CONGRUENCE MODULO

(1)

cours 6

CONGRUENCE

MODULO

(2)

Le concept de modulo en est un que vous connaissez.

1 2 3 4 6 5

7 8

9

10 11 12

21h = 9h

24 13 23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

(3)

Définition On dit que est congru à modulo ^a _b n qu’on note ^a _⌘ ^b ^mod ⁿ

a = b % n

Si _a _b est un multiple de ⁿ

Exemple ₁₄ _⌘ _{2 mod 12} ₁₄ _{2 = 12}

23 ⌘ 15 mod 2 23 15 = 8 = 2 ⇥ 4

a ⌘ b (n)

(4)

7 0

2 1

0 2 1

(5)

Faites les exercices suivants

#1.29

(6)

Division avec reste

148 6

2 4 12

2 8 24 4

148 6 = 24 reste 4

148 = 6 ⇥ 24 + 4 148

6 = 24 + 4 6 148

6 ⇥ 6 =

✓

24 + 4 6

◆ ⇥ 6

(7)

Remarque:

Dire que la division de par est avec un reste de

a = kb + r

est équivalent à écrire

a b k r

Remarque:

r < b

Le reste d’une division par est toujours plus petit que

b

(8)

Faites les exercices suivants

#1.30 et 1.31

(9)

Théorème

Preuve:

Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n

a = kn + r b = tn + r

a b = (kn + r) (tn + r )

= kn + r tn r

= kn tn

= (k t)n

a ⌘ b mod n

Donc

(10)

Exemple

On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que n Si on travaille modulo 5

les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4

On nomme ces nombres les résidus modulo 5

(11)

Exemple Le résidu de 49 modulo 3

1 3 1

9

6

18 1 est 1

49 ⌘ 1 mod 3 4 ⌘

7 ⌘

49 3

(12)

Faites les exercices suivants

#1.32

(13)

Théorème

Preuve:

Si _a _⌘ _b _mod _n et _c _⌘ _d _mod _n alors a ± c ⌘ b ± d mod n

a b = kn c d = tn

a + c (b + d) = a + c b d

= a b + c d

= kn + tn

= (k + t)n

a = kn + b c = tn + d

a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)

= kn ⇥ tn + knd + btn + b ⇥ d

= ktn

²

+ knd + btn + b ⇥ d

= (ktn + kd + bt)n + b ⇥ d

a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n

et

(14)

Exemple

45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4

45 + 122 mod 4

45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘

Exemple

28 ⌘ 1 mod 3 62 ⌘ 2 mod 3 28 ⇥ 62 mod 3

28 ⇥ 62 ⌘ 1 ⇥ 2 mod 3

2 ⌘

(15)

Faites les exercices suivants

#1.33

(16)

Exemple

Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6

2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6

2x ⌘ 1 mod 6 n’a pas de solution

Habituellement si a ⇥ b = a ⇥ c alors _b ₌ _c

(17)

Exemple

Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien

1 ⇥ 1 ⌘ 1 mod 3 1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 1 ⇥ 2 ⌘ 2 mod 3

2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 3 2 ⇥ 2 ⌘ 1 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3

0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3

Ici la table de multiplication fonctionne bien.

(18)

Ce qui suit est un petit prélude pour l’explication de la cryptographie RSA

Je sort légèrement du cadre du cours donc ce qui suit

n’est pas matière à examen.

(19)

Mais c’est surtout sous cette forme que le théorème est utilisé

Je vais démontrer ça

Théorème Le petit théorème de Fermat

a

^p

a ⌘ 0 mod p

Si est un nombre premier et un entier non divisible par , alors

p a p

a(a

^p ¹

1) ⌘ 0 mod p a

^p ¹

1 ⌘ 0 mod p

a

^p ¹

⌘ 1 mod p

(20)

Exemple

a

^p ¹

⌘ 1 mod p

p = 5 a = 2

a

^p ¹

= 2

^{5 1}

= 2

⁴

= 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5

Exemple _p _{= 3} _a _{= 7}

a

^p ¹

= 7

^{3 1}

= 7

²

= 49 = 48 + 1

= 3 ⇥ 16 + 1 ⌘ 1 mod 3

(21)

Pour faire la preuve, on va compter le nombre de chaîne qu’on peut créé

et qu’on dispose de couleurs ^a si la chaîne a billes ^p

.. .

n

p

. . .

n ^a

(22)

Ici

nombre de billes par chaine

p = 3

nombre de couleur

a = 3 On a

a = 3

choix pour la première bille

(23)

Pour chacun de ces 3 choix

on a 3 choix de couleurs pour la

deuxième bille On a donc

3 ⇥ 3 = 3

²

possibilités de chaîne

à deux bille

(24)

Pour chacun de ces choix

on a 3 choix de couleurs pour la

troisième bille

possibilités de chaînes

a

^p

= 3

³

On a donc

3

²

(25)

Ici

nombre de billes par chaine

p = 3

nombre de couleur

a = 3

a

^p

= 3

³

(26)

p = 3 a = 3

a

^p

= 3

³

nombre de chaîne d’une seule

couleur est a

le nombre

de couleur.

(27)

p = 3 a = 3

a

^p

a = 3

³

3 compte le nombre de chaîne de longueur ayant

au moins deux couleurs qu’on peut créé avec des billes de différentes

couleurs.

a

p

(28)

p = 3 a = 3

a

^p

a = 3

³

3 Est-ce un multiple de ? ^p

a

^p

a ⌘ 0 mod p

c’est-à-dire

(29)

p = 3 a = 3

(30)

Pourquoi est-ce que le nombre de rotation qui ramène le bracelet à la position initial doit nécessairement être ? ^p

Posons le nombre minimal de rotation qui ramène à la position initial

k

Naturellement si on fait un tour complet on revient à la position initial k  p

Or, _2k, _3k, _{4k, . . .} ramène aussi à la position initial Donc nk = p

k = p

mais puisque est premier p

(31)

CONGRUENCE MODULO

cours 6

CONGRUENCE

MODULO

Le concept de modulo en est un que vous connaissez.

1

2 3 4 6 5

7 8

9

10

11 12

21h = 9h

24 13 23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

Définition On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod n

a = b % n

Si a b est un multiple de n

Exemple 14 ⌘ 2 mod 12 14 2 = 12

23 ⌘ 15 mod 2 23 15 = 8 = 2 ⇥ 4

a ⌘ b (n)

7 0

2 1

0

2 1

Faites les exercices suivants

#1.29

Division avec reste

148 6

2 4 12

2 8 24 4

148

6 = 24 reste 4

148 = 6 ⇥ 24 + 4 148

6 = 24 + 4 6 148

6 ⇥ 6 =

✓

24 + 4 6

◆

⇥ 6

Remarque:

Dire que la division de par est avec un reste de

a = kb + r

est équivalent à écrire

a b k r

Remarque:

r < b

Le reste d’une division par est toujours plus petit que

b

b

Faites les exercices suivants

#1.30 et 1.31

Théorème

Preuve:

Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n

a = kn + r b = tn + r

a b = (kn + r) (tn + r )

= kn + r tn r

= kn tn

= (k t)n

a ⌘ b mod n

Donc

Exemple

On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que n Si on travaille modulo 5

les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4

On nomme ces nombres les résidus modulo 5

Exemple Le résidu de 49 modulo 3

1

3 1

9

6

18

1 est 1

Définition On dit que est congru à modulo ^a _b n qu’on note ^a _⌘ ^b ^mod ⁿ

Si _a _b est un multiple de ⁿ

Exemple ₁₄ _⌘ _{2 mod 12} ₁₄ _{2 = 12}

Si _a _⌘ _b _mod _n et _c _⌘ _d _mod _n alors a ± c ⌘ b ± d mod n

Habituellement si a ⇥ b = a ⇥ c alors _b ₌ _c

Exemple _p _{= 3} _a _{= 7}