

p

a 2

Åb 2

Æ b

a

equidéter mineraunevaleurdel'argumentmodulo¼.

0

I J

sin( θ )

− sin( θ ) cos( θ )

− cos( θ )

tan( θ ) θ

π + θ

FIG.5–Latangenteestdéter minéeà¼près

Ilsufraensuitedeonsidérerlesignedeos(µ)oudesin (µ)poursavoiràquionaaffaire.

. Opérationssurlesfor mestr igonométr iques

SoitzÆr(osµÅisinµ)etz 0

Ær 0

¡

osµ 0

Åisinµ 0

¢

,alors

zz 0

Ærr 0

£¡

osµosµ 0

¡sinµsinµ 0

¢

Åi

¡

sinµosµ 0

Åosµsinµ 0

¢¤

Vousquionnaissezpar faitementvosfor mulesd'addition,vousendéduisezque

zz 0

ÆzÆrr 0

¡

os

¡

µÅµ 0

¢

Åisin(µÅµ) 0

¢

Ainsi,nousarr ivonsaurésultatapital

arg(zz 0

)Æarg(z)Åarg(z 0

)[2¼℄

CelavaVOUSper mettrededémontrerlespropr iétéssuivantesaveunpeud'astueetdepatiene

Propr iété4Propr iétésalgébr iquesdesarguments

. arg(zz 0

)Æarg(z)Åarg(z 0

)[2¼℄

. arg(z n

)Ænarg(z)[2¼℄

. arg

µ

1

z

¶

Æ¡arg(z)[2¼℄

. arg

³

z

z 0

´

Æarg(z)¡arg(z 0

)[2¼℄

. arg(z)Æ¡arg(z)[2¼℄

. arg(¡z)ƼÅarg(z)[2¼℄

Enpar tiulier,lafor muleoner nantz n

nousper metd'ér ire

Théorème3 For muledeMoivre

¡

osµÅjsinµ

¢

n

Æos(nµ)Åjsin (nµ)

Nousnousrendonsainsiompteque

Lesfor mestr igonométr iquessontadaptésauxproduitsdeomplexes

Lesfor mesalgébr iquessontadaptéesauxsommesdeomplexes

Maisrevenonsànospremièresamours:alulerengéométr ie...

2.4

LES OBJETS GÉOMÉTRIQUES ET LES COMPLEXES

a. Del'objetauomplexe

Commentaratér iserunerle?

LeerledeentreAetderayonRestl'ensembledespointssitu ésàl adistaneRdeA.Ilestfail edetraduiresim pl eme nt

elaenlangageomplexe...

M(z)2C(A,R)()jz¡z

A jÆR

Commentaratér iseruntr iangleisoèle?

C'estenoreunehistoirededistane,dondemodule:ABCestisoèledesommetpr inipalAsietseulementsiABÆAC

don

ABCisoèledesommetpr inipalA()jz

B

¡z

A jÆjz

C

¡z

A j()

¯

¯

¯

¯ z

B

¡z

A

z

C

¡z

A

¯

¯

¯

¯ Æ1

Commentaratér iseruntr iangleretangle?

OnpeutenoreparlerdistanegrâeauthéorèmedePythagore

jz

C

¡z

B j

2

Æjz

B

¡z

A j

2

Åjz

C

¡z

A j

2

ouangledroit:mais'estl'anglegéométr iquequinousintéresse,donnoustravailleronsmodulo¼

³

¡!

AB,

¡!

AC

´

Æ

³

¡!

AB,

¡

!

e

1

´

Å

³

¡

!

e

1 ,

¡!

AC

´

Æ¡

³

¡

!

e

1 ,

¡!

AB

´

Å

³

¡

!

e

1 ,

¡!

AC

´

Æ¡arg

³

z¡!

AB

´

Åarg

³

z¡!

AC

´

Æarg

z¡!

AC

z¡!

AB

!

Æarg µ

z

C

¡z

A

z

B

¡z

A

¶

³

¡!

AB,

¡!

AC

´

´

¼

2

[¼℄()arg µ

z

C

¡z

A

z

B

¡z

A

¶

´

¼

2 [2¼℄

Commentaratér iserlesdifférentsquadr ilatères?

Petiterévisiondeollège...

quiasesdiagonalesqui

seoupentenleurmilieu

quiatoussesotˆe´sopposes´

paralleles

quiatoussesotˆe´sopposes´

dememeˆ longueur

quiadeuxotˆe´sparalleles

etde mˆ

emelongueur

quiatoussesangles

oppos´

esdem

ˆ

ememesure

quiasesangles

onseuti´ fssupplementaires´

quia3anglesdroits

quiaunangle

droit

quiasesdiagonales

demˆemelongueur

quia4otˆes´demˆemelongueur

quiadeuxot´ˆesons´eutifs

de mˆ

emelongueur

quiasesdiagonales

perpendiulaires

quiadeuxotˆes´ons´eutifs

dememeˆ longueur

quiasesdiagonales

perpendiulaires

quiaunangle

droit quiasesdiagonales

dem

ˆ

emelongueur Q uadrilatere Parallelogramme´

Retangle

L osange

Carre´

FIG.6–

qu'ilvoussufrad'adapteronnaissantequipréède.

b. Duomplexeàl'objet

Quereprésentez¡32Å5i?

SoitAlepointd'afxe32¡5ietMlepointd'afxez,alorsz¡32Å5iÆz

M

¡z

A Æ

z¡¡!

AM

Commentinterpréterjz¡32Å5ijÆ3?

D'aprèsequipréède,onaboutitàAMÆ3:ils'agitdonduerledeentreAetderayon3.

Commentinterpréterj32ÅizjÆ5?

j32ÅizjÆji(¡32iÅz)jÆjij£jz¡32ijÆjz¡32ijÆBMaveMlepointd'afxezetBlepointd'afxe32i.Onretombe

donsurunerle.

Commentinterpréterjz¡ajÆjz¡bj?

SoitMd'afxez,Ad'afxeaetBd'afxeb.Alorsl'égalitésetraduitparAMÆBM,donMestéquidistantdeAetB,don

Mestsurlamédiatr iede[AB℄.

Queseahe-t-ilderr ièrelequotient z

C

¡z

A

z

B

¡z

A

?

Ilsuftderemarquerque z

C

¡z

A

z

B

¡z

A Æ

z¡!

AC

z¡!

AB

.Donvousutiliserezlefaitque

. arg(

z

C

¡z

A

z

B

¡z

A )Æ(

¡

!

e

1 ,

¡!

AC )¡(

¡

!

e

1 ,

¡!

AB)Æ(

¡!

AB,

¡!

AC )

.

¯

¯

¯

¯ z

C

¡z

A

z

B

¡z

A

¯

¯

¯

¯ Æ

AC

AB

Dansd'autresas,vousserezonfrontésàl'interprétationd'uneégalitédustyle z

C

¡z

A

z

B

¡z

A

Ƹquisetraduitpar z¡!

AC Æ

¸z¡!

AB ,don

. si¸2R,alors

¡!

ACƸ

¡!

ABetdonA,BetCsontalignés.

. si¸2iR, z¡!

AC Ƨj¸ji

z¡!

AB

etdonarg

³

z¡!

AC

´

´§

¼

2 Åarg

³

z¡!

AC

´

[2¼℄'estàdire(AC)?(AB)

. si¸Æ§i,alorsletr iangleABCestisoèleetretangleenA

Commentinterpréter(MA,MB)´

¼

2 [¼℄?

Ondéduitdeetterelationqueletr iangleAMBestretangleenM,donqueMdér itleerledediamètre[AB℄pr ivé

despointsAetB.

. Enattendantladeuxièmepar tieduours...

SoitzÆ3Å2i,alors¡1£zÆ¡3¡2ieti£zÆ3iÅ2i 2

Æ¡2Å3i.NotonsM,M 0

etM 00

lespointsd'afxesrespetivesz,¡z

etiz

0

M(3,2 )

¡

!

e

1

¡

!

e2

M 0

(¡3,¡2 ) M

00

(¡2,3 )

FIG.7–

Ômondemer veilleux!Unemultipliationparisetraduitparunquar tdetour,unemultipliationpar¡1setraduitpar

undemi-tour,deuxmultipliationssuessivespari,'estàdireunemultipliationpari 2

Æ¡1setraduitbienpardeux

quar tsdetour,i.e.undemitour.Maiseiestuneautrehistoire...

2.5

COMPLEXES ET ÉLECTRONIQUE

a. Sommededeuxgrandeurssinusoïdales

Ononsidèrelasituationsuivante:

i

i

1

i

2

FIG.8–Loidesmailles

Leourantinitialietlestroisourantsrésultantsi

1 eti

2

ontlamêmepulsation!.

Sii

k Æ

b

I

k

sin (!tÅ'),alors,ennotantI

k

lavaleurefae d

dei

k ona

I

k Æ

£

I

k ,'

¤

ÆI

k

¡

os'Åjsin'

¢

ave b

I

k Æ

p

2I

k

d

Nousapprendronsàlaalulerquandnousauronsétudiélealulintégral

Laloidesmaillesnousditque,àhaqueinstantt,i(t)Æi

1 (t)Åi

2 (t).

Ilesttempsàprésentdesesouvenird'unepetitefor muledetr igo:

sin (aÅb)ÆsinaosbÅsinbosa

Vouspouvezalorsmontrerque,d'unepar t

i

1 (t)Åi

2 (t)Æ

³

p

2I

1 os'

1 Å

p

2I

2 os'

2

´

sin(!t)Å

³

p

2I

1 sin'

1 Å

p

2I

2 sin'

2

´

os(!t)

etd'autrepar t

i(t)Æ

³

p

2Ios'

´

sin (!t)Å

³

p

2Isin'

´

os(!t)

puisquelarelationi(t)Æi

1 (t)Åi

2

(t)estvraieàhaqueinstant,elleestdonvraieenpar tiulierautempstÆ0,d'où

p

2Isin'Æ p

2I

1 sin'

1 Å

p

2I

2 sin'

2

(pourquoi?)etentƼ/

2!

onobtient

p

2Ios'Æ p

2I

1 os'

1 Å

p

2I

2 os'

2

Vouspouvezalorsexpliquerpourquoi

I

0 ÆI

1 ÅI

2

dansleasdesignauxdemêmepulsation.Celavanousrendredegrandsser vies,arilvaêtrebeauoupplussimple

d'additionnerdesomplexespluttquedesgrandeurssinusoïdales.

Exemple Considéronsi

1 Æ2

p

2sin

¡

!tż/

4

¢

eti

1 Æ3

p

2sin

¡

!t¡¼/

6

¢

Alorsvousobtenezd'unepar t

I

1 Æ2

³

os

³

¼

4

´

Åjsin

³

¼

4

´´

Æ p

2

¡

1Åj

¢

etd'autrepar t

I

2 Æ3

³

os

³

¡

¼

6

´

Åjsin

³

¡

¼

6

´´

Æ 3

2

³

p

3¡j

´

Nousendéduisonsque

I

0 ÆI

1 ÅI

2 Æ

p

2Å 3

p

3

2

!

Åj µ

p

2¡ 3

2

¶

Onnereonnaispasdelignestr igonométr iquesonnues.Nousallonsdonutiliserdesvaleursapprohées.

I

0

'4,012289774¡0,0 85 78 64 37 63 j

Nousen déduisonsquel'intensitéefaevautenviron4,01Ampèresetunemesuredesonargument-0,021

radians,etdon

i(t)'4,01 p

2sin (!t¡0,021)

b. Impédaneomplexe

Vousvoussouvenezquel'impédaneomplexeZestdéniepar

ZÆ U

I

ÆRÅjX

aveRlaresistaneetXlaréatanedudiple..

Casd'unebobinepar faite

Ononsidèrelasituationsuivante:

u (t )

L i (t )

FIG.9–Bobinepar faite

Pardénitiondel'intensitéi(t),onau(t)ÆL di(t)

d t

.Ori(t)ÆI p

2sin

¡

!tÅ'

¢

,don

u(t)ÆL d

³

I p

2sin

¡

!tÅ'

¢

´

dt

ÆLI p

2 !os

¡

!tÅ'

¢

ÆL!I p

2sin

¡

!tÅ'ż/

2

¢

ar sin

¡

xż/

2

¢

Æos (x)

DonUÆ

£

IL!,'ż/

2

¤

et

Nousendéduisonsque,d'unepar t

Arg

¡

Z

¢

ÆArg

¡

U

¢

¡Arg

¡

I

¢

Æ'ż/

2

¡'

Æ

¼

2

d'autrepar t

¯

¯

Z

¯

¯

Æ

¯

¯

U

¯

¯

/

¯

¯

I

¯

¯

ÆIL!/

I

ÆL!

Finalement,onobtientque

ZÆ h

L!,

¼

2 i

ÆjL!

arjevousrappelleque h

1,

¼

2 i

Æos

¡

¼/

2

¢

Åjsin

¡

¼/

2

¢

Æj

Montrezdemême quel'impédaneomplexe d'unondensateur par faitdeapaitéCvaut1/

j!

sahantque par

dénitioni(t)ÆC du(t)

dt

L

Exercice 1 Filtre et inversion complexe

Inversionomplexe Ononsidèrel'appliation f duplanomplexedansCquiàtoutpointMd'afxenonnullez

assoielepointM 0

d'afxe1/z.OnposezÆxÅiylafor mealgébr iquedezetx 0

Åiy 0

elledel'afxez 0

deM 0

.

1. Expr imezx 0

ety 0

enfontiondexety.

2. Quelleestl'imagedeM 0

parf ?Déduisez-enl'expressiondexetyenfontiondex 0

ety 0

.

3. SoitDunedroited'équationxÆkavek2R.Déter minezuneéquationdel'imagedeDparf.Déduisez-enlanature

deetteimage.

4. Caspar tiulier:déter minezl'imagedeladroite¢d'équationxÆ32.

Unpeud'életronique:étuded'unltre OnbidouilleunltreenmettantdeuxrésistanesRetdeuxondensateurs

deapaitéCdemanièrer usée.Quandonappliqueàl'entréeuneer tainetensiondepulsation!,onreueilleàla

sor tieunnouveausignal«ltré»maisdemêmepulsation.Celtreestaratér iséparlafontiondetransfer tTdénie

par

T(!)Æ 1

1Å Z

1 (!)

Z

2 (!)

ave Z

1

!)ÆRÅ 1

jC!

et Z

2 (!)Æ

1

1

R ÅjC!

R

C

C R

e1

e

2

FIG.10–Filtre

JustiezlesvaleurstrouvéesdeZ

1 etZ

2

LesonstantesRetCsontbiensûrstr itementpositives.Enéletronique,onnotejlenombrevér iantj 2

Æ¡1pourne

pasfairedeonfusionavel'intensitéi.

1. MontrezqueT(!)Æ

1

3Åj µ

RC!¡ 1

RC!

¶

2. a) Ononsidèrelafontiondéniesur℄0,Å1[par

h(!)ÆRC!¡ 1

RC!

Dressezletableaudevar iationdehsur℄0,Å1[.

b) Ononsidèrelepoint md'afxe3Åjh(!).Quelestl'ensemble(D)dér itparlepoint mlorsque !parour t

℄0,Å1[?

) Quelletransfor mationassoieaupointmlepointMd'afxeZÆT(!)?

d) Déduisez-enl'ensemble(E)dér itparlepointMquand!parour t℄0,Å1[.

e) Traezsurunmêmegraphiquelesensembles(D)et(E).Vousprendrezpourunité6m.

Vousreprésenterezégalementlepointm

0

d'afxe3ÅjetsonimageM

0

parlatransfor mationenvisagée.

.

2.6

Formulaire de Trigonométrie

. For mules

sin 2

xÅos 2

xÆ1

os(aÅb)Æosaosb¡sinasinb

os(a¡b)ÆosaosbÅsinasinb

sin(aÅb)ÆsinaosbÅsinbosa

sin(a¡b)Æsinaosb¡sinbosa

tan(aÅb)Æ

tanaÅtanb

1¡tanatanb

,pouraÅb6Æ

¼

2

Åk¼,k2Z

tan(a¡b)Æ

tana¡tanb

1Åtanatanb

,poura¡b6Æ

¼

2

Åk¼,k 0

2Z

. Transfor mationdeproduitsensomme

osa¢osbÆ 1

2

¢(os (aÅb)Åos (a¡b))

sina¢sinbÆ 1

2

¢(os (a¡b)¡os(aÅb))

sina¢osbÆ 1

2

¢(sin(aÅb)Åsin (a¡b))

. Transfor mationdesommesenproduits

ospÅosqÆ2¢os ( pÅq

2

)¢os(

p¡q

2 )

osp¡osqÆ¡2¢sin(

pÅq

2

)¢sin(

p¡q

2 )

sinpÅsinqÆ2¢sin(

pÅq

2

)¢os ( p¡q

2 )

sinp¡sinqÆ2¢sin(

p¡q

2

)¢os ( pÅq

2 )

. For mulesdedupliation

os(2x)Æos 2

x¡sin 2

xÆ2os 2

x¡1Æ1¡2sin 2

x

sin(2x)Æ2osxsinx

tan(2x)Æ

2tanx

1¡tan 2

x ,x6Æ

¼

4 Åk

¼

2

pourk2Z

AvetÆtan(

x

2

),ona:

sinxÆ 2t

1Åt 2

,osxÆ 1¡t

2

1Åt 2

,tanxÆ 2t

1¡t 2

.

0 1

2

¡ 1

2

¼

¼

3 2¼

3

¡ 2¼

3

¡

¼

3 p

3

2

¡ p

3

2

¼

6

¼

2

5¼

6

¡ 5¼

6

¡

¼

2

¡

¼

6 p

3

2

¡ p

3

2

1

2

¡ 1

2

¼

4

¼

2

3¼

4

¼

¡ 3¼

4

¡

¼

2

¡

¼

4 p

2

2

¡ p

2

2

p

2

2

¡ p

2

2

FIG.11–

0 I

J

s i nx

osx t anx

x

FIG.12–

0 I

J

s i n (x)

os (x)

¡os (x)

t an (x)

¡t an (x) x

¼¡x

FIG.13–

0

I J

s i n (x)

¡s i n (x) os (x)

¡os (x)

t an (x)

x

¼Åx

FIG.14–

0

I J

s i n (x)

¡s i n (x)

os (x)

t an (x)

¡t an (x) x

¡x

FIG.15–