SUITES ET RECURRENCE.

(1)

T ^ale S Chapitre 2. Feuille d’exercices n°2.

Exercice 1 : la suite (u _n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 2 𝑢 _𝑛+1 = 2𝑢 _𝑛 − 3 a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 𝑢 _𝑛 = 3 − 2 ^𝑛 . b. En déduire la limite de (u _n ).

Exercice 2 : on pose : S n = 1 ² + 2 ² + 3 ² + ……+ n ² où n est un entier naturel, n≥1.

Démontrer par récurrence que S n = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 .

Exercice 3 : On pose T _n = 1×2 + 2×3 + ……+ n×(n+1) où n est un entier naturel, n≥1.

Démontrer par récurrence que T _n = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2) 3 .

Exercice 4 : la suite (u _n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 1 𝑢 _𝑛+1 = 𝑢 _𝑛 + 2 a. Donner la nature de la suite (u n ) et exprimer u n en fonction de n.

b. la suite (v _n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑣 ₀ = 1 𝑣 _𝑛+1 = 𝑣 _𝑛 + 𝑢 _𝑛 . Démontrer par récurrence que v _n = 1 + n ² .

Exercice 5 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 1 𝑢 _𝑛+1 = 𝑢 _𝑛 + 𝑛 a. Calculer les 5 premiers termes de la suite.

b. Démontrez par récurrence que 𝑢 _𝑛 = ^𝑛 ² ^{− 𝑛+2} ₂ .

Exercice 6 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 1 𝑢 _𝑛+1 = _𝑢 ^𝑢 ^𝑛

𝑛 + 2

.

a. Calculer les 5 premiers termes de la suite et conjecturer l’expression de u _n en fonction de n.

b. Démontrez la conjecture par une démonstration par récurrence.

Exercice 7 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ ∈]0; 1[

𝑢 _𝑛+1 = 𝑢 _𝑛 (2 − 𝑢 _𝑛 ) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0 < u n < 1.

SUITES ET RECURRENCE.

(2)

CORRECTION FEUILLE D'EXERCICES N° 2, EXERCICES N° 1 à 4.

Exercice n° 1 : a. démontrons par récurrence la propriété P(n) : pour tout n, u n = 3 - 2 ⁿ .

● Initialisation : pour n = 0 : 3 - 2 ⁰ = 3 - 2 = 1 = u 0 : P (0) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1 )est vraie.

- on suppose que u n = 3 - 2 ⁿ (hypothèse de récurrence), il faut montrer que alors u n+1 = 3 - 2 ⁿ⁺¹ . - Démonstration : u n+1 = 2u n - 3

hypothèse de récurrence : u n+1 = 2(3 - 2 ⁿ ) - 3 u n+1 = 6 - 2 × 2 ⁿ - 3

u n+1 = 3 - 2 ⁿ⁺¹ P (n+1 )est vraie C.Q.F.D.

b. lim _𝑛→+∞ 2 ^𝑛 = +∞ (limite d'une suite géométrique de raison > 2) donc 𝐥𝐢𝐦 _𝒏→+∞ 𝒖 _𝒏 = −∞ .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exercice n° 2 :On note P (n) la propriété : 1 ² + 2 ² + ….+ n ² = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 , pour tout n ≥ 1.

● Initialisation : pour n = 1 : 1× 1+1 ×(2×1+1)

6 = ^1×2×3 ₆ = 1 = 1 ² : P (1) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1 )est vraie.

- on suppose que : 1 ² + 2 ² + ….+ n ² = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 (hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : 1 ² + 2 ² + ….+ (n+1) ² = (𝑛+1) 𝑛+1+1 (2 𝑛+1 +1)

6 = (𝑛+1) 𝑛+2 (2𝑛+3)

6 .

- démonstration : 1 ² + 2 ² + ….+ (n+1) ² = 1 ² + 2 ² + ….+ n ² + (n+1) ² hypothèse de récurrence : = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 + (𝑛 + 1) ² = 𝑛 𝑛+1 2𝑛+1 +6(𝑛+1)

²

6 = (𝑛+1) 𝑛 2𝑛+1 +6(𝑛+1) 6

= ^{(𝑛+1)(2𝑛}

2

+𝑛+6𝑛+6) 6

= ^{𝑛+1 (2𝑛}

2

+7𝑛+6) 6

On remarque que (n+2)(2n+3) = 2n ² + 7n+6 donc : = (𝑛+1) 𝑛+2 (2𝑛+3)

6 . P (n+1) est vraie C.Q.F.D.

Quelque soit n ≥ 1 , on a : 1 ² + 2 ² + ….+ n ² = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 CORRECTION

(3)

Exercice 3 : On note P (n) la propriété: 1 × 2 + 2 × 3 + …..+n × (n+1) = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 , pour tout n ≥ 1.

● Initialisation : pour n = 1 : 1× 1+1 (1+2)

3 = ^1×2×3 ₃ = 2 = 1 × 2 : P (1) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1)est vraie.

- on suppose que : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+n × (n+1) = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 (hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+ (n+1) × (n+2) = (𝑛+1) 𝑛+2 (𝑛+3)

3 ,

- démonstration : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+(n+1) × (n+2) = 1 × 2 + 2 × 3 + …..+ n × (n+1) + (n+1) × (n+2) hypothèse de récurrence : = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 + (n+1) × (n+2) = 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 + 3(𝑛+1)(𝑛+2)

3 = 𝑛+1 (𝑛+2) 𝑛+3 6

= (𝑛+1) 𝑛+2 (𝑛+3)

3 P (n+1 ) est vraie C.Q.F.D.

Quelque soit n ≥ 1 , on a : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+n × (n+1) = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 .

_

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exercice 4 :

a. D'après la définition de la suite (u n ), on a pour tout n : u n+1 - u n = 2, la suite (u n ) est donc une suite arithmétique de raison r = 2 et de t.i. u 0 = 1, on obtient donc pour tout n : u n = u 0 + n × r = 1 + 2n.

b. d'après le a. (v n ) est donc définie pour tout n : 𝑣 ₀ = 1 𝑣 _𝑛+1 = 𝑣 _𝑛 + 2𝑛 + 1 On note P (n) la propriété: v n = 1 + n ² pour tout n.

● Initialisation : pour n = 0 : 1 + 0 ² = 1 = v 0 , P (0) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1)est vraie.

- on suppose que : v n = 1 + n ² ,(hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : v n+1 = 1 + (n+1) ² . - Démonstration : v n+1 = v n + 2n + 1

hypothèse de récurrence : v n+1 = 1 + n ² + 2n + 1

v n+1 = 1 + (n + 1) ² P (n+1 ) est vraie C.Q.F.D.

Donc : v n = 1 + n ² pour tout n.

SUITES ET RECURRENCE.

T ale S Chapitre 2. Feuille d’exercices n°2.

Exercice 1 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 0 = 2 𝑢 𝑛+1 = 2𝑢 𝑛 − 3 a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 𝑢 𝑛 = 3 − 2 𝑛 . b. En déduire la limite de (u n ).

Exercice 2 : on pose : S n = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ……+ n 2 où n est un entier naturel, n≥1.

Démontrer par récurrence que S n = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 .

Exercice 3 : On pose T n = 1×2 + 2×3 + ……+ n×(n+1) où n est un entier naturel, n≥1.

Démontrer par récurrence que T n = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2) 3 .

Exercice 4 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 0 = 1 𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛 + 2 a. Donner la nature de la suite (u n ) et exprimer u n en fonction de n.

b. la suite (v n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑣 0 = 1 𝑣 𝑛+1 = 𝑣 𝑛 + 𝑢 𝑛 . Démontrer par récurrence que v n = 1 + n 2 .

Exercice 5 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 0 = 1 𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛 + 𝑛 a. Calculer les 5 premiers termes de la suite.

b. Démontrez par récurrence que 𝑢 𝑛 = 𝑛 2 − 𝑛+2 2 .

Exercice 6 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 0 = 1 𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑢 𝑛

𝑛 + 2

.

a. Calculer les 5 premiers termes de la suite et conjecturer l’expression de u n en fonction de n.

b. Démontrez la conjecture par une démonstration par récurrence.

Exercice 7 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 0 ∈]0; 1[

𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛 (2 − 𝑢 𝑛 ) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0 < u n < 1.

SUITES ET RECURRENCE.

CORRECTION FEUILLE D'EXERCICES N° 2, EXERCICES N° 1 à 4.

Exercice n° 1 : a. démontrons par récurrence la propriété P(n) : pour tout n, u n = 3 - 2 n .

● Initialisation : pour n = 0 : 3 - 2 0 = 3 - 2 = 1 = u 0 : P (0) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1 )est vraie.

- on suppose que u n = 3 - 2 n (hypothèse de récurrence), il faut montrer que alors u n+1 = 3 - 2 n+1 . - Démonstration : u n+1 = 2u n - 3

hypothèse de récurrence : u n+1 = 2(3 - 2 n ) - 3 u n+1 = 6 - 2 × 2 n - 3

u n+1 = 3 - 2 n+1 P (n+1 )est vraie C.Q.F.D.

b. lim 𝑛→+∞ 2 𝑛 = +∞ (limite d'une suite géométrique de raison > 2) donc 𝐥𝐢𝐦 𝒏→+∞ 𝒖 𝒏 = −∞ .

Exercice n° 2 :On note P (n) la propriété : 1 2 + 2 2 + ….+ n 2 = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 , pour tout n ≥ 1.

● Initialisation : pour n = 1 : 1× 1+1 ×(2×1+1)

6 = 1×2×3 6 = 1 = 1 2 : P (1) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1 )est vraie.

- on suppose que : 1 2 + 2 2 + ….+ n 2 = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 (hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : 1 2 + 2 2 + ….+ (n+1) 2 = (𝑛+1) 𝑛+1+1 (2 𝑛+1 +1)

6 = (𝑛+1) 𝑛+2 (2𝑛+3)

6 .

- démonstration : 1 2 + 2 2 + ….+ (n+1) 2 = 1 2 + 2 2 + ….+ n 2 + (n+1) 2 hypothèse de récurrence : = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 + (𝑛 + 1) 2 = 𝑛 𝑛+1 2𝑛+1 +6(𝑛+1)

6

= (𝑛+1) 𝑛 2𝑛+1 +6(𝑛+1) 6

= (𝑛+1)(2𝑛

+𝑛+6𝑛+6) 6

= 𝑛+1 (2𝑛

+7𝑛+6) 6

On remarque que (n+2)(2n+3) = 2n 2 + 7n+6 donc : = (𝑛+1) 𝑛+2 (2𝑛+3)

6 . P (n+1) est vraie C.Q.F.D.

Quelque soit n ≥ 1 , on a : 1 2 + 2 2 + ….+ n 2 = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6

CORRECTION

Exercice 3 : On note P (n) la propriété: 1 × 2 + 2 × 3 + …..+n × (n+1) = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 , pour tout n ≥ 1.

● Initialisation : pour n = 1 : 1× 1+1 (1+2)

3 = 1×2×3 3 = 2 = 1 × 2 : P (1) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1)est vraie.

- on suppose que : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+n × (n+1) = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 (hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+ (n+1) × (n+2) = (𝑛+1) 𝑛+2 (𝑛+3)

3 ,

- démonstration : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+(n+1) × (n+2) = 1 × 2 + 2 × 3 + …..+ n × (n+1) + (n+1) × (n+2) hypothèse de récurrence : = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 + (n+1) × (n+2) = 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 + 3(𝑛+1)(𝑛+2)

3

= 𝑛+1 (𝑛+2) 𝑛+3 6

= (𝑛+1) 𝑛+2 (𝑛+3)

3 P (n+1 ) est vraie C.Q.F.D.

Quelque soit n ≥ 1 , on a : 1 × 2 + 2 × 3 + …..+n × (n+1) = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)

3 .

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Exercice 4 :

a. D'après la définition de la suite (u n ), on a pour tout n : u n+1 - u n = 2, la suite (u n ) est donc une suite arithmétique de raison r = 2 et de t.i. u 0 = 1, on obtient donc pour tout n : u n = u 0 + n × r = 1 + 2n.

b. d'après le a. (v n ) est donc définie pour tout n : 𝑣 0 = 1 𝑣 𝑛+1 = 𝑣 𝑛 + 2𝑛 + 1 On note P (n) la propriété: v n = 1 + n 2 pour tout n.

● Initialisation : pour n = 0 : 1 + 0 2 = 1 = v 0 , P (0) est vraie.

● Hérédité : on suppose que P (n) est vraie, démontrons qu'alors P (n+1)est vraie.

- on suppose que : v n = 1 + n 2 ,(hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : v n+1 = 1 + (n+1) 2 . - Démonstration : v n+1 = v n + 2n + 1

hypothèse de récurrence : v n+1 = 1 + n 2 + 2n + 1

v n+1 = 1 + (n + 1) 2 P (n+1 ) est vraie C.Q.F.D.

Donc : v n = 1 + n 2 pour tout n.

T ^ale S Chapitre 2. Feuille d’exercices n°2.

Exercice 1 : la suite (u _n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 2 𝑢 _𝑛+1 = 2𝑢 _𝑛 − 3 a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 𝑢 _𝑛 = 3 − 2 ^𝑛 . b. En déduire la limite de (u _n ).

Exercice 2 : on pose : S n = 1 ² + 2 ² + 3 ² + ……+ n ² où n est un entier naturel, n≥1.

Exercice 3 : On pose T _n = 1×2 + 2×3 + ……+ n×(n+1) où n est un entier naturel, n≥1.

Démontrer par récurrence que T _n = 𝑛 𝑛+1 (𝑛+2) 3 .

Exercice 4 : la suite (u _n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 1 𝑢 _𝑛+1 = 𝑢 _𝑛 + 2 a. Donner la nature de la suite (u n ) et exprimer u n en fonction de n.

b. la suite (v _n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑣 ₀ = 1 𝑣 _𝑛+1 = 𝑣 _𝑛 + 𝑢 _𝑛 . Démontrer par récurrence que v _n = 1 + n ² .

Exercice 5 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 1 𝑢 _𝑛+1 = 𝑢 _𝑛 + 𝑛 a. Calculer les 5 premiers termes de la suite.

b. Démontrez par récurrence que 𝑢 _𝑛 = ^𝑛 ² ^{− 𝑛+2} ₂ .

Exercice 6 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ = 1 𝑢 _𝑛+1 = _𝑢 ^𝑢 ^𝑛

a. Calculer les 5 premiers termes de la suite et conjecturer l’expression de u _n en fonction de n.

Exercice 7 : la suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : 𝑢 ₀ ∈]0; 1[

𝑢 _𝑛+1 = 𝑢 _𝑛 (2 − 𝑢 _𝑛 ) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0 < u n < 1.

Exercice n° 1 : a. démontrons par récurrence la propriété P(n) : pour tout n, u n = 3 - 2 ⁿ .

● Initialisation : pour n = 0 : 3 - 2 ⁰ = 3 - 2 = 1 = u 0 : P (0) est vraie.

- on suppose que u n = 3 - 2 ⁿ (hypothèse de récurrence), il faut montrer que alors u n+1 = 3 - 2 ⁿ⁺¹ . - Démonstration : u n+1 = 2u n - 3

hypothèse de récurrence : u n+1 = 2(3 - 2 ⁿ ) - 3 u n+1 = 6 - 2 × 2 ⁿ - 3

u n+1 = 3 - 2 ⁿ⁺¹ P (n+1 )est vraie C.Q.F.D.

b. lim _𝑛→+∞ 2 ^𝑛 = +∞ (limite d'une suite géométrique de raison > 2) donc 𝐥𝐢𝐦 _𝒏→+∞ 𝒖 _𝒏 = −∞ .

Exercice n° 2 :On note P (n) la propriété : 1 ² + 2 ² + ….+ n ² = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 = ^1×2×3 ₆ = 1 = 1 ² : P (1) est vraie.

- on suppose que : 1 ² + 2 ² + ….+ n ² = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 (hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : 1 ² + 2 ² + ….+ (n+1) ² = (𝑛+1) 𝑛+1+1 (2 𝑛+1 +1)

- démonstration : 1 ² + 2 ² + ….+ (n+1) ² = 1 ² + 2 ² + ….+ n ² + (n+1) ² hypothèse de récurrence : = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6 + (𝑛 + 1) ² = 𝑛 𝑛+1 2𝑛+1 +6(𝑛+1)

= ^{(𝑛+1)(2𝑛}

= ^{𝑛+1 (2𝑛}

On remarque que (n+2)(2n+3) = 2n ² + 7n+6 donc : = (𝑛+1) 𝑛+2 (2𝑛+3)

Quelque soit n ≥ 1 , on a : 1 ² + 2 ² + ….+ n ² = 𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

3 = ^1×2×3 ₃ = 2 = 1 × 2 : P (1) est vraie.

b. d'après le a. (v n ) est donc définie pour tout n : 𝑣 ₀ = 1 𝑣 _𝑛+1 = 𝑣 _𝑛 + 2𝑛 + 1 On note P (n) la propriété: v n = 1 + n ² pour tout n.

● Initialisation : pour n = 0 : 1 + 0 ² = 1 = v 0 , P (0) est vraie.

- on suppose que : v n = 1 + n ² ,(hypothèse de récurrence), il faut démontrer qu'alors : v n+1 = 1 + (n+1) ² . - Démonstration : v n+1 = v n + 2n + 1

hypothèse de récurrence : v n+1 = 1 + n ² + 2n + 1

v n+1 = 1 + (n + 1) ² P (n+1 ) est vraie C.Q.F.D.

Donc : v n = 1 + n ² pour tout n.