DTL de mathématiques 24-09-2013 TS5 (durée 3 heures)
Calculettes graphiques autorisées
Exercice 1 : (5p)
Déterminez la limite éventuelle de la suite définie sur par : 4² √ 6 5² 3 8
² 1 3 5 1 5 cos 4 1
Exercice 2 : (3.5p)
On définit, pour tout de , la suite telle que :
1 4 1
4
Montrer par récurrence que, pour tout n de , 4
Exercice 3 : (3.5p)
On définit, pour tout de , la suite telle que :
+ , 1
-² 1
Montrer par récurrence que, pour tout de : √
Exercice 4 : (5p)
On définit, pour tout de , la suite telle que : , 3 ./ 4 1)Calculer ./ 0et justifier que n’est ni géométrique, ni arithmétique 2)Soit la suite 1 définie pour tout de par : 1 6, montrer que 1 est une suite géométrique de raison : 2
3)Exprimer alors, pour tout de , 1 en fonction de 4)En déduire, pour tout de , en fonction de 5)Calculer : 1, 1 3 1pour tout de 6)En déduire : , 3 pour tout de
Exercice 5 : (3p)
On définit, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 4, la suite telle que : 0²5 Grâce à l’étude du quotient : 6578
65 , montrer que est décroissante
Exercice 6 : (4p)
On définit, pour tout de , la suite telle que :
1)Etudier,pour tout de , le signe de : et en déduire le sens de variation de 2Soit < = >
>?
0 3 @ù B
a)Vérifier que pour tout C 1, on a :
b)En déduire la valeur de < , puis celle de <,,,
Exercice 7 : (4p)
On définit, pour tout de , la suite telle que : 90 21 14
1)Calculer , 0 et en déduire que n’est pas arithmétique et que, si est géométrique, sa raison q peut prendre une seule valeur que l’on donnera
2)Exprimer en fonction de pour tout de
3)Montrer que l’équation : 4 équivaut à : 0 3 2 0, et conclure sur la nature géométrique de
Exercice 8 : (2p)
On définit, pour tout de , la suite telle que :
1
1 ²
a)A l’aide de la calculette, conjecturer le sens de variation de b)Prouvez la conjecture
Le barème est sur 30 points
