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Correction devoir maison n°4
Exercice 1
1) Pour placer , on peut , au choix, utiliser ou introduire un barycentre partiel. Par exemple, on considère le barycentre de ; 3 et ; 1 qui existe car 3 1 2 0. On place alors avec . Puis par associativité du
barycentre, est le barycentre de ; 2 et ; 2 donc le milieu de .
2) Par définition de : 3 2 0.
On a donc : 3 2 0.
En développant et en regroupant : 4 2 0.
Comme 4 1 2 0, on peut dire que est le barycentre de ; 4, ; 1 et ; 2. 3) Par définition de : 3 2 0.
On a donc : 3 2 0. En développant et en réduisant : 3 4 2 0.
Comme 3 4 2 0, on peut dire que est le barycentre de ; 3, ; 2 et ; 4. Exercice 2
1) 1ère méthode :
a. 3 or si est le barycentre de ; et ; avec 1 alors .
Par identification, 3 et donc 1 3 2.
Finalement, est le barycentre de ; 2 et ; 3.
b. " # donc " # 0. Comme 1 #$# 0, on peut dire que est le barycentre de % ; #& et de "; 1.
La somme des coefficients est $
#. Pour qu’elle soit égale à 3, on peut multiplier les coefficients par 5 et donc est le barycentre de ; 2 et "; 5.
c. ( est le milieu de donc 2( ou encore 2( 0. Comme 2 1 0, on peut dire que est le barycentre de (; 2 et ; 1.
La somme des coefficients est 1. Pour qu’elle soit de 2, on peut multiplier les coefficients par 2 et donc est le barycentre de ; 2 et (; 4.
d. On a :
est le barycentre de ; 2 et "; 5 ; la somme des coefficients est 3. est le barycentre de ; 2 et (; 4 ; la somme des coefficients est 2.
est le barycentre de ; 3 et ; 2 donc par associativité du barycentre, on peut dire que est le barycentre de ; 2, "; 5 , ; 2 et (; 4.
En regroupant les coefficients, on a est le barycentre de "; 5 et (; 4. Donc (, " et sont alignés.
2) 2ème méthode :
a. Dans le repère ; ; , on a 0; 0, 1; 0 et 0; 1. Comme ( est le milieu de , on a ( %; 0&.
Comme " est défini par " #, en passant aux coordonnées, on a : *+, 0 #1 0
-, 1 #0 1 / ce qui donne " %#;$#&. Comme est défini par 3, en passant aux coordonnées, on a 0+1 0
-1 3/ ce qui donne 0; 3. b. (" 2734563
4589 %5/8$/# & et ( ;85$5863< 5/$ .
On observe que ( 5(" donc (" et ( sont colinéaires et les points (, " et sont alignés.
Exercice 3
( est le barycentre de ; 3 et ; 1 ; la somme des coefficients est 4.
" est le barycentre de ; 1 et =; 3 ; la somme des coefficients est 4.
> est le milieu de (" donc il est le barycentre de (; 4 et "; 4.
Par associativité des barycentres, > est le barycentre de ; 3, ; 1, ; 1 et =; 3. De plus, ? est le milieu de donc il est le barycentre de ; 1 et ; 1.
Par associativité des barycentres, > est le barycentre de ?; 2, ; 3 et =; 3.
@ est le milieu de = donc il est le barycentre de ; 3 et =; 3. Par associativité du barycentre, > est le barycentre de ?; 2 et @; 6. Ceci montre que les points ?, @ et > sont alignés.
