+ ∞ LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM

I. Limite d'une fonction composée

Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée Vidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k

Soit la fonction 𝑓 définie sur "¹₂ ; +∞) par : 𝑓(𝑥) = .2 −¹_𝑥 Calculer la limite de la fonction f en .

On a : lim

3→56

1

𝑥 = 0, donc lim

3→562 −¹_𝑥 =2

Donc, comme limite de fonction composée : lim

3→56.2 −¹_𝑥 = √2 On peut en effet poser 𝑋 = 2 −¹_𝑥 et calculer lim

:→;√𝑋= √2.

II. Limites et comparaisons

1) Théorèmes de comparaisons

Théorème : Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ]𝑎 ; +∞[, 𝑎 réel, telles que pour tout 𝑥 > 𝑎, on a 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥).

- Si lim

3→56𝑓(𝑥) = +∞ alors lim

3→56𝑔(𝑥) = +∞ (figure 1) - Si lim

3→56𝑔(𝑥) = −∞ alors lim

3→56𝑓(𝑥) = −∞ (figure 2) - Si lim

3→B6𝑓(𝑥) = +∞ alors lim

3→B6𝑔(𝑥) = +∞ (figure 3) - Si lim

3→B6𝑔(𝑥) = −∞ alors lim

3→B6𝑓(𝑥) = −∞ (figure 4)

+∞

Par abus de langage, on pourrait dire que la fonction f pousse la fonction g vers +∞ pour des valeurs de x suffisamment grandes.

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Figure 1 Figure 2

Figure 3 Figure 4

Démonstration dans le cas de la figure 1 :

3→56lim 𝑓(𝑥) = +∞ donc tout intervalle ]𝑚 ; +∞[, m réel, contient toutes les valeurs de 𝑓(𝑥) dès que 𝑥 est suffisamment grand, soit : 𝑓(𝑥) > 𝑚.

Or, dès que 𝑥 est suffisamment grand, on a 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥).

Donc dès que x est suffisamment grand, on a : 𝑔(𝑥) > 𝑚.

Et donc lim

3→56𝑔(𝑥) = +∞.

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes : Soit 𝑓, 𝑔 et ℎ trois fonctions définies sur un intervalle ]𝑎 ; +∞[, 𝑎 réel, telles que pour tout 𝑥 > 𝑎, on a 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥).

Si lim

3→56𝑓(𝑥) = 𝐿 et lim

3→56ℎ(𝑥) = 𝐿 alors lim

3→56𝑔(𝑥) = 𝐿.

Remarque : On obtient un théorème analogue en −∞.

Par abus de langage, on pourrait dire que les fonctions 𝑓 et ℎ (les gendarmes) se resserrent autour de la fonction 𝑔 pour des valeurs de 𝑥 suffisamment grandes pour la faire tendre vers la même limite.

Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrement

Vidéo https://youtu.be/OAtkpYMdu7Y

Vidéo https://youtu.be/Eo1jvPphja0

Calculer : 1) lim

3→56𝑥 + sin 𝑥 2) lim

3→56

𝑥 cos 𝑥 𝑥²+1 1) • lim

3→56sin 𝑥 n'existe pas.

Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.

Levons l'indétermination :

• Pour tout 𝑥, −1 ≤ sin 𝑥 donc : 𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + sin 𝑥.

• Or lim

3→56𝑥 − 1 = +∞ donc d'après le théorème de comparaison :

3→56lim 𝑥 + sin 𝑥 = +∞

2) • lim

3→56cos 𝑥 n'existe pas.

Donc sous la forme donnée, la limite cherchée est indéterminée.

Levons l'indétermination :

• Pour tout 𝑥, −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 donc : −𝑥 ≤ 𝑥 cos 𝑥 ≤ 𝑥, car 𝑥 > 0 Et donc :

− 𝑥

𝑥^;+ 1 ≤𝑥 cos 𝑥

𝑥^;+ 1 ≤ 𝑥 𝑥^;+ 1

− 𝑥

𝑥^; ≤ − 𝑥

𝑥^;+ 1 ≤𝑥 cos 𝑥

𝑥^;+ 1 ≤ 𝑥

𝑥^;+ 1≤ 𝑥 𝑥^; Soit : − ^J

3 ≤ ^{3 KLM 3} 3^N5J ≤ ^J

3

• Or : lim

3→56− ¹_𝑥 = lim

3→56

1 𝑥 = 0

D'après le théorème des gendarmes, on a : lim

3→56

𝑥 cos 𝑥 𝑥²+1 = 0.

III. Fonction exponentielle

3→56lim 𝑒³ = +∞ et lim

3→B6𝑒³ = 0

Démonstration au programme : Vidéo https://youtu.be/DDqgEz1Id2s

- La suite (𝑒^P) est une suite géométrique de raison 𝑒 > 1.

Donc, on a : lim

P→56𝑒^P = +∞.

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Si on prend un réel 𝑎 quelconque (aussi grand que l’on veut), il exsite un rang 𝑛_J à partir duquel tous les termes de la suite dépassent 𝑎, soit : 𝑒^PR > 𝑎.

La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a également, pour tout 𝑥 > 𝑛_J : 𝑒³ > 𝑒^PR.

Donc, pour tout 𝑥 > 𝑛_J, on a : 𝑒³ > 𝑒^PR > 𝑎.

Ainsi, tout intervalle ]𝑎 ; +∞[ contient toutes les valeurs de 𝑒³, dès que 𝑥 est suffisamment grand.

Soit : lim

3→56𝑒³ = +∞.

- lim

3→B6𝑒³ = lim

3→B6 J

S^TU = lim

:→56 J

S^V, en posant 𝑋 = −𝑥 Or, lim

:→56𝑒^: = +∞, donc : lim

:→56 J

S^V = 0, comme limite d’un quotient.

Soit : lim

3→B6𝑒³ = 0.

Méthode : Déterminer la limite d'une fonction contenant des exponentiels Vidéohttps://youtu.be/f5i_u8XVMfc

Calculer les limites suivantes : a) lim

3→56𝑥 + 𝑒^BW3 b) lim

3→B6𝑒^JB1𝑥

a) lim

3→56−3𝑥 =−∞

- Donc, comme limite de fonction composée : lim

3→56𝑒^BW3 = 0 En effet, lim

:→B6𝑒^: = 0, en posant 𝑋 = −3𝑥 - Or, lim

3→56𝑥 = +∞

D’où : lim

3→56𝑥 + 𝑒^BW3 = +∞ comme limite d’une somme.

b) lim

3→B6

1𝑥 = 0, donc : lim

3→B61 −¹_𝑥 =1

Donc, comme limite de fonction composée : lim

3→B6𝑒^JBRU= 𝑒^J = 𝑒.

2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances Propriétés (croissances comparées) :

a) lim

3→56

𝑒^𝑥

𝑥 = +∞ et pour tout entier n, lim

3→56

𝑒^𝑥

𝑥^𝑛= +∞

b) lim

3→B6𝑥 𝑒³ = 0 et pour tout entier n, lim

3→B6𝑥^P𝑒³ = 0

Démonstration au programme du a : Vidéo https://youtu.be/_re6fVWD4b0

- On pose 𝑓(𝑥) = 𝑒³ − ^3N

;. On a : 𝑓^Y(𝑥) = 𝑒³− 𝑥

On calcule la dérivée de la dérivée 𝑓^Y :

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr (𝑓^Y(𝑥))′ = 𝑒³ − 1.

Et on note 𝑓^YY(𝑥) = (𝑓^Y(𝑥))′ = 𝑒³− 1 (Voir chapitre « Convexité ») Pour tout 𝑥 strictement positif, 𝑓^YY(𝑥) = 𝑒³− 1 > 0.

On dresse alors le tableau de variations :

x 0 +∞

𝑓^YY(𝑥) +

𝑓^Y(𝑥) 1

Signe de 𝑓^Y(𝑥) +

𝑓(𝑥) 1

On en déduit que pour tout x strictement positif, 𝑓(𝑥) > 0 et donc 𝑒³ > ^3N

;. Soit encore : ^S

U

3 > ³

;. Comme lim

3→56

𝑥2= +∞, on en déduit par comparaison de limites que lim

3→56

𝑒^𝑥

𝑥 = +∞.

- Dans le cas général, on a : 𝑒³

𝑥^P =\𝑒^]U^^P

𝑥^P = _𝑒^U] 𝑥`

P

= _1 𝑛× 𝑒^U]

3 P

`

P

Or : lim

3→56 S^U]

U ]

= +∞ car on a vu que lim

:→56

𝑒^𝑋

𝑋 = +∞.

Donc : lim

3→56 J P×^S

]U U ]

= +∞, car 𝑛 est positif.

Et donc lim

3→56b^J_P× ^S

]U U ]

c

P

= +∞, comme produit de n limites infinies.

Soit : lim

3→56

𝑒^𝑥

𝑥^𝑛 = +∞

Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide.

Exemple : Comparaison de la fonction exponentielle et de la fonction 𝑥 ⟼ 𝑥^e dans différentes fenêtres graphiques.

On constate que pour 𝑥 suffisamment grand, la fonction exponentielle

dépasse la fonction 𝑥 ⟼ 𝑥^e (voir graphique suivant).

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer une limite par croissance comparée

Vidéohttps://youtu.be/GoLYLTZFaz0

Calculer la limite suivante : lim

3→56

𝑒^𝑥+𝑥 𝑒^𝑥−𝑥²

Le dénominateur, par exemple, comprend une forme indéterminée de type "∞ − ∞".

Levons l'indétermination :

𝑒³ + 𝑥 𝑒³− 𝑥^; = 𝑒³

𝑒³ ×1 +_S³_U

1 −³_S^N_U=1 +_S³_U 1 −³_SU^N Or, par croissance comparée : lim

3→56

𝑒^𝑥

𝑥 = lim

3→56

𝑒^𝑥

𝑥² = +∞.

Donc : lim

3→56

𝑒𝑥^𝑥= lim

3→56

𝑥²

𝑒^𝑥 = 0, comme inverse de limites.

Donc, lim

3→56

1+_𝑒𝑥^𝑥

1−^𝑥2_𝑒𝑥 =^J_J= 1 et donc lim

3→56

𝑒^𝑥+𝑥 𝑒^𝑥−𝑥² = 1.

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