2.1 Equation de Navier Stokes 2.2 Nombres sans dimension

P.-Y. Lagr´ee, syst`emes ouverts/ Echangeurs

R´ egimes permanents, ´ Echangeurs

R´esum´e

Nous pr´esentons la base de la th´eorie des ´echangeurs

1 Le coefficient de convection

Le probl`eme est d’estimer le coefficient d’´echangeh.

2 Convection forc´ ee interne

2.1 Equation de Navier Stokes 2.2 Nombres sans dimension

Reynold, P´eclet, Nusselt.

2.3 Mouvement du fluide

R´esolution du probl`eme de Poiseuille.

frottement

τ = 16 Re

ρu²_m 2

2.4 Equation de la chaleur Temp´ erature impos´ ee 2.5 Equation de la chaleur Flux impos´ e

solution analytique enx+ profil....

2.6 Nusselt

N u= 3.7 pour x

P eR >0.1 Convection Forc´ee interne

pour un tube de temp´erature uniforme de diam`etre D en r´egime laminaire de vitesseU, nous allons voir dans la suite du cours o`u les notations seront d´efinies : en r´egime laminaire :

h=N u(k/L) avecN u= 3.66 etP r=ν/aetRL=U D/ν. en r´egime turbulent formule de Colburn (ou Dittus Boelter) :

h = N u(k/L) avec N u = 0.023P r^1/3R^4/5_L et P r = ν/a et RL = U D/ν (U vitesse moyenne).

Faire le tuyau `a temp´erature ext´erieure fixe : ´echauffement Faire le tuyau `a flux constant

Faire le tuyau `a flux constant entour´e d’un tube

P.-Y. Lagr´ee, syst`emes ouverts/ Echangeurs

3 Exercice

-2.2-

P.-Y. Lagr´ee, syst`emes ouverts/ Echangeurs

4 Echangeurs

fluide froid

fluide chaud

Fig.1 – temp´erature

2.11. ´ Echangeurs

Nous pr´esentons ici, pour m´emoire, l’utilisation des coefficients d’´echange pour le calcul simplifi´e des ´echangeurs.

2.11.1 Dispositif

Un ´echangeur (heat Exchanger) est un dispositif qui permet ”d’´echanger de la chaleur” entre deux fluides que l’on ne veut pas m´elanger et qui sont `a temp´eratures diff´erentes. On citera par exemple :

- la ventilation des bˆatiments/ air conditionn´e...

- les radiateurs d’appartements et de moteurs de v´ehicules...

- l’alambic des bouilleurs de crus

- les ´echangeurs de chaleur (centrale nucl´eaire/ thermique) ...

2.11.2 Analyse

L’analyse est pr´esent´ee ici pour m´emoire et dans sa forme classique (on consultera la litt´erature pour plus de d´etails). La relation ”fondamentale” de l’´echangeur est fond´ee sur la conservation de l’enthalpieH d’un fluide en mou- vement ´ecrit de mani`ere simplifi´ee par unit´e de surface :

dH

dt =h∆T, de mani`ere sch´ematique, soit un fluide chaud (not´e c) `a la temp´erature T_c s’´ecoulant sur (autour...) une fronti`ere solide qui le s´epare d’un autre fluide not´e f (plus froid).

Tc

Tf dS

dS

solide fluide chaud

fluide froid

Syst`emes ouverts/ Echangeurs

soitG_c le d´ebit massique pour le fluide c, (etG_f...), on a pour f puis pour c, dans le cas o`u T<sub>c</sub>>T<sub>f</sub> et o`u G_f et G_c>0 (´echangeur ”cocourant”), et comme le flux est conserv´e `a travers la paroi (on ´ecrit bien la surface d’´echangedS) :

−GccpcdTc=h(Tc−Tf)dS et GfcpfdTf =h(Tc−Tf)dS (attention au signe Tc diminue et Tf augmente), puis par ´elimination :

d(T_c−T_f)/((T_c−T_f) =−kdS(1/Gcc_pc+ 1/G_fc_pf).

qui s’int`egre... On en d´eduit le flux total ´echang´e en fonction des temp´eratures d’entr´ee et sortie :

Φ =hS(T_cs−T_{f s})−(T_ce−T_{f e}) Log(^(T_(T^{cs−Tf s)}

ce−Tf e))

On repr´esente des petits dessins comme ceux de la figure 2 pour tracer la

courants //

S Tce

Tcs

contre courant

S Tce

Tcs

Tfe

Tfs

Tfs

Tfe

Fig.2 – variation de la temp´erature dans des ´echangeurs

variation deT en fonction de la surface d’´echange :

La m´ethode est appel´ee ”diff´erence de temp´erature logarithmique moyenne”

(DTLM ouLMTD), car on ´ecrit Φ =hS∆TLM. En r´ealit´e on ´ecrit : Φ =hF S∆TLM.

Des abaques fournissent ∆T_LMetF en fonction de (T_cs-T_{f s}) et (T_ce-T_{f e}) pour diff´erentes configurations ;F est un facteur correctif qui d´epend de la complexit´e de la configuration... Cela permet de dimensionner les ´echangeurs.

En examinant la formule on voit que les ´echangeurs `a contre courant sont plus efficaces que ceux `a courant parall`eles.

Nous venons d’examiner la m´ethode dite LMTD (Log mean temperature dif- ference), on g´en´eralise sans peine `a la m´ethode NUT (ou Number of Tansfer Units).

-2.4-

Syst`emes ouverts/ Echangeurs

Fig.3 – Facteur de correction pour un ´echangeur double, figure issue de C¸ engel.

2.13. Bibliographie

Y. C¸ engel (1998) ”Heat transfert, a practical approach”, Mc Graw Hill.

A. Leontiev (1985) ”Th´eorie des ´echanges de chaleur et de masse” ed. MIR.

J.F. Sacadura (1993) ”Initiation aux tranferts thermiques”, Lavoisier Tec &

Doc.

P.-Y. Lagr´ee, cours M´ecavenir EPU, syst`emes ouverts/ Echangeurs

Consulter aussi http ://www.lmm.jussieu.fr/∼lagree/COURS/MECAVENIRle cours complet de thermique de P.-Y. Lagr´ee.