Lyc´ee Kl´eber PC * 2° ann´ee
F ICHE : I NT EGRALES D ´ EPENDANT D ´ ’ UN PARAM ETRE `
Hypoth`ese de domination On dit qu’une fonction
F:
A×I −→ R (x, t) 7−→ F(x, t)
v´erifiel’hypoth`ese de dominationsi et seulement s’il existe une fonctionϕ:I7→Rtelle que : H1 ϕest continue par morceaux surI;
H2 ϕest int´egrable surI;
H3 ∀(x, t)∈A×I,|F(x, t)|6ϕ(t).
Continuit´e sous le signe somme On consid`ere une fonction
F:
A×I −→ R (x, t) 7−→ F(x, t) et on suppose que :
H1 Pour toutx∈A, la fonctiont7→F(x, t)est continue par morceaux surI; H2 Pour toutt∈I, la fonctionx7→F(x, t)est continue surA;
H3 Fv´erifie l’hypoth`ese de domination.
Alors,
1. ∀x∈Afix´e, la fonctionF2:t7→F(x, t)est int´egrable surI. 2. La fonction
f:
A −→ R
x 7−→
Z
I
F(x, t) dt est continue surA.
D´erivation sous le signe somme On consid`ere une fonction
F:
A×I −→ R (x, t) 7−→ F(x, t) et on suppose que :
H1 Pour toutx∈A, la fonctionF2:t7→F(x, t)est continue par morceaux et int´egrable surI. H2 Pour toutt∈I, la fonctionx7→F(x, t)est de classeC1surA
H3 Pour toutx∈A, la fonctiont7→∂F
∂x(x, t)est continue par morceaux surI. H4 La fonction∂F
∂x v´erifie l’hypoth`ese de domination surA×I. Alors :
1. La fonction
f:
A −→ R
x 7−→
Z
I
F(x, t) dt est d´efinie et de classeC1surA.
2. Pour toutx∈A, la fonctiont7→∂F
∂x(x, t)est int´egrable surI. 3. ∀x∈A,f′(x) =
Z
I
∂F
∂x(x, t) dt.
Hypoth`ese de domination locale On dit qu’une fonction
F:
A×I −→ R (x, t) 7−→ F(x, t)
v´erifiel’hypoth`ese de domination locale si et seulement si pour tout segmentK ⊂ A, il existe une fonction ϕK:I7→Rtelle que :
H1 ϕKest continue par morceaux surI; H2 ϕKest positive surI;
H3 ϕKest int´egrable surI:
H4 ∀(x, t)∈K×I,|F(x, t)|6ϕK(t)
Th´eor`eme de continuit´e, extension `a la domination locale On consid`ere une fonction
F:
A×I −→ R (x, t) 7−→ F(x, t) et on suppose que :
H1 Pour toutx∈A, la fonctiont7→F(x, t)est continue par morceaux surI; H2 Pour toutt∈I, la fonctionx7→F(x, t)est continue surA;
H3 Fv´erifie l’hypoth`ese de domination locale surA×I.
Alors,
1. ∀x∈Afix´e, la fonctionF2:t7→F(x, t)est int´egrable surI. 2. La fonction
f:
A −→ R
x 7−→
Z
I
F(x, t) dt est continue surA.
D´erivation sous le signe somme, extension `a la domination locale On consid`ere une fonction
F:
A×I −→ R (x, t) 7−→ F(x, t) et on suppose que :
H1 Pour toutx∈A, la fonctionF2:t7→F(x, t)est continue par morceaux et int´egrable surI. H2 Pour toutt∈I, la fonctionx7→F(x, t)est de classeC1surA.
H3 Pour toutx∈A, la fonctiont7→∂F
∂x(x, t)est continue par morceaux surI. H4 La fonction∂F
∂x v´erifie l’hypoth`ese de domination locale surA×I.
Alors :
1. Pour toutx∈A, la fonctiont7→∂F
∂x(x, t)est int´egrable surI. 2. La fonction
f:
A −→ R
x 7−→
Z
I
F(x, t) dt est de classeC1surA.
3. ∀x∈A,f′(x) = Z
I
∂F
∂x(x, t) dt.
D´erivations successives sous le signe somme On consid`ere une fonction
F:
A×I −→ R (x, t) 7−→ F(x, t) et on suppose que :
H1 Pour toutt∈I, la fonctionx7→F(x, t)est de classeCnsurA;
H2 Pour toutx∈A, les fonctionst7→F(x, t),t7→∂F
∂x(x, t), . . .,t7→ ∂n−1F
∂xn−1(x, t)sont continues par morceaux et int´egrables surI.
H3 Pour toutx∈A, la fonctiont7→∂nF
∂xn(x, t)est continue par morceaux surI.
H4 La fonction∂nF
∂xn v´erifie l’hypoth`ese de domination (locale).
Alors :
1. La fonction
f:
A −→ R
x 7−→
Z
I
F(x, t) dt est d´efinie et de classeCnsurA.
2. ∀i∈[[1, n]],∀x∈A,
f(i)(x) = Z
I
∂iF
∂xi(x, t) dt
