L3S6 Math-Eco
Optimisation Non Lin´ eaire
Ann´ee 2011-2012 Contrˆole continu
Dur´ee : 1h Documents interdits ; calculatrices de type coll`ege non programmable auto- ris´ee
Exercice 1 (Question de cours) Enoncer le th´eor`eme de Kuhn Tucker g´en´eralis´e et sa r´eciproque.
Exercice 2 Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonc- tion suivante soit convexe
f(x, y) =x2+y2+axy.
Exercice 3 R´esoudre le probl`eme d’optimisation
inff(x, y) =x+y, sous la contrainte x2+y2 ≤1.
Exercice 4 On dispose de 3 produits X, Y et Z dont le poids par unit´e est de2 kg pourX,0.5 kg pourY et1 kg pourZ. On suppose que le poids total doit ˆetre de 20 kg. L’indice de satisfactionU de ces produits est donn´e par la fonctionU =x2yz, o`u xest la quantit´e de produit X, et de mˆeme pour y et z.
1. D´eterminer le maximum de U sous la contrainte de poids (On justifiera d’abord l’existence d’un maximum).
2.On suppose de plus que le volume total est limit´e `a40 L et que le volume par unit´e est de4 L pour X, de 2/3 de L pourY et de 3L pour Z. Trouver la combinaison optimale sous ces deux contraintes.
