exercice 2 (Equivalents pour les séries à termes ≥0) On suppose que un ≥0,vn≥0 etun ∼vn quand n

Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques¹

Télescopages, Découpages (fiche 9) exercice 1

On considère la suite (xn)définie par :

x₀ = 5, x_n+1 =x_n+ 1 xn

(n ≥1).

a) Montrer que lim_n→+∞x_n = +∞.

b) On pose u_k =x²_k−x²_k−1 pourk ≥1. Exprimer de deux façons différentes,^Pn_k=1u_k. c) En déduire que :

x_n >√

25 + 2n.

exercice 2 (Equivalents pour les séries à termes ≥0) On suppose que u_n ≥0,v_n≥0 etu_n ∼v_n quand n→ ∞.

Montrer :

1. Si ^Pu_n converge, les restes sont équivalents, i.e. :

∞

X

k=n+1

u_k ∼

∞

X

k=n+1

v_k, n → ∞.

2. Si ^Pu_n diverge, les sommes partielles sont équivalentes, i.e. :

n

X

k=0

u_k∼

n

X

0

v_k, n→ ∞.

Supposons queun =f(n),f continue surIR⁺ à valeurs positives. SoitF une primitive de f sur IR⁺, d’après le théorème des accroissements finis :

F(n+ 1)−F(n) = f(c_n), avecn < c_n< n+ 1.

On peut espérer, mais il faudra le prouver, que u_n ∼ F(n+ 1)−F(n) quand n → ∞. A titre d’exemple, déterminer un équivalent de

n

X

k=1

lnk k . exercice 3

On va calculer un équivalent en +∞ de la suite récurrente (u_n) définie par :

u₀ = π

2 ; ∀n ≥0 u_n+1 = sin(u_n).

1. Licence Sciences L2, M34

1

1. Etudier la suite(u_n). On montrera que lim

n→∞u_n= 0.

2. Donner un équivalent simple de :

1

(u_n+1)² − 1 (u_n)².

3. En utilisant l’exercice précédent, déterminer un équivalent deu_n.

exercice 4 (Transformation d’Abel)

On considère deux suites complexes(u_n)et(v_n)et la suite(a_n=u_nv_n). On poseA_p,q =^Pq_n=pa_n si q ≥p et V_p,n=^Pn_i=pv_i si n ≥p. Montrer que si q > palors :

Ap,q =

q−1

X

n=p

Vp,n(un−un+1) +uqVp,q.

A quoi ce résultat vous fait-il penser ?

En déduire que si la suite (u_n) est réelle, décroissante, de limite 0 et si les sommes V_p,n sont bornées, alors la série ^Pa_n converge. Etudier la série de terme général e^iθ

n oùθ /∈2πZZ et α ∈IR.

exercice 5 (Règle de Weierstrass) On considère les quantités ^X

n≥1

u_n(p), p∈IN,u_n(p)∈Cl . On suppose :

∀n ∀p|u_n(p)| ≤α_n avec ^X

n≥1

α_n<+∞.

On pose alors S(p) =

+∞

X

1

u_n(p) (a-t-on le droit de poser cela ?).

Imaginons que limp→∞u_n(p) =u_n, question : limp→∞S(p) existe-t-elle ? La réponse est oui !

p→∞lim

∞

X

n=1

u_n(p) =

∞

X

n=1

u_n=

∞

X

n=1

p→∞lim u_n(p).

Montrer ce résultat en « découpant » convenablement |S(p)−S| oùS =^P∞_n=1u_n.

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