Nombres de racines d’un polynôme entier modulo $q$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

M

ONIQUE

B

RANTON

O

LIVIER

R

AMARÉ

Nombres de racines d’un polynôme entier modulo q

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

10, n

o

_{1 (1998),}

p. 125-134

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1998__10_1_125_0>

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Nombres de racines d’un

_polynôme

entier

modulo

_q

par

MONIQUE

BRANTON et OLIVIER

RAMARÉ

RÉSUMÉ. Nous montrons que l’ensemble des racines modulo une

puissance

d’un nombre

_premier

d’un

_polynôme

à coefficients

en-tiers de

_degré

d est une union d’au

_plus

d

_progressions

arithmé-tiques

de modules assez

_grands.

Nous en déduisons une

majora-tion du nombre de ses racines dans un intervalle réel court.

ABSTRACT. We _prove that the set of the residues modulo a _power

of a

_prime

number which are roots of an

integral polynomial

with

degree

d is a collection of at more d arithmetic

_{progressions.}

An

upper bound of the number of these roots

_lying

in a

_given

small interval is deduced.

1. INTRODUCTION

Soit F un

polynôme

à coefficients dans Z et _q un entier &#x3E; 2. Nous nous intéressons à l’ensemble

Notons

_c(F)

le

_pgcd

des coefficients de F.

_Puisque

_c(F)

_peut

se mettre

en

_facteur,

il nous suffit d’étudier le cas

c(F) -

_1,

hypothèse

_que nous prenons dans la suite. Nous dirons

que F

est

primitif.

Nous supposons en

outre _{que F} est de

_degré

d &#x3E; 2. Nous dirons F est un

polynôme

entier pour

signifier

que ses coefficients sont entiers

_(et

non _{pas que} ses valeurs sur les entiers sont encore des

entiers).

Notre

premier

théorème détermine la structure de

_{N(F, pM)}

_lorsque

_p est un nombre

_premier.

D’un

_point

de vue

qualitatif,

nous établissons _que cet ensemble est une union de moins de d

_{progressions arithmétiques}

de module assez

_grand.

Pour

_exprimer

notre

_résultat,

nous _{définissons les cônes affines} convexes

_{C(O1, ... , 0,.,}

_M)

dépendant

des

_paramètres

entiers strictement

_positifs

r,

Q1, ... ,

Llr

et M

qui

sont constitués des

_r-uplets

de réels

_{(x 1, ... ,}

vérifiant

Si l’on _pose

_do

=

~v

alors les

_points

de

_{C(~,1, ... ,}

_A,,

_M)

satisfont à

et en

_particulier

à M + r - 1. Nous avons alors

Théorème 1. Soit F un

pol ynôme

primitif

entier de

d egré

d _&#x3E;

2,

_p un nombre

_premier

et M &#x3E; 1 un entier.

Supposons

_que F admette une racine modulo

_pM.

Alors il existe un entier

r _

d,

des entiers _ml, ... , mr,

01, ... ,

Ay

tous &#x3E; 1

_{et yl, ... ,}

_yr tels _que

De

_plus

cette dernière union est

_disjointe.

Cette

_description

de

_{N(F, pM)}

_{appelle quelques}

commentaires. Tout d’abord il est

_possible

d’avoir

_UUEI

yu +

pmuz

= z +

_pnz

pour certains sous-ensembles I

_(auquel

cas nous dirons

qu’il

_y a

amalgame),

mais nous ne pouvons

plus garantir

de minoration sur _n, ni même

_{garantir n &#x3E;}

1. De tels

exemples

sont donnés par F = X p - X modulo _p et F = modulo

p3.

Une telle situation est bien sûr

_impossible

si d _p. Ensuite les bornes données sont

_optimales

comme l’on s’en convainc avec les

_exemples

F =

X d

qui

correspond

à

_do

= d et r =

_1,

et F =

(X - p’n ) (X -

2p’’~ ) ... (X -

pourdpetM=dm+1

Nous le démontrons en deux

_{temps :}

le

_premier

consiste à ramener le

problème

à un

problème

combinatoire _que nous étudions dans un second

temps.

Notre

_approche

diftère notoirement de

_l’approche

classique qui

con-siste à relever de

_proche

en

proche

les solutions modulo _p à l’aide d’un

lemme de Hensel en ce _que nous nous donnons l’ensemble de solutions a

priori

et en étudions la structure.

Nous utiliserons le résultat

_précédent

pour

majorer

la

quantité

où I est un intervalle réel de

_longueur

L.

_Nagell

&#x26; Ore

(cf

[Na]),

Sàndor

(cf

[Sa])

et

_Huxley

_(cf

_[Hu])

ont donné des

_majorations

de

_N(F,

q,

[1, q])

=

qp(F, q)

en fonction du discriminant de

_F,

mais ces bornes

(excellentes

dans

_beaucoup

de

_cas)

demandent d’une

_part

de connaître ce discriminant

et d’autre

_part

ne donnent aucun résultat si ce discriminant est nul. En

est le nombre de diviseurs de

_q)

_qui

fut améliorée en 1977 dans le cas où _q admet

_beaucoup

de facteurs

premiers

par Steckin

[St]

en

Finalement en

_1980,

_Konjagin

[Ko]

donnait une

_majoration

de

q1/dp(F,

q)

indépendante

de _q et son résultat est

_{optimal :}

il obtient

_p(F,

_q)

_CO(d)q-1/d

où

_{Co (d)}

=

d/e

₊

O(Log2

d)

et montre _que le terme

principal

de

Co (d)

_ne

peut

pas être réduit. Notons que les références que nous donnons de cet ar-ticle

_(écrit

en russe en

1979)

sont les références de la traduction et _que cette

traduction tient

_compte

du

_corrigendum.

Le théorème 1 donne facilement

ql/dp(F,

q)

exp(1.6d).

En combinant le résultat de

Konjagin

avec le théorème

_1,

nous obtenons ici des

_majorations

de

_{N(F, q, I)}

dans le cas d’un interval I court.

Théorème 2.

_{N(F, q, I)}

=

p(F, q)L

₊ où

101

1 et où

w(q)

est le nombre de

_facteurs

_premiers

de _q

_comptés

sans

_{multiplicité.}

En

_particulier,

nous avons

N(F, q, I) ~ Co(q)L

q-1/d

+

Cette borne est valable sans

exception

mais la _preuve du théorème 2 donne une meilleure

_majoration

dans

_beaucoup

de cas. Par

_exemple,

si q

est sans facteurs

carrés,

alors

N(F, q, I )

dCAJ(q)(Lq-1

+

_1).

Dans le cas L = _q, le théorème 2 contient le résultat de

Konjagin

(au

terme d’erreur

près).

Les méthodes

_employées

sont élémentaires. Nous proposerons une

ap-proche plus algébrique

dans un travail à venir. Notons _que des

majorations

de ce

_type

sont utiles pour étudier le nombre de

points

au

_voisinage

de courbes

_régulières

_(cf

_{[HS1], [HS2]).}

2.

RÉDUCTION À

UN

PROBLÈME

COMBINATOIRE

Le lemme suivant détermine la structure de l’ensemble des solutions d’une

_équation

_polynomiale

modulo une

puissance

d’un nombre

premier

en fonction de

_{systèmes d’équations}

linéaires. Il est utile de

_{garder l’exemple}

F =

_{(X -1 ) 2}

_{+ p}

en tête.

Lemme 3. Soit F E

_Z[X]

un

polynôme primitif,

_p un nombre

_premier

et M &#x3E; 1 un entier. Il existe un entier

do

deg(F)

et

_2do

entiers pl, ... , pdo E Z

_{et £1,... ,}

_£do

E

_{[0, M]}

tels _{que pour tout m} M on ait

Preuve. Nous raisonnons _par récurrence sur le

degré

de F. Pour les besoins de la récurrence nous _supposons

_uniquement

_que

(c(F), p) -

1 et nous dirons que F est

p-primitif.

Supposons

tout d’abord que F = aX + b. Si

(a, p)

= 1,

la

_propriété

est aisément établie. Sinon

_{(b, p)}

= 1 et

_{l’équation}

az + b ~ 0 n’admet de solutions que si m = 0. Nous

prenons alors

Soit maintenant F un

polynôme

p-primitif

de

degré &#x3E;

2. Soit

.~o

le

plus

grand

des entiers m ~ M _pour

_lesquels

_F(z)

= 0

_[pm]

admet une solution. Soit _po une racine de F modulo

pio.

Ecrivons

F(X ) - (X - po)G(X)

mod

_pie

où G est

_p-primitif

défini modulo

_pM

et de

_degré

=

deg(F) -

1. Notre

_hypothèse

de récurrence

_permet

alors de conclure facilement. 0

Remarquons

que le lemme

précédent

n’est pas tout à fait

_{complet puisque}

tous les

_systèmes

_(M,

_do,

_{pl, ... ,} ... , ne sont pas

possibles.

Par

exemple

si

_{deg(F) =}

_1,

on a nécessairement

Il

= 0 _ou M. Nous pouvons par ailleurs supposer

~2 ~ ~ ~ &#x3E;

fde

quitte

à

remplacer

par

fi

=

min(f1,

~2, · . · ,

ce _que nous ferons dans la suite.

Il serait intéressant de construire un

polynôme

G

dépendant uniquement

des îi

et _pi tel que

F(z) ==

0 4==&#x3E;

_{G(z) ==}

0

_j2~’~].

Dans cette

direction,

nous avons le résultat suivant.

Corollaire 4. Pour tout

_{polyrtôme primitif}

entier F de

_degré

d &#x3E;

_1,

et

pour tout entier

q &#x3E;

1, il

existe des entiers pi, ... , Pd tels que pour tout

diviseur

_q’

de _q on ait

Preuve.

_Lorsque

_q =

pm,

le lemme

précédent

nous donne un entier

do

deg(F)

et

_do

entiers _{pl, ... , pdo tels que pour} tout z E Z et tout m

_M,

on ait

Il nous sufht _pour cela de

_majorer

les

_par M.

Quite

à

rajouter

des _pi, nous _{pouvons supposer que}

_do

=

deg(F).

En utilisant le théorème

chinois,

nous obtenons notre corollaire. D

Nous donnons maintenant une formulation du lemme 3 où les variables

hi

n’interviennent

_plus.

Pour cela nous _posons

où

_vp(z)

est le

_plus

_grand

des entiers tels _que

_{pn 1 z.}

La valeur de ne

_dépend

_que de la classe de z modulo

_pm

ce

_qui

_justifie

l’écriture

si z est un entier modulo

pn

avec n &#x3E; m. Les entiers

_{£1, ... ,}

_£do

étant

_fixés,

nous _posons

Lemme 5. Sous les

_hypothèses

et notations du lemme

_3,

nous avons _pour tout m M :

Preuve. Le

_{plus simple}

consiste à

_reprendre

la démonstration du lemme 3 avec une

_hypothèse

de récurrence

_adaptée

au lemme 5. Les détails ne

posant

aucun

_problème,

nous laissons cette _preuve au soin du lecteur. L7

3. PREUVE DU

THÉORÈME

1

Soit donc p un nombre

_premier,

M &#x3E; 1 un entier et F un

_polynôme

entier

_primitif

admettant une racine modulo

p m

Nous considérons le

_graphe

orienté construit sur

{ (x, m), x

E

_Z/mZ,0

m ~

_M}

où l’on met une arête de

(x, m)

à

(x’, m’)

si et seulement si

m’ 1

= m - 1 _{et x -} x’

m’ .

Il

_s’agit

donc d’un arbre de racine

(0,0).

A

_chaque

arête

_{(x, m) --~ (x, m -1)}

de ce

_graphe

nous associons le

_poids

Ai

(x, m)

défini en

(3.2)

ci-dessous,

de telle sorte que si l’on va de

(x, m)

à

(o, 0),

la somme des

_poids

des arêtes _que l’on

_parcourt

est Nous considérons ensuite l’ensemble S des

_points

_{(x, m)}

tels que

D (x, m) &#x3E;

M. Cet ensemble vérifie "si

_{(x, m) --~ (x, m -1 )}

et si

_{(x, m -1 )}

E

_S,

alors

(x,

m)

E S". Il est

_important

de _{remarquer que} S n’est pas

toujours

égal

à l’ensemble

_So

des

_points

_{(x, m)}

_qui

vérifient

Ceci vient de ce _que notre définition de

_Dl

_permet

z - _y

(p’~~}

comme le montre

_l’exemple

F =

X 2 -

2X modulo

2m

= 8 _et 2m = 2.

Jusqu’à présent,

la seule condition

demandée à

_Dl

est de vérifier le

_{lemme 5 ;}

d’autres définitions auraient

pu

convenir,

certaines d’entre elles vérifiant la

propriété juste

mentionnée.

Mais alors la

_possibilité

d’avoir des

_amalgames

rend la situation

difficile-ment contrôlable.

Nous définissons les solutions minimales

_{(y, m)}

par

Dl (y, m) &#x3E;

M &#x3E;

m - 1).

Soit

_{(y,, ml), ... ,}

_{1 (y,,}

leur collection

_(qui

est non

vide,

et cette union est

_disjointe.

Il nous faut à

présent majorer

r et minorer les

mu. ·

La croissance en m des fonctions

Di (z,

m)

nous intéresse

_{particulièrement.}

Pour tout i E

_{{ 1, ... ,}

_do},

nous _posons

et

_Regardons

à

_présent

les

_points

_{(pi, M)}

et les chemins

_qui

lient ces

_points

à la racine de l’arbre

(0, ).

Si un

_point

(y,

m)

n’appartient

pas à l’un de ces

chemins,

alors

Di

(y,

m)

=

Dl

(y, m-1)

comme on le constate sur la définition

(2.3).

Par

conséquent chaque

solution minimale

_appartient

à l’un de ces chemins ce

_qui

nous donne

déjà

r d. Le lemme suivant

_précise

cette remarque.

Lemme 6. Nous avons

Ai (y, m) :5

Ag (y, m)

et +

_{1 )}

_m)

pour 1 i

do.

Preuve. Nous donnons tout d’abord une écriture

_{plus explicite}

de Nous posons

et vérifions que

(avec z

= _{y -}

pi)

avec 0. Une récurrence utilisant la suite

_{d’inégalités}

permet

de conclure à la validité de la

_première

_inégalité.

Pour ce

_qui

est de la

_seconde,

notons tout d’abord _que le cas i =

do

est trivial. Pour i

_quelconque,

nous avons trois cas à considérer.

_{Si fi}

&#x3E;

Vp,m+1

(z)

+

_Di+1

_(y,

m +

₁₎

alors

_{m) = Ai (y,}

m +

_1).

Si

_{vp,m (z)}

+ +

₁₎

&#x3E;

_fi,

alors

_{A;(y, m}

+

₁₎

= 0 _ce

_qui

règle

aussi _{ce cas.} Le dernier cas restant est

_Vp,m+1(Z)

+

_Di+1(y,m

+

₁₎

&#x3E;

_{vp~m (z)}

+

m +

₁₎

_auquel

cas il nous suffit de vérifier que

ce

_qui

est

_garantit

_par

_{l’hypothèse}

de récurrence et

_{l’inégalité}

Les

_quantités

_{Di (y, m)}

sont

_beaucoup

_{plus régulières}

_que les

_quantités

Ll1(y,m)

parce que +

₁₎

où la somme

_porte

sur les classes z modulo _{congrues à y} modulo

_p’’n.

_{Comparativement}

nous ne savons _que démontrer la seconde

_partie

du lemme 6 _pour les

Posons

_Dû

= 1. Nous obtenons alors

parce que

chaque

pi est

compté

dans au moins l’un des

_à*

et dans au

_plus

un

puisque

sinon on aurait _pour deux

variables u #

_v, ce

_qui

est

_impossible.

Soit alors

Nous avons _{mu,u = mu} et _{mv,u = mu,,} et

_{classiquement}

min(mu,w,

mw,v) .

Nous montrons facilement _que

ce

_qui

nous donne

Nous ordonnons à

_présent

les mu de sorte à avoir

_{m2 ~ ~ ~}

mr .

En utilisant le fait que 0

_{m.,,, :5}

mv - 1 si v u, 0 1 si

v &#x3E; u et les

inégalités

M,

nous obtenons

Le théorème 1 en découle aisément.

4. PREUVE DU

THÉORÈME

2

Nous considérons ici un

_{module q}

=

... pM(T)

_et utilisons le théorème

1 T

1. Il vient

avec des notations évidentes et où l’on a

supposé qu’il

existait une solution. Sinon

_N(F,

_{q) = 0,}

cas _que nous écartons. Définissons encore

Pour un

_point

Y de

_y,

nous définissons

m(Y,t)

comme étant

mi(t)

si la t-ième

_{coordonnée Yt}

de Y est

_{Yi (t).}

_{Nous posons enfin}

et obtenons

Cette union est

_disjointe.

En effet si

_{Y ~ Y’,}

il existe un t pour

lequel

et nous avons alors

(4.5)

Nous obtenons donc

Il est _par ailleurs trivial de constater que

ce

_qui

nous donne

_qu’il

existe un 0 E

_~-1,1~

tel _que

Nous

_majorons

le terme d’erreur par

d~

=

d(1q).

Pour _ce

qui

est du terme

principal,

nous utilisons deux

approches.

Tout d’abord ce terme

principal

est

_égal

à

_{L N(F,}

_q,

_{[1, q))/q}

ce

qui

nous

_permet

d’utiliser la

majoration

de

Konjagin

et d’obtenir le théorème 2. Nous montrons à

_présent

comment obtenir ce même résultat avec une constante

_plus

élevée à l’aide du lemme suivant.

Lemme 7. Nous avons

avec

_{C(p, d) =}

max(1,dp-1+1/d)

et où

_rxl

_{désigne la}

_partie

entière _par valeur

_supérieure

du réel x.

Preuve. Pour

_simplifier

l’écriture nous

n’indiquerons

_pas la

_dépendance

des variables en t. Notre

_expression

est inférieure à 1

_{puisqu’il s’agit}

d’une densité. Cette

_majoration

est efficace

_lorsque

p est

_petit.

De

_plus

_chaque

mi est

supérieur

à

M/d

et donc à

fM/al

puiqu’il

s’agit

d’entiers. Nous démontrons à

_présent

la troisième

_inégalité.

Nous avons

et nous souhaitons déterminer le maximum de cette

_quantité

sur l’ensemble

fini V des

_paramètres

V =

(do;

_r;

Â1’... ,

A,)

vérifiant les contraintes du théorème 1. Tout

_d’abord,

si V E V est tel

_qu’il

existe deux indices i

_{# j}

avec

_2,

alors le

_point

V’

obtenu à

_partir

de V en

remplaçant

Ai

par

Ai

+ 1 et

_Aj

_par 1 vérifie

_S’(V)

_S(V’)

_puisque

Nous _pouvons donc

_prendre

O1 -

do - r

+ 1 et 1 si i &#x3E; 2. Pour un tel

_{point V,}

nous avons

Nous vérifions sur cette

_{expression qu’il}

suffit de

_prendre

_{do =}

d. Pour le

point

V

_{correspondant,}

nous avons

Cette

_expression

est décroissante

_puis

croissante en _r, ce

_qui

fait

qu’il

suffit de considérer les valeurs r = 1 et _r =

d,

d’où _notre troisième

majoration.

D Nous obtenons alors

majoration qui

est dans certains cas

plus précise

_que celle du théorème 2. Posons

En utilisant

_{~~~~ 1}

_{1.26x/ Log x}

_{pour x} &#x3E; 1

_{(cf [RS] (3.6)),}

nous obtenons

_{Log C(d)}

1.6d _pour d &#x3E;

_2,

ce

_qui

conclut la _preuve.

- Deux

questions.

1- Pour obtenir le théorème

_2,

nous avons utilisé le

_procédé

de crible le

plus simple

et il est

_légitime

de _penser

_qu’une

amélioration de ce

procédé

réduise le terme d’erreur. Parmi les diverses

_façons

d’aborder ce

problème,

nous

signalons

le

_problème

annexe suivant : A-t-on

_N(F,

_{q, 1)}

W si

w(q)

est

_grand

et L =

qlld ?

2- Peut-on caractériser les

_polynômes

_qui

ne vérifient _pas la

_propriété

suivante où 1~ _&#x3E; 0 est un entier : Pour tout x E

_7~,

il existe y = x

[pk]

tel

que

F(y) fi

0

Pour k =

0,

il suffit _que X ne divise _pas F. Si l’on utilise le théorème 1 avec M = kd

_{+ 1,}

on obtient

_{m~ &#x3E;}

A:+1. Par

_conséquent,

si les

progressions

yu ne

s’amalgament

_pas en une

_progression

de module

plus petit

(ce

qui

est le cas si d

p),

la

propriété

est vérifiée. Sinon

_après

tous les

_amalgames,

on atteint au

_pire

une

_progression

de module

et donc nous _{pouvons trouver y} modulo _p

puissance

k -

[d/p]

si k &#x3E;

~d/p).

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Olivier RAMARÉ

Département de Mathématiques

Université Lille 1

59655 Villeneneuve d’Ascq Cedex France