Université de Nice Sophia Antipolis L1 Sciences économiques - Gestion Mathématiques 2 -Unité U5- Année 2009/2010
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Enseignant: J. YAMEOGO
Chargés de TD: F. BARKATS, P. BANSART, M. SARRAGE
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Feuille TD N ř 5 - semaine du 29 mars 2010
Exercice 1. (vérifier qu’une fonction est bien définie et calculer une intégrale) On considère dans R2le rectangleR={(x, y)∈R2/16x63,06y61}et la fonction f:RRdéfinie par f(x, y) =√x−y.
a) Montrer que f est bien définie et continue sur R.
b) Calculer l’intégrale doubleI= Z Z
R
f(x, y)dxdy.
Exercice 2. (intégrer un monôme sur un rectangle) Soient m,n deux entiers naturels,a, b, deux réels strictement positifs. Exprimer l’intégrale suivante en fonction deZ m, n, aet b:
0 a Z
0 b
xmyndxdy (on suppose06x6aet06y6b).
Exercice 3. (intégrer f1(x)×f2(y) ou (f1(x) +f2(y)) sur un rectangle) Soient a, b, c, d∈ R, tels que a < bet c < d. On considère f1: [a, b] Ret f2: [c, d]R deux fonctions conti- nues, admettant pour primitives respectives F1et F2.
Sur le rectangleR={(x, y)∈R2/a6x6b, c6y6d}, on considère les fonctions f:RRdéfinie par f(x, y) =f1(x)×f2(y)
et
g:RRdéfinie par g(x, y) =f1(x) +f2(y).
Calculer les intégrales suivantes en fonction deF1, F2, a, b, c etd:
I1= Z Z
R
f(x, y)dxdy et I2= Z Z
R
g(x, y)dxdy .
Exercice 4. (pour vérifier que l’on a compris l’exercice précédent) a) Calculer
Z
0
π 2 sin(2x
3 )dx et Z
1 3
x2dx.
b) SoitR={(x, y)∈R2/ 06x6π
2,16y63}, calculer Z Z
R
y2sin(2x 3 )dxdy.
Exercice 5. (dessiner un domaine et calculer une intégrale double)
SoitD le domaine de R2compris entre les droites d’équationsx= 1, x= 4et les deux paraboles d’équations respectives y= (x−2)2−4, y=−(x−3)2+ 4. On considère sur D la fonction f définie par f(x, y) =x+ 2y. Dans un repère orthonormé du plan, dessiner le domaine D et cal- culer l’intégrale I=
Z Z
D
f(x, y)dxdy
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