cours 6
CONGRUENCE
MODULO
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
18
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
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2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
19
18
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
20
19
18
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
21
20
19
18
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
22
21
20
19
18
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12 13
23 22
21
20
19
18
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 1224 13
23 22
21
20
19
18
17
16 15 14
Le concept de modulo en est un que vous connaissez.
1
2 3 4 6 5
7 8
9
10
11 12
21h = 9h
24 13 23
22
21
20
19
18
17
16 15 14
Définition
Définition
On dit que est congru à modulo a b nDéfinition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod nDéfinition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n a ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n
Si a b est un multiple de n a ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n
Si a b est un multiple de n
Exemple
a ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n
Si a b est un multiple de n
Exemple
14 ⌘ 2 mod 12a ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n
Si a b est un multiple de n
Exemple
14 ⌘ 2 mod 12 14 2 = 12a ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n
Si a b est un multiple de n
Exemple
14 ⌘ 2 mod 12 14 2 = 1223 ⌘ 15 mod 2
a ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n
Si a b est un multiple de n
Exemple
14 ⌘ 2 mod 12 14 2 = 1223 ⌘ 15 mod 2 23 15 = 8 a ⌘ b (n)
Définition
On dit que est congru à modulo a b n qu’on note a ⌘ b mod na = b % n
Si a b est un multiple de n
Exemple
14 ⌘ 2 mod 12 14 2 = 1223 ⌘ 15 mod 2 23 15 = 8 = 2 ⇥ 4 a ⌘ b (n)
7 0
2 1
7 0
2 1
7 0
2 1
7 0
2 1
7 0
2 1
7 0
2 1
7 0
2 1
7 0
2 1
7 0
2 1
0
2 1
7 0
2 1
0
2 1
7 0
2 1
0
2 1
7 0
2 1
0
2 1
7 0
2 1
0
2 1
7 0
2 1
0
2 1
Faites les exercices suivants
#1.29
Division avec reste
148 6
Division avec reste
148 6
2
Division avec reste
148 6
12 2
Division avec reste
148 6
12 2
Division avec reste
148 6
12 2 2
Division avec reste
148 6
12 2 2 8
Division avec reste
148 6
24 12
2 8
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24 4
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24 4
148 6
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24 4
148
6 = 24 reste 4
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24 4
148
6 = 24 reste 4
148
6 = 24 + 4 6
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24 4
148
6 = 24 reste 4
148
6 = 24 + 4 6 148
6 ⇥ 6 =
✓
24 + 4 6
◆
⇥ 6
Division avec reste
148 6
24 12
2 8 24 4
148
6 = 24 reste 4
148 = 6 ⇥ 24 + 4 148
6 = 24 + 4 6 148
6 ⇥ 6 =
✓
24 + 4 6
◆
⇥ 6
Remarque:
Dire que la division de par est avec un reste de est équivalent à écrire
a b k r
Remarque:
Dire que la division de par est avec un reste de
a = kb + r
est équivalent à écrire
a b k r
Remarque:
Dire que la division de par est avec un reste de
a = kb + r
est équivalent à écrire
a b k r
Remarque:
Remarque:
Dire que la division de par est avec un reste de
a = kb + r
est équivalent à écrire
a b k r
Remarque:
Le reste d’une division par est toujours plus petit queb b
Remarque:
Dire que la division de par est avec un reste de
a = kb + r
est équivalent à écrire
a b k r
Remarque:
r < b
Le reste d’une division par est toujours plus petit que
b b
Faites les exercices suivants
#1.30 et 1.31
Théorème
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
= kn + r tn r
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
= kn + r tn r
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
= kn + r tn r
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
= kn + r tn r
= kn tn
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
= kn + r tn r
= kn tn
= (k t)n
Théorème
Preuve:
Si deux nombres ont le même reste par division par n alors ils sont congru modulo n
a = kn + r b = tn + r
a b = (kn + r) (tn + r)
= kn + r tn r
= kn tn
= (k t)n
a ⌘ b mod n Donc
On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que n
Exemple
On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que n
Exemple
On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que n Si on travaille modulo 5
Exemple
On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que n Si on travaille modulo 5
les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4
Exemple
On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que n Si on travaille modulo 5
les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4
On nomme ces nombres les résidus modulo 5
Exemple
Le résidu de 49 modulo 3Exemple
Le résidu de 49 modulo 349 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 33 1
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 33 1
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6 18
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6 18
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6
18 1
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6
18
1 est 1
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6
18
1 est 1
49 ⌘ 1 mod 3
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6
18
1 est 1
49 ⌘ 1 mod 3 4 ⌘
49 3
Exemple
Le résidu de 49 modulo 31
3 1
9
6
18
1 est 1
49 ⌘ 1 mod 3 4 ⌘
7 ⌘
49 3
Faites les exercices suivants
#1.32
Théorème
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod nThéorème
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod nThéorème
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod nalors a ± c ⌘ b ± d mod n et a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n
alors a ± c ⌘ b ± d mod n et a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn
a = kn + b
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn
a = kn + b
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a = kn + b
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a = kn + b
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d)
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d)
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d)
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
= kn ⇥ tn + knd + btn + b ⇥ d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
= kn ⇥ tn + knd + btn + b ⇥ d
= ktn2 + knd + btn + b ⇥ d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
= kn ⇥ tn + knd + btn + b ⇥ d
= ktn2 + knd + btn + b ⇥ d
= (ktn + kd + bt)n + b ⇥ d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
= kn ⇥ tn + knd + btn + b ⇥ d
= ktn2 + knd + btn + b ⇥ d
= (ktn + kd + bt)n + b ⇥ d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Théorème
Preuve:
Si a ⌘ b mod n et c ⌘ d mod n alors a ± c ⌘ b ± d mod n
a b = kn c d = tn
a + c (b + d) = a + c b d
= a b + c d
= kn + tn
= (k + t)n
a = kn + b c = tn + d
a ⇥ c = (kn + b) ⇥ (tn + d)
= kn ⇥ tn + knd + btn + b ⇥ d
= ktn2 + knd + btn + b ⇥ d
= (ktn + kd + bt)n + b ⇥ d
a ⇥ c ⌘ b ⇥ d mod n et
Exemple
45 + 122 mod 4Exemple
45 ⌘ 1 mod 4
45 + 122 mod 4
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘
Exemple
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘
Exemple
28 ⇥ 62 mod 3Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘
Exemple
28 ⌘ 1 mod 3 28 ⇥ 62 mod 3
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘
Exemple
28 ⌘ 1 mod 3 62 ⌘ 2 mod 3 28 ⇥ 62 mod 3
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘
Exemple
28 ⌘ 1 mod 3 62 ⌘ 2 mod 3 28 ⇥ 62 mod 3
28 ⇥ 62 ⌘ 1 ⇥ 2 mod 3
Exemple
45 ⌘ 1 mod 4 122 ⌘ 2 mod 4
45 + 122 mod 4
45 + 122 ⌘ 1 + 2 mod 4 3 ⌘
Exemple
28 ⌘ 1 mod 3 62 ⌘ 2 mod 3 28 ⇥ 62 mod 3
28 ⇥ 62 ⌘ 1 ⇥ 2 mod 3 2 ⌘
Faites les exercices suivants
#1.33
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
2x ⌘ 1 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
2x ⌘ 1 mod 6
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
2x ⌘ 1 mod 6 n’a pas de solution
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
2x ⌘ 1 mod 6 n’a pas de solution
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
2x ⌘ 1 mod 6 n’a pas de solution
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
2x ⌘ 1 mod 6 n’a pas de solution
Habituellement si a ⇥ b = a ⇥ c
Exemple
Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Travaillons modulo 6
2 ⇥ 2 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 3 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 4 ⌘ 2 mod 6 2 ⇥ 5 ⌘ 4 mod 6 2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 6 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 6
2x ⌘ 1 mod 6 n’a pas de solution
Habituellement si a ⇥ b = a ⇥ c alors b = c
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
1 ⇥ 1 ⌘ 1 mod 3 1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
1 ⇥ 1 ⌘ 1 mod 3 1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 1 ⇥ 2 ⌘ 2 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
1 ⇥ 1 ⌘ 1 mod 3 1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 1 ⇥ 2 ⌘ 2 mod 3
2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
1 ⇥ 1 ⌘ 1 mod 3 1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 1 ⇥ 2 ⌘ 2 mod 3
2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
1 ⇥ 1 ⌘ 1 mod 3 1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 1 ⇥ 2 ⌘ 2 mod 3
2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 3 2 ⇥ 2 ⌘ 1 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Exemple
Je ne rentrerai pas dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, tout ce passe bien
1 ⇥ 1 ⌘ 1 mod 3 1 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 1 ⇥ 2 ⌘ 2 mod 3
2 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3 2 ⇥ 1 ⌘ 2 mod 3 2 ⇥ 2 ⌘ 1 mod 3 0 ⇥ 0 ⌘ 0 mod 3
0 ⇥ 1 ⌘ 0 mod 3 0 ⇥ 2 ⌘ 0 mod 3
Ici la table de multiplication fonctionne bien.
Ce qui suit est un petit prélude pour l’explication de la cryptographie RSA
Ce qui suit est un petit prélude pour l’explication de la cryptographie RSA
Je sort légèrement du cadre du cours donc ce qui suit n’est pas matière à examen.
Théorème
Le petit théorème de FermatThéorème
Le petit théorème de FermatSi est un nombre premier et un entier non divisible par , alors
p a p
Théorème
Le petit théorème de Fermatap a ⌘ 0 mod p
Si est un nombre premier et un entier non divisible par , alors
p a p
Théorème
Le petit théorème de Fermatap a ⌘ 0 mod p
Si est un nombre premier et un entier non divisible par , alors
p a p
a(ap 1 1) ⌘ 0 mod p
Théorème
Le petit théorème de Fermatap a ⌘ 0 mod p
Si est un nombre premier et un entier non divisible par , alors
p a p
a(ap 1 1) ⌘ 0 mod p ap 1 1 ⌘ 0 mod p
Théorème
Le petit théorème de Fermatap a ⌘ 0 mod p
Si est un nombre premier et un entier non divisible par , alors
p a p
a(ap 1 1) ⌘ 0 mod p ap 1 1 ⌘ 0 mod p
ap 1 ⌘ 1 mod p
Je vais démontrer ça
Théorème
Le petit théorème de Fermatap a ⌘ 0 mod p
Si est un nombre premier et un entier non divisible par , alors
p a p
a(ap 1 1) ⌘ 0 mod p ap 1 1 ⌘ 0 mod p
ap 1 ⌘ 1 mod p
Mais c’est surtout sous cette forme que le théorème est utilisé
Je vais démontrer ça
Théorème
Le petit théorème de Fermatap a ⌘ 0 mod p
Si est un nombre premier et un entier non divisible par , alors
p a p
a(ap 1 1) ⌘ 0 mod p ap 1 1 ⌘ 0 mod p
ap 1 ⌘ 1 mod p
ap 1 ⌘ 1 mod p
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2 ap 1 = 25 1
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2 ap 1 = 25 1 = 24
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7ap 1 = 73 1
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7ap 1 = 73 1 = 72
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7ap 1 = 73 1 = 72 = 49
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7ap 1 = 73 1 = 72 = 49 = 48 + 1
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7ap 1 = 73 1 = 72 = 49 = 48 + 1
= 3 ⇥ 16 + 1
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7ap 1 = 73 1 = 72 = 49 = 48 + 1
= 3 ⇥ 16 + 1 ⌘ 1 mod 3
Exemple
ap 1 ⌘ 1 mod p
p = 5 a = 2
ap 1 = 25 1 = 24 = 16 = 15 + 1 ⌘ 1 mod 5
Exemple
p = 3 a = 7ap 1 = 73 1 = 72 = 49 = 48 + 1
= 3 ⇥ 16 + 1 ⌘ 1 mod 3
