Optimisation sous contrainte non critique

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Extrema sous contrainte

TD22

Optimisation sous contrainte non critique

Exercice 22.1 (F)

Soit f(x, y) = 2x+y, et soitC la contraintex²+y² = 5.

1. Montrer quef possède un maximum et un minimum global sur C. 2. Déterminer les points critiques de f sous la contrainteC.

3. Conclure.

Exercice 22.2 (F)

Déterminer les extrema de la fonctionf définie sur (R^∗+)³ parf(x, y, z) =x+y+z sous la contrainte x²+y²+z²= 3.

Exercice 22.3 (FF)

On souhaite minimiser la surface d’une boite rectangulaire dont le volume doit être égal à 8 dm³. Autrement dit, cela revient à déterminer le minimum de la fonction f(x, y, z) = 2(xy+yz+zx) sur R^∗₊)³ sous la contrainte C :xyz= 8.

1. Montrer que la contrainte C est non critique.

2. Montrer quef admet un unique point critiquea₀ sous la contrainteC. 3. Montrer que

∀(a, b, c)∈(R^∗+)³, 1

3(ln(a) + ln(b) + ln(c))≤ln

a+b+c 3

.

4. En appliquant l’inégalité précédente àa=xy, b=yz, c=xz, conclure quant à la nature de a₀.

Exercice 22.4 (FF)

Soit f la fonction définie surR² parf(x, y) =xy.

1. Déterminer les points critiques de f sous la contrainteD ={(x, y)∈R², x²+ 4y²= 8}.

2. Montrer queD ={(x, y)∈R², x²+ 4y² = 8}est une partie fermée bornée deR². 3. Montrer quef admet un maximum et un minimum sur D et les déterminer.

4. La fonction f admet-elle un maximum et un minimum sur D⁰ ={(x, y) ∈R², x²+ 4y² ≤8} ? Si oui, que valent-ils ?

Exercice 22.5 (FF - )

SoitA= (a_i,j)∈Mn(R) une matrice symétrique, et soitq_Ala forme quadratique associée. On rappelle queq_A(x) =

n

X

i=1 n

X

j=1

a_i,jx_ix_j. On note S ={x∈Rⁿ, kxk² = 1}.

1

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1. Montrer queqA est C¹ surRⁿ, et calculer ses dérivées partielles.

Montrer en particulier que ^t(∇q_A(x₁, . . . , x_n)) = 2A





 x1

... xn





. 2. Justifier queq_A admet un maximumM et un minimum msur S. 3. Prouver que la contrainteS est non critique.

4. Montrer que q_A(x₁, . . . , x_n) =M si et seulement si





 x1

... xn





 est un vecteur propre deA associé à la valeur propre M.

5. En déduire que M (resp. m) est la plus grande (resp. la plus petite) valeur propre de A, et que pour tout (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ,

mk(x₁, . . . , x_n)k²≤q_A(x₁, . . . , x_n)≤Mk(x₁, . . . , x_n)k².

Exercice 22.6 (FFF)

Soit D={(x, y)∈R², x²+y²≤2}, et soitf la fonction définie sur D par : f(x, y) =x⁴+y⁴−2(x−y)².

1. Montrer quef admet sur D un minimum m et un maximumM.

2. Déterminer l’ensemble des points critiques def sur l’ouvert D⁰ ={(x, y)∈R², x²+y² <2}.

3. Déterminer les points critiques de f sous la contrainteC ={(x, y)∈R², x²+y² = 2}.

4. Déterminerm etM.

Exercice 22.7 (FFF - Oral ESCP 2015)

Soient n∈N^∗, et a₁, . . . , an des réels non tous nuls. On considère les fonctionsf, g eth définies sur Rⁿ par :

f(x1, . . . , xn) =

n

Y

k=1

x²_k, g(x1, . . . , xn) =

n

X

k=1

x²_k et h(x1, . . . , xn) =

n

X

k=1

akxk. 1. (a) Justifier quef est de classeC¹ surRⁿ. Déterminer son gradient en tout point.

(b) Prouver que f admet un maximum sur la sphère unité S de Rⁿ définie par S=

(

(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ:

n

X

k=1

x²_k= 1 )

. (c) Déterminer le maximum de f surS.

(d) En déduire que pour tout point u = (u1, . . . , un) de Rⁿ, on a

n

Y

k=1

uk

≤ kuk

√n n

, où k · k désigne la norme usuelle deRⁿ.

2. (a) Soit i∈J1, nKtel quea_i6= 0. On pose :

H ={(x₁, . . . , xn)∈Rⁿ: h(x₁, . . . , xn) = 1} et B =

x∈Rⁿ: kxk ≤ 1

|a_i|

. Prouver que l’ensembleH∩B est non vide, puis qu’il est fermé borné.

(b) Justifier que la fonction g admet un minimum sur H∩B. Prouver que ce minimum est aussi le minimum deg sous la contrainteh(x1, . . . , xn) = 1.

(c) Déterminer le minimum deg sur H.

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Optimisation sous contrainte linéaire

Exercice 22.8 (F)

1. Montrer que la fonctionf(x, y, z) = (x+y)²+ (y+z)²+ (z+x)² admet un unique point critique asous la contraintex+y+z= 3.

2. À l’aide de la formule de Taylor à l’ordre 2, déterminer la nature locale dea.

3. aest-il un extremum global ?

Exercice 22.9 (F)

Soit f(x, y, z) =x²+y²+ 2z², et soitC la contrainte 2x−y+z= 3.

1. Montrer quef est de classeC², puis calculer son gradient et sa hessienne en tout point deR³. 2. Montrer quef admet un unique point critiquea sous la contrainteC.

3. Déterminer la nature local du point critique ade f sous C.

4. On cherche à montrer que a est en fait un extremum global. Pour cela on considère x ∈C, et on noteh=x−aetg: [0,1]→Rla fonction définie par g(t) =f(a+th).

Étudier les variations deg, puis conclure.

Exercice 22.10 (FF)

Soit f la fonction de R⁴ dans R définie par f(x, y, z, t) = x² +y² +z² +t², et soit C la contrainte définie par les équations

(x+y = 2 z+t= 0 .

1. Déterminer l’ensemble des points critiques def sous la contrainte C. 2. Déterminer la nature de ces points critiques.

Exercice 22.11 (FF - D’après Edhec 2001)

Soit n≥2. Soit f : ]0,1[ⁿ→R définie par f(x1, . . . , xn) =

n

X

i=1

(1−xi)ⁿ.

Déterminer les extrema locaux de f sous la contrainteC :x₁+x₂+· · ·+x_n= 1.

Exercice 22.12 (FF)

Soit f la fonction définie sur R³ par f(x, y, z) = xy +yz +xz, et soit C la contrainte définie par x+y+z= 2. On note H l’ensemble des solutions dex+y+z= 0.

Le but de l’exercice est de déterminer les extrema locaux def sous la contrainteC. 1. Montrer quef admet un unique point critiquea0 sous la contrainteC.

2. Montrer qu’il existe une fonction ε:R³→Rvérifiant ε(0) = 0 et continue en 0 telle que :

∀h∈H, f(a0+h) =f(a0) +1

2qa0(h) +khk²ε(h).

3. Déterminer les valeurs propres deA=∇²f(a₀). Que dire du le signe deq_a0 surH ? 4. Montrer queE−1(A) =H.

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5. En déduire que pour tout h ∈ H non nul, qa0(h) < 0. Quelle est la nature locale du point critique a0 ?

Exercice 22.13 (FF - D’après Ecricome 2008)

On considère la fonction f définie sur ]0,+∞[³ par f(x₁, x₂, x₃) = 1 4x₁ + 1

x₂ + 1 9x₃.

1. Justifier quef est de classeC² sur ]0,+∞[³. Calculer ses dérivées partielles d’ordre 1 et 2.

2. On note ∇²(f)(A) =^h∂_i,j² (f)(A)ⁱ

1≤i,j≤3 la matrice hessienne def en A= (a₁, a₂, a₃).

Justifier que, pour tout A ∈]0,+∞[³, pour toute matrice colonne H à trois lignes, non nulle, on a :

tH∇²(f)(A)H >0.

3. f admet-elle des extrema sur ]0,+∞[³ ?

4. On cherche désormais les extrema de f sous la contraintex₁+x₂+x₃= 110.

(a) Montrer quef admet un unique point critiqueasous cette contrainte, que l’on déterminera.

(b) On souhaite montrer que aest un extremum global de f sous la contrainte H. Pour cela on considère x ∈ C et on note alors h = x−a et g : [0,1] → R la fonction définie par g(t) =f(a+th).

En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonctiong, montrer que f(x)≥ f(a). Conclure.

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