Chapitre 2 : les fonctions usuelles (partie 1) exercices

Chapitre 2 : les fonctions usuelles (partie 1) exercices

I. Limites :

Faire l’étude des fonctions définies ci-dessous aux bornes de leur ensemble de définition

1) 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 − 𝑥²

𝑥 − 1 2𝑥 + 1 ; 2) 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥

𝑥 + 1 ; 3) 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 4𝑥 + 3 𝑥 − 1

4) 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 1 − 𝑥² − 1 ; 5) 𝑓 𝑥 = ^−3𝑥+4

𝑥²−4 ; 6) 𝑓 𝑥 = ^{𝑥3−4𝑥²+5}

𝑥

7) 𝑓 𝑥 = 2𝑥² + 1 − 𝑥² + 1 ; 8) 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 𝑥 − 𝑥² − 𝑥 9) 𝑓 𝑥 = sin 𝜋𝑥 + 1

2𝑥 ; 10) 𝑓 𝑥 = 𝑥² − 2𝑥 cos⁡(𝑥)

11) Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en +∞ de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 𝑥

12) Justifier que la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = ^{𝑥3−4𝑥²+5}

𝑥 admet au voisinage de +∞

une courbe asymptote

13) Justifier que les courbes représentatives des fonctions définies par 𝑓 𝑥 = 𝑒^−𝑥sin⁡(𝑥) et 𝑔 𝑥 = 𝑒^−𝑥 sont asymptotes au voisinage de +∞

II. Continuité

Etudier la continuité sur ℝ des fonctions définies ci-dessous

1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥

𝑥² − 1 ; 2) 𝑓 𝑥 = ln⁡(1 + 𝑥)

𝑥 + 2 ; 3) 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0 ln 1 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

4) 𝑓 𝑥 = 𝑥² − 4

𝑥 − 2 ; 5) 𝑓 𝑥 =

𝑥² − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 0 2𝑥 + 2 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 0

𝑥² − 1

𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1 III. Dérivabilité :

1. Etudier la dérivabilité sur ℝ des fonctions définies ci-dessous ; calculer 𝑓^′(𝑥) ; f est-elle de classe 𝐶¹ ?

𝑓 𝑥 = ^𝑥²

(1−𝑥³)² ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 + 𝑥² ; 𝑓 𝑥 = sin 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥 + 1) ; 𝑓 𝑥 = 𝑒⁻

1

𝑥 ² 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 = 𝑥 sin

1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

; 𝑓 𝑥 = 𝑥² sin 𝑥¹ 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

2. Calculer la dérivée n-ieme des fonctions définies ci-dessous 𝑓 𝑥 = 1

𝑥 + 1 ; 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 ;

3. Pour quelles valeurs de 𝑝 et de 𝑞, la fonction définie ci-dessous est-elle continue en 0 ? Dérivable en 0 ?

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 ² 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

−2𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑝 𝑠𝑖 𝑥 > 0

4. Pour quelles valeurs de a et de 𝛼, la fonction définie ci-dessous est-elle de classe 𝐶¹sur ]0 ; +∞[ ?

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 𝛼 𝑥² + 12 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝛼

5. Prouver que si 𝑓 est dérivable en 𝑎, alors 𝑓 est continue en 𝑎

6. Etude de fonctions irrationnelles (pour la 3° on fera seulement l’étude aux bornes)

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥³

1 − 𝑥 ; 𝑏) 𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 3𝑥² ; 𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥

2− 𝑥² − 1 𝑥

IV. Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances 1. Simplifier les écritures :

𝑒^{𝑙𝑛 3}+ 𝑒^{−ln ⁡(4)}+ 𝑒^{2ln ⁡(5)} ; exp ¹

2𝑙𝑛 16 𝑒^{𝑙𝑛 3} ; ^{𝑒2+𝑙𝑛 8}

𝑒^{3+𝑙𝑛 4} ; ln ^𝑒1−𝑥

𝑒 + ln⁡( ¹

𝑒^−𝑥) 2. Résoudre dans ℝ les équations :

𝑒^−𝑥 =1

3 ; 𝑒^2𝑥−1 = 𝑒^3−2𝑥 ; ln 2𝑥 + 3 = 1 ; ln 1

𝑥 + 2 = −1

ln 𝑥 − 2 = 2 ln 𝑥 − 1 − ln 𝑥 + 1 ; ln 𝑥 + 3 𝑥 + 1 = 2 ln 𝑥 − 1 ; ln 𝑙𝑛𝑥 = 1

𝑒^𝑥 + 6𝑒^−𝑥 = 5 ; 𝑒^4𝑥 − 13𝑒^2𝑥 + 36 = 0 ; 4𝑒^2𝑥 + 15𝑒^−𝑥 = 19 3. Résoudre dans ℝ les inéquations :

1

2ln 3𝑥 − 1 < ln 𝑥 + 1 ; ln⁡(𝑥²− 4) ≥ ln⁡( 𝑥 − 1 2𝑥 − 6 ) 𝑒^2𝑥−1≥ 1 ; 𝑒^𝑥²𝑒^𝑥 ≤ 𝑒⁶ ; 𝑒^{− 𝑥1} ≤ 𝑒^𝑥−2

4. Résoudre dans ℝ² les systèmes :

𝑥 + 𝑦 = 8

ln 𝑥 + ln 𝑦 = ln⁡(15) ; 𝑥𝑦 = 5

𝑒^2𝑥𝑒^𝑦 = 𝑒² ; 𝑥² + 𝑦² = 13 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛6

ln 𝑥𝑦 = 7 ln ^𝑥

𝑦 = 1 d’abord avec 𝑥 > 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0 puis avec 𝑥 < 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0 5. Résoudre dans ℝ les équations :

𝑙𝑜𝑔₃ 2𝑥 + 10 = 6 ; 𝑙𝑜𝑔_𝑥 27 = 3 ; 𝑙𝑜𝑔₂(𝑥) ²− 7 𝑙𝑜𝑔₂ 𝑥 + 10 = 0

2^𝑥 = 3 ; 2^𝑥 = 3^2𝑥 ; 2^𝑥3 = 3^𝑥² ; 𝑥 ^𝑥 = 𝑥^𝑥

4^𝑥 − 3. 2^𝑥 + 2 = 0 (on remarquera que 4^𝑥 = 2^𝑥 ² )

Deux exercices plus délicats : Résoudre : 𝑥^1/𝑥² =¹

2 puis 𝑥^𝑥 = ²

2

Pour ces deux exercices, on sera conduit à une étude sommaire d’une fonction bien choisie

6. Résoudre dans ℝ² les systèmes : 𝑥 − 𝑦 = 2

10^𝑥

10^𝑦 = 1 ; 10^𝑥 + 2. 10^𝑦 = 4

2. 10^𝑥− 10^𝑦 = 3 ; log 𝑥 + log 𝑦 = 0 10^𝑥10^𝑥+𝑦 = 10³

𝑥𝑦 = 𝑒

2𝑙𝑜𝑔_𝑥 𝑦 + 2𝑙𝑜𝑔_𝑦 𝑥 = −5 (plus délicat) 7. Vérifier les égalités pour tout 𝑥 réel:

ln 𝑒^𝑥+ 1 − ln 1 + 𝑒^−𝑥 = 𝑥 ; 𝑒^𝑥− 𝑒^−𝑥

𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥 +𝑒^−2𝑥− 1 𝑒^−2𝑥+ 1 = 0

8. Justifier que 𝑒^𝑥 + 𝑒^{−𝑥 2}− (𝑒^𝑥− 𝑒^−𝑥)² est constant pour tout 𝑥 réel (2 méthodes) 9. Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité des fonctions définies ci-

dessous ; calculez 𝑓^′(𝑥)

𝑓 𝑥 = 𝑥²𝑒^2𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 2𝑒^−𝑥 − 𝑥 𝑒² ; 𝑓 𝑥 = 𝑒^2𝑥+3𝑥 ; 𝑥² + 2𝑥 − 1 𝑒^𝑥

𝑓 𝑥 = ln 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ; 𝑓 𝑥 = exp 𝑥

𝑥 + 2 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 ^1−𝑥² ; 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ^1+𝑥²

10. Pour les fonctions définies ci-dessous, calculer les limites aux bornes de leur ensemble de définition :

𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥

ln⁡(𝑥) ; 𝑓 𝑥 = 𝑥²𝑒^−𝑥 ; 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥

ln⁡(𝑥² + 1)

𝑓 𝑥 = ln⁡(2^𝑥)

𝑥 + 1 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥³ ; 𝑓 𝑥 = 𝑥^1𝑥

11. Montrer que : ∀ 𝑥 ∈ ]0; 1[ , 𝑜𝑛𝑎 ∶ 𝑥^𝑥 1 − 𝑥 ^1−𝑥 ≥¹

2 (on étudiera 𝑓 ) 12. Prouver que : ∀𝑥 > −1 , 𝑜𝑛 𝑎 ∶ ^𝑥

𝑥+1≤ ln⁡(1 + 𝑥) ≤ 𝑥 ; déduire la limite en 0 de ^{ln ⁡(1+𝑥)}

𝑥

13. Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ , on a 𝑒^𝑥 ≥ 1 + 𝑥

14. Soit la fonction 𝑓_𝑚 définie par : 𝑓_𝑚 𝑥 = 𝑒^𝑥 − 𝑚𝑥 où 𝑚 est un paramètre réel On note Γ_𝑚 sa courbe représentative

Etudier les variations et les limites de la fonction 𝑓_𝑚 ; tracer Γ₂ 15. Etude d’une fonction logarithme :

Soit la fonction définie par 𝑓 𝑥 = ^{ln ⁡(1+𝑥)}

𝑥 ;

a) Préciser son ensemble de définition et justifier que 𝑓 est prolongeable par continuité en 0

b) Etudier 𝑓 aux bornes de son ensemble de définition c) Etudier les variations de la fonction définie par 𝑔 𝑥 = ^𝑥

1+𝑥− ln⁡(1 + 𝑥) ; déduire les variations de 𝑓

d) Etudier les variations des fonctions définies par 𝑕 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − (𝑥 −^𝑥2

2 +^𝑥3

3) puis 𝑘 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − (𝑥 −^𝑥2

2) e) Déduire un encadrement de ^{ln 1+𝑥 −𝑥}

𝑥²

f) Déduire que 𝑓 est dérivable en 0 et calculer l’équation de la tangente en ce point

g) Tracer la courbe de la fonction 𝑓

16. Etude de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛² 𝑥 + ln⁡(𝑥) 17. Etude de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 =^𝑥−1

𝑥 ln⁡(𝑥)

18. Etude de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 𝑒^2𝑥 − 𝑒^𝑥 + 1 (on déterminera également l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 puis on déterminera le

nombre de solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 2 puis on déterminera les solutions de cette équation)

Discuter selon les valeurs du paramètre 𝑘 , les solutions de l’équation : 𝑓(𝑥) = 𝑘 19. Etude d’une fonction exponentielle (d’après BAC S)

Soit la fonction définie par 𝑓 𝑥 = 𝑥² 𝑒^𝑥−1 − ^𝑥²

2

a) Tracer la courbe de la fonction f avec la calculatrice ; que peut-on conjecturer ? b) Etudier les variations et les limites de la fonction définie par

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑒^𝑥+1− 1 et dresser le tableau de variations c) Que peut-on dire de l’équation 𝑔 𝑥 = 0 ?

d) Etudier les variations et les limites de la fonction 𝑓

e) Etudier le signe de 𝑓(𝑥) ;comparer avec les conjectures du début 20. Montrer que la fonction définie par 𝑓 𝑥 = ^1+2𝑥

2 1

𝑥 est prolongeable par continuité en 0

(cet exercice est plus difficile)

21. Etude de la fonction définie par :𝑓 𝑥 = 1 −²

𝑥 𝑥

V. Bijection et réciproque

1. Déterminer deux intervalles 𝐼 et 𝐽 tels que les fonctions définies ci- dessous soient des bijections de 𝐼 vers 𝐽

Expliciter alors leur bijection réciproque 𝑓⁻¹

Déterminer un intervalle sur lequel 𝑓⁻¹ est dérivable

Calculer alors (𝑓⁻¹)′ , d’abord par un calcul direct puis en utilisant la formule du cours

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 5 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥² − 1 ; 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 2𝑥 − 1 2. Montrer que la restriction à [−1 ; +∞ [ de la fonction définie par

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒^𝑥 est une bijection de [−1 ; +∞ [ vers un intervalle à déterminer ; représenter la courbe représentative de 𝑓⁻¹

3. Montrer que la restriction à ]ln⁡(2) ; +∞ [ de la fonction définie par 𝑓 𝑥 =^{𝑒2𝑥−5}

𝑒^𝑥−2 est une bijection de ] ln⁡(2) ; +∞ [ vers un intervalle à déterminer

4. Soit la fonction définie par 𝑓 ∶ 0;^𝜋

2 → ℝ 𝑥 ⟼ ¹

cos ⁡(𝑥)

; montrer que f est une bijection de 0;^𝜋

2 vers un intervalle à déterminer ; montrer que sa bijection réciproque est continue ; étudier la dérivabilité de 𝑓⁻¹ 5. Soit la fonction définie par 𝑓 𝑥 = ^𝑥

2+ 𝑒^𝑥+1 ; prouver que 𝑓 admet une réciproque dérivable

6. Prouver que les deux équations suivantes admettent sur ℝ une solution unique : 𝑥³+ 2𝑥 − 1 = 0 ; cos 𝑥 = 𝑥

Exercices de fin de chapitre

1) Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en −∞ de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 𝑥 ; préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote

2) Etudier la continuité sur ℝ de la fonction définie ci-dessous

𝑓 𝑥 =

sin 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 < 0 tan 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 0 < 𝑥 < 𝜋

cos 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ≥ 𝜋

3) Etudier la dérivabilité sur ℝ de la fonction définie ci-dessous ; calculer 𝑓^′(𝑥) ; 𝑓 est-elle de classe 𝐶¹ sur ℝ?

𝑓 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 + 5

4) Prouver que l’équation suivante admet sur ℝ une solution unique 𝑒^−𝑥 = 𝑥

5) Soit la fonction définie sur ]0; +∞[ par 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 𝑥 − ^{1+ln ⁡(𝑥)}

𝑥 et (C) sa courbe représentative

a) Soit la fonction définie sur ]0; +∞[ par 𝑔 𝑥 = 2𝑥³ + 𝑥² + ln⁡(𝑥) Justifier que 𝑕 est strictement croissante sur ]0; +∞[

Etudier les limites de 𝑕 en +∞ et en 0

Justifier que l’équation 𝑕 𝑥 = 0 admet une solution unique 𝛼 dont on donnera un encadrement d’amplitude 0,01

Déduire le signe de 𝑕(𝑥) sur ]0; +∞[

b) Etudier les limites de 𝑓 en +∞ et en 0 ; en déduire une asymptote à (C) c) Etudier les variations de 𝑓 et dresser le tableau des variations

d) Donner une représentation graphique de 𝑓