A B C D
𝑥 = 8,569201 𝑦 =22
7 3,142857 142 … 𝑧 = 𝜋3,141592 653589…
Valeur exacte 8,569201 22
7
Troncature à 2 chiffres 8,56 3,14 3,14
Troncature à 3 chiffres 8,569 3,142 3,141
Arrondi à l’unité 9 3 3
Arrondi à 𝟏𝟎−𝟐 8,57 3,14 3,14
Arrondi à 𝟏𝟎−𝟑 8,569 3,143 3,142
encadrement à 𝟏𝟎−𝟐 près 8,56 < 𝑥 < 8,57 3,14 < 𝑦 < 3,15 3,14 < 𝑧 < 3,15 encadrement à 𝟏𝟎−𝟑 près 8,569 < 𝑥 < 8,570 3,142 < 𝑦 < 3,143 3,141 < 𝑧 < 3,142 Les troncatures et les arrondis sont des valeurs approchées des nombres.
La troncature représente une valeur approchée par défaut du nombre.
L’écriture scientifique d’un nombre réel est l’écriture du nombre sous la forme
𝒂 × 𝟏𝟎
𝒏 avec𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎
et 𝑛 entier. 5 400 = 5,4 × 103 ; 0,000 87 = 8,7 × 10−4L’ordre de grandeur d’un nombre est le nombre sous la forme 𝑏 10𝑛 le plus proche, avec b entier relatif (1 ≤ 𝑏 < 10) et n entier relatif. On l’obtient facilement à partir de l’écriture scientifique du nombre.
5400 → 𝑂𝐺 = 5 × 103= 5000 0,000 87 = 8,7 × 10−4 ; 𝑂𝐺 = 9 × 10−4
8269500 0,000052932 −58 345943
Écriture scientifique 8,269 5 × 106 5,293 2 × 10−5 −5,834 594 3 × 107
Ordre de grandeur 8 × 106 5 × 10−5 −6 × 107
Définition. Valeur absolue et distance
Sur une droite graduée munie d’une origine O et d’une graduation, on considère un point A d’abscisse 𝑎. La valeur absolue de 𝑎, notée |𝑎|
est le nombre égal à la distance 𝑂𝐴.
La valeur absolue d’un nombre réel 𝑎 est le nombre |𝑎| tel que |𝑎| = {𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 Exemple. |−10,5| = 10,5 ; |0,4| = 0,4
Soit 𝐴 et 𝐵 les points d’abscisses 𝑎 et 𝑏 sur une droite munie d’une origine et d’une graduation.
On appelle distance entre les réels 𝑎 et 𝑏 la distance 𝐴𝐵.
La distance entre 𝑎 et 𝑏 est égale à |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏|
𝐴𝐵 = |−3 − 1| = |−4| = 4 𝐶𝐷 = |2.5 − 7| = |−4.5| = 4.5
10 1,5 1,5
8,5 10 11,5
4 4
-13 −9 -5 12 12
13
8 2 2
6 10
4 3 3
1 7
5 1 1
4 6
4 3 3 1 7
Si on considère un intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] avec 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels.
On appelle centre de l’intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] le nombre 𝑐 =
𝑎+𝑏2
et rayon de l’intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] le nombre 𝑟 =
𝑏−𝑎2
𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏 ] ⟺ |𝑥 − 𝑐| ≤ 𝑟
Ex1. Compléter : 𝑥 ∈ [1 ; 7 ] ⟺ |𝑥 − 4| ≤ 3 𝑥 ∈ [1 ; 25 ] ⟺ |𝑥 − 13| ≤ 12
𝑥 ∈ [6 ; 10 ] ⟺ |𝑥 − 8| ≤ 2 𝑥 ∈ [1 ; 7 ] ⟺ |𝑥 − 4| ≤ 3 𝑥 ∈ [4 ; 6 ] ⟺ |𝑥 − 5| ≤ 1
𝑥 ∈ [−13 ; −5 ] ⟺ |𝑥 + 9| ≤ 4
Ex2. Écrire une inégalité vérifiée par 𝑥 et utilisant une valeur absolue dans les cas suivants :
a) 𝑥 ∈ [−4 ; 5 ] b) 𝑥 ∈ [ 0 ; 11 ] c) 𝑥 ∈ [
13
;
23
] d) 𝑥 ∈ [−8 ; −5 ]
|𝑥 − 0,5| ≤ 4,5 |𝑥 − 5,5| ≤ 5,5 |𝑥 −
12
| ≤
16
|𝑥 + 6,5| ≤ 1,5
Ex3. Écrire une inégalité vérifiée par 𝑥 dans les cas suivants.
a) |𝑥 − 4| ≤ 10 b) |𝑥 + 1| ≤ 0,5 c) |−6 − 𝑥| ≤ 8 d) |𝑥 + 5| ≥ 7 𝑑(𝑥 ; 4 ) ≤ 10 𝑑(𝑥 ; −1 ) ≤ 0,5 𝑑(𝑥 ; −6) ≤ 8 𝑑(𝑥 ; −5) ≥ 7
−6 ≤ 𝑥 ≤ 14 −1,5 ≤ 𝑥 ≤ −0,5 −14 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑥 ≤ −12 ou 𝑥 ≥ 2 𝑥 ∈ [−6 ; 14 ] 𝑥 ∈ [−1,5 ; −0,5 ] 𝑥 ∈ [−14 ; 2 ] 𝑥 ∈] − ∞ ; −12 ] ∪ [2 ; +∞[
Ex4. Trouver les deux nombres solutions de |𝑥| = 4. −4 et 4 2. a) Exprimer |𝑥 − 10| en termes de distance.
Il s’agit de la distance entre le nombre 𝑥 et le nombre 10
b) Tracer une droite graduée, y placer 10 et trouver les deux nombres réels tels que leur distance avec 10 soit égale à 1,5.
c) En utilisant ce qui précède, résoudre dans ℝ l’équation |𝑥 − 10| = 1,5 solution : 8,5 et 11,5 ; on peut écrire 𝑆 = { 8,5 ; 11,5 }
−3 4 4
−7 −3 1
−4 0,1 0,1
−4,1 −3,9
1 5
1 2 1
2
−0,3 0,7 3. a) Résoudre dans ℝ l’équation |𝑥 + 3| = 4
solutions : −7 et 1 ; 𝑆 = {−7 ; 1 }
b) Résoudre dans ℝ l’équation |𝑥 + 4| = 0,1 solutions : −4,1 et −3,9
𝑆 = {−4,1 ; −3,9 }
Ex5. 𝑥 est un nombre réel tel que |𝑥 −1
5| ≤1 À quel intervalle appartient 𝑥 ? 2
𝑥 ∈ [ −0,3 ; 0,7 ]
Troncature à l’unité : on coupe le nombre en gardant uniquement sa partie entière.
Troncature au dixième : on coupe le nombre en gardant le chiffre des dixièmes
𝑥 = 4,75
troncature à l’unité =4 troncature au dixième=4,7 encadrement à l’unité
4 < 𝑥 < 5 arrondi à l’unité = 5
encadrement à 10−1 près : 4,7 < 𝑥 < 4,8 arrondi au dixième = 4,76
