le 17 F´evrier 2011 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
T D N
04
Applications lin´eaires
Exercice 1 Soit l’application
u: R3 −→ R3
x1 x2
x3
7→
x2+x3 x3+x1
x1+x2
1) Montrer queu est une application lin´eaire. Est-ce un automorphisme ? 2) Soient E = {
x1 x2
x3
∈ R3/x1 +x2 +x3 = 0}, F = {
x1 x2
x3
∈ R3/x1 = x2 = x3}.
D´eterminer u(E) et u(F).
Exercice 2 On consid`ere les 4 vecteurs suivants de R3 :
1 2 0
,
0 1
−2
,
3 0 1
,
1 1 1
.
On suppose que ces 4 vecteurs sont l’image des 4 vecteurs canoniques deR4, e1, e2, e3, e4, par une application lin´eaire f de R4 dansR3.
1. Calculer l’image par f du vecteur
2 3 1 2
.
2. Calculer l’image par f d’un vecteur quelconque de R4.
Exercice 3 Soit {e1, e2} la base canonique de R2. Soit f l’endomorphisme de R2 d´efini par : f(e1) =e1−e2, f(e2) =−e1+e2.
1. Calculer les coordonn´ees de l’image par f du vecteur (x, y).
2. D´eterminer une base deKer(f).
3. D´eterminer une base deIm(f).
4. Montrer que les sous-espacesKer(f) et Im(f) sont suppl´ementaires dans R2.
Exercice 4 Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). Montrer les ´equivalences suivantes : 1. Imf∩Kerf ={0} ⇐⇒Kerf =Kerf2,
2. Imf+Kerf =E⇐⇒Imf =Imf2.
1
Exercice 5 Soient 2 R-espaces vectoriels :
E={P(X); P polynˆome r´eel de degr´e inf´erieur ou ´egale `a n} (souvent not´e Rn[X]), F ={a.cos(X) +b.sin(X);a, b∈R}.
1. Justifier sans d´emonstration le fait que F est un R-espace vectoriel.
2. Montrer que l’application ”d´eriv´ee seconde” est un endomorphisme sur E ou F.
3. D´eterminer le noyau et l’image de cette application dans les deux cas. A-t-on Ker(d)⊕ Im(d) =E (resp. F) ?
Exercice 6 Soit Bune base de R2. Soitfm (m∈R) l’endomorphisme d´efinit dans la baseB par la matrice
Mfm =
( m m−1 m+ 1 m−2
) .
Pour quelles valeurs de m, fm est-il bijectif ? Dans les cas o`u fm est bijectif, d´eterminer le matrice de fm−1 dansB.
Exercice 7 On note Rn[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou
´
egal `a n.
L’application ”d´eriv´ee seconde” induit un morphisme de R3[X]dans R1[X].
On sait qu’apr`es avoir choisi une base on peut identifier Rn[X] etRn+1.
Le morphisme ”d´eriv´ee seconde” induit ainsi un morphisme f deR4 dans R2 (on choisit les bases canoniques).
1. D´eterminer les images des 4 vecteurs de la base canonique de R4 par f. 2. En d´eduire la matrice def dans les bases canoniques.
3. D´eterminer les basesA et B deR4 et R2 qui correspondent respectivement aux bases {1 + X, X, X+X2, X3} et{1 +X, X} de R3[X]et R1[X].
4. Trouver la matrice def dans les basesA et B.
Exercice 8 Soit l’application de R3[X]qui `a P(X)∈R3[X]associe le reste de la division eucli- dienne de X.P(X) par X4−X2−1.
Montrer quef est lin´eaire et ´ecrire la matrice de f dans la base {1, X, X2, X3}.
Exercice 9 Soit C ={e1, e2, e3} base canonique de R3. Soit f ∈ End(R3) d´efinie par f(e1) =
−e1+e2+e3, f(e2) =−2e1+ 2e3,f(e3) =−4e1+e2+ 4e3. 1. Quelle est la matrice A de f dans la base C?
2. Donner une base de Imf.
3. Trouver une baseB1 de Ker(f −3idR3) et B2 de Kerf.
4. Montrer que B1∪B2 est libre et compl´eter en une base B de R3. 5. Quelle est la matrice def dans B?
Exercice 10 SoientE unR-espace vectoriel de dimension4etf ∈End(E)tel quef◦f =−idE. 1. Soitx∈E non nul. Montrer que {x, f(x)} est libre.
2. Soity∈E tel que {x, f(x), y}libre. Montrer que B ={x, f(x), y, f(y)} est une base de E.
3. Quelle est la matrice def dans B?
4. D´eterminer f ∈End(R4) telle que f ◦f =−IdR4.
2
