Faisceaux pervers sur les vari´et´es alg´ebriques complexes – Correspondance de Springer

sur les vari´ et´ es

alg´ ebriques complexes –

Correspondance de Springer

Alberto Arabia

(Pr´epublication)

Institut de Math´ ematiques de Jussieu Universit´ e Paris 7 - Denis Diderot

U.F.R. DE MATH´ EMATIQUES Sixi`eme ´etage, plateau D, bureau 6D15.

175, rue du Chevaleret 75013 Paris

– Vendredi 4 novembre 2014 – (15h:48min)

sur les vari´ et´ es alg´ ebriques complexes

Correspondance de Springer

§0. Table des mati`eres d´etaill´ee

§0. Introduction...3

§1. Pr´eliminaires...3

1.1. Anneaux et espaces topologiques...3

1.2. Cat´egories de faisceaux...4

1.2.1. Quelques notations...4

1.2.2. Foncteurs associ´es aux sous-espaces deX ...4

1.2.3. Exactitudes de foncteurs...5

1.2.4. Adjonctions...5

1.2.6. Suite exacte courte fondamentale...6

1.2.7. Foncteurs d´eriv´es `a droite...6

1.2.8. R´esolutions...6

1.2.10. Dimension cohomologique d’un espace topologique...7

1.2.11. Dimension injective de Faisc_A(X)...7

1.2.13. Le bifoncteurH om sur Faisc_A(X)...8

1.3. Cat´egorie des complexes de faisceaux...8

1.3.1. Cat´egorie des complexes...8

1.3.2. Foncteur de translation...9

1.3.3. Complexes concentr´es en un seul degr´e...9

1.3.5. Foncteurs induits...9

1.3.6. Objets d´eriv´es...9

1.3.9. Troncatures intelligentes...10

1.3.12. Cˆone d’un morphisme de complexes...11

1.4. Cat´egorie d´eriv´ee...11

1.4.4. Triangles exacts...12

1.4.6. Cat´egories triangul´ees...12

1.4.9. Amplitude cohomologique d’un complexe...13

1.4.10. Support cohomologique d’un complexe de faisceaux...13

1.4.14. Foncteurs d´eriv´es `a droite...13

1.4.19. Changement de base pour les inclusions localement ferm´ees...14

1.4.20. Faisceaux d´eriv´es `a supports dans un localement ferm´e...15

1.4.24. Un triangle exact fondamental...16

1.4.25. Troncatures intelligentes dansD(X)...16

1.4.27. Complexes cohomologiquement concentr´es en un seul degr´e...16

1.4.28. Le bifoncteurH om^•sur D_A(X)...17

1.5. Dualit´e de Grothendieck-Verdier...17

1.5.1. Image directe `a supports propres...17

1.5.3. Image inverse exceptionnelle...18

1.6. Complexes dualisants...19

1.6.6. Dual d’un complexe de faisceaux...20

1.7. Pseudovari´et´es et bidualit´e...20

1.7.1. Espace topologique stratifi´e...20

1.7.2. Pseudovari´et´es...21

1.7.5. Stabilit´e de la cat´egorieD_X^b_-c(X)...21

1.7.9. Amplitude cohomologique des complexes dualisants...22

1.8. Homologie de Borel-Moore sur les pseudovari´et´es...23

1.8.1. Constructions explicites dec^!M ...23

1.8.2. Homologie de Borel-Moore `a coefficients dans unA-module...23

1.8.3. Subdivision barycentrique du simplexe standard...24

1.8.4. Faisceau des chaˆınes singuli`eres localement finies...24

1.9. Stratifications alg´ebriques, conditions de Whitney et pseudovari´et´es...27

1.9.1. Stratifications...27

1.9.2. Filtration associ´ee `a une stratification...27

1.9.6. Instabilit´e de la cat´egorieD^b_X-c(X)...29

1.9.7. A propos des conditions de Whitney...30

1.10. Complexes `a cohomologie constructible sur les vari´et´es alg´ebriques complexes...30

1.11. Syst`emes locaux sur une vari´et´e topologique...31

1.11.7. Invariance de la monodromie...33

§2. Prolongement interm´ediaire relatif `a une filtration ferm´ee...33

2.1. Filtrations ferm´ees...33

2.2. L’´equivalence de cat´egories de Deligne...34

§3. Homologie d’intersection sur une vari´et´e alg´ebrique complexe...37

3.1. Complexes d’intersection sur une vari´et´e alg´ebrique complexe...37

3.1.8. Description intrins`eque des complexes d’intersection...40

3.1.9. G´en´eralisation de la dualit´e de Poincar´e...40

3.1.10. A propos duIH⁰(X;A)...40

3.2. Homologie d’intersection du parapluie de Whitney...40

§4. Faisceaux pervers sur une vari´et´e alg´ebrique complexe...41

4.1. Complexes de Deligne-Goresky-MacPherson...41

4.1.1. Images directes des complexes d’intersection...41

4.1.2. Complexes de Deligne-Goresky-MacPherson...42

4.2. FaisceauxX-pervers...42

4.2.3. Supports et amplitude cohomologiques des faisceauxX-pervers...42

4.2.7. Restrictions et prolongements de faisceauxX-pervers...43

4.2.9. Complexes d’intersection et faisceauxX-pervers...44

4.2.10. Th´eor`eme de structure de la cat´egorie des faisceauxX-pervers...45

4.2.11. Simplicit´e des complexes deDGM_X(X) dansPX(X)...47

4.3. Faisceaux pervers...47

4.3.2. Th´eor`eme de structure de la cat´egorie des faisceaux pervers...48

4.4. Image directe des faisceaux pervers par un morphisme propre...49

4.4.1. Morphismes stratifi´es...49

4.4.4. Morphismes (semi-)petits...50

4.4.10. Th´eor`eme de d´ecomposition...51

§5. Correspondance de Springer...52

5.1. Notations et donn´ees...52

5.2. Stratifications deN ^{et deg}...53

5.2.1. Stratification deN ...53

5.2.2. Stratification deg...53

5.3. R´esolution de Springer du cˆone nilpotent...54

5.4. D´ecomposition deIR⇡_⇤QNe ...55

5.4.1. Quelques ´egalit´es de dimensions...55

5.5. Repr´esentations du groupe de Weyl d’apr`es Lusztig...58

5.5.2. Repr´esentations du groupe de Weyl...59

5.5.3. Repr´esentations du groupe de Weyl dans la cohomologie des vari´et´es de Steinberg...59

5.6. Correspondance de Springer d’apr`es Borho-MacPherson...60

5.6.4. Autres constructions...61

§6. R´ef´erences bibliographiques...61

– Vendredi 4 novembre 2014 –

§0. Introduction

Ces notes traitent des sujets abord´es dans la s´erie d’expos´es que j’ai donn´es dans le Groupe de travail “Correspondance de Springer” organis´e parMichel Duflo,Caroline GrusonetMarc Rosso`a l’Institut de Math´ematiques de Jussieu (f´evrier-mars 2001).

Les quatre premi`eres sections constituent une introduction `a la th´eorie des faisceaux pervers sur les espaces localement compacts singuliers (pseudovari´et´es, espaces analytiques, vari´et´es al- g´ebriques complexes, . . .) et pour la perversit´e moyenne. Dans la derni`ere section on donne les d´etails de la d´emarche suivie parWalter BorhoetRobert MacPhersondans [BoMc₁] pour d´emontrer la«Correspondance de Springer».

Dans la pr´eparation de ces notes j’ai b´en´efici´e de la lecture de nombreux articles, certains de nature informelle mais tr`es int´eressants pour un aper¸cu rapide `a la fois de l’histoire et des possi- bilit´es des faisceaux pervers. L’article de Steven Kleiman [Kl] en est le meilleur exemple, ceux de Jean-Luc Brylinski [Bry] etArmand Borel[Bo₂] brossent les grands traits de la th´eorie, enfin celui de Tonny Springer [Spr_B] parle des applications `a la th´eorie des groupes. Dans un tout autre registre, les “Notes du S´eminaire d’homologie d’intersection” [BoAl] et bien ´evidemment la r´ef´erence incontournable : l’Ast´erisque N^ro100 deBe˘ılinson, Bernstein et Deligne[BBD], donnent respectivement, en d´etail, les fondements de l’homologie d’intersection sur les espaces localement compacts et des faisceaux pervers.

§1. Pr´eliminaires

Cette premi`ere section est destin´ee uniquement `a fixer des notations, rappeler des d´efinitions et faire quelques rappels, en ce sens, elle n’a aucune pr´etention d’exhaustivit´e dans les explications et indications des quelques d´emonstrations que nous donnons. Pour plus de d´etails, nous renvoyons aux deux r´ef´erences qui nous semblent le mieux couvrir l’ensemble des sujets abord´es, `a savoir : [BoAl] et [KS], et `a [Ha₁] pour une introduction rapide et efficace aux cat´egories d´eriv´ees.

1.1 Anneaux et espaces topologiques

Bien de constructions et r´esultats dans ces notes sont valables pour des anneaux et espaces topo- logiques tr`es g´en´eraux, mais plutˆot que d’alourdir le texte en pr´ecisant `a chaque fois les limitations d’un ´enonc´e, nous pr´ef´erons nous placer d’embl´ee dans un cadre restreint, mais n´eanmoins tr`es large, garantissant sans plus leur validit´e.

• Un anneau A,B. . . est suppos´e commutatif, muni d’une identit´e multiplicative, nœth´erien et de dimension cohomologique finie.

• Un espace topologiqueX,Y, . . .seralocalement compact (donc s´epar´e), d´enombrable `a l’infini, m´etrisable (¹)et de dimension cohomologique finie (1.2.10).

1Les deux premi`eres conditions impliquent la paracompacit´e des parties ferm´es et la derni`ere la paracompacit´e de ses ouverts ; on dit alors que l’espace esttotalement paracompact(cf.[Go]§3.2 p. 149). Lorsque un espace topologiqueX v´erifie ces trois conditions, toute partie localement ferm´eeSdeX les v´erifie ´egalement et, de plus, la dimension cohomologique de S est born´ee par celle deX (cf.1.2.10).

LorsqueX d´esigne une vari´et´e alg´ebrique complexe, la topologie induite sur un ouvert affine U✓X par un plongement alg´ebrique ferm´e ':U ,!C^m, o`uC<sup>m</sup> est muni de la topologie de la m´etrique hermitienne usuelle de C<sup>m</sup>, est ind´ependante de '; on note alors U<sup>an</sup> l’ensemble U muni de cette topologie. On appelle«topologie transcendante surX»la topologie engendr´ee par les U<sup>an</sup>, o`u U parcourt l’ensemble des ouverts affines de X. La topologie transcendante surX v´erifie les conditions du paragraphe pr´ec´edent et est plus fine que la topologie de Zariski de X. On note X^an la vari´et´e alg´ebrique complexeX munie de sa topologie transcendante.

Tous les ´enonc´es topologiques sur une vari´et´e alg´ebrique complexe seront relatifs `a sa topologie transcendante sauf mention explicite du contraire.

• Un foncteur F :A B entre deux cat´egories additives est dit «additif» si l’application in- duite MorA(A,B) ^F!MorB(FA,F B) est un homomorphisme de groupes (ab´eliens) pour tous A,B2Ob(A) ; ce sera le cas de tous les foncteurs que nous allons consid´erer. Les cat´egories ab´eliennesA,B, . . . sont suppos´ees poss´eder suffisamment d’objets injectifs.

1.2 Cat´egories de faisceaux

1.2.1 Quelques notations. Pour tout anneauA et tout espace topologiqueX, on note Faisc_A(X) la cat´egorie des faisceaux de A-modules sur X. Le faisceau constant de fibre A sera not´e AX. On note Hom_AX(F,G) l’ensemble des morphismes de faisceaux de A-modules de source F et de butG; cet ensemble est muni d’une structure naturelle de A-module. La cat´egorie Faisc_A(X) est ab´elienne et poss`ede suffisamment d’injectifs.

On omettra souvent de pr´eciser l’anneau A dans ces notations et lorsque X sera r´eduit `a un point, la notation Faisc_A(•) sera remplac´ee par Mod(A) pour des raisons ´evidentes.

Pour tout F 2Faisc(X) et toute section 2 (U;F), on appelle«support de »: l’ensemble

| |des pointsx2U tels que le germe xde enxest non nul. Le support de est toujours ferm´e dansU. Dans le mˆeme ordre d’id´ees, on appelle«support deF »: l’ensemble|F|des pointsx2X tels que le module Fx des germes des sections deF en x, appel´e aussi«la fibre de F enx», est non nul. Contrairement aux supports des sections, le support d’un faisceau n’est g´en´eralement pas localement ferm´e dans X.

1.2.2 Foncteurs associ´es aux sous-espaces de X. Pour toute partie A d’un espace topo- logique X, on note ı^X_A :A,!X l’inclusion (on omettra souvent certains indices). On rappelle maintenant les d´efinitions de quatre foncteurs additifs tr`es courants en indiquant bri`evement leur action sur les faisceaux.

ı_A⇤: Faisc(A) Faisc(X)est le foncteur«image directe»qui associe `a un faisceauF sur A, le faisceauı_A⇤F :

X◆U A\U;F ^{=: U;ı}A⇤F Pour A1✓A2, on a ı^X_A1⇤=ı^X_A2⇤ ı^A_A²_1⇤.

ı_A¹: Faisc(X) Faisc(A) est le foncteur«image inverse»qui associe `a un faisceau G sur X, le faisceau ı ¹G associ´e au pr´efaisceau:

A◆V lim_!V✓U (U;G)

Le foncteur ı_A¹G est ´egalement not´e G_A et appel´e«restriction de G `a A».

Pour A₁✓A₂, on a ı^X_A1 ¹=ı^A_A²₁ ¹ ı^X_A2 ¹.

Et pour tout sous-espace S,localement ferm´edans X:

ı_S!: Faisc(S) Faisc(X) est le foncteur «image directe `a supports ferm´es» qui associe `a un faisceauF sur S, le faisceau ı_S!F :

X◆U 2 S\U;F | | |est ferm´edans U =: U;ıS!F

On a une inclusion naturelle de foncteurs ı_S!✓ı_S⇤ qui est une ´egalit´e lorsque S est ferm´e.

Pour tout x2X, on a (ıS!F)x= 0 pour x62S et (ıS!F)x=Fx autrement, raison pour laquelle on appelleıS!F «le prolongement par z´ero deF ».

Pour S1✓S2, on a ı^X_S1!=ı^X_S2! ı^S_S²

1!.

S : Faisc(X) Faisc(S) est le foncteur«sections `a supports dans S»qui associe `a un faisceau G sur X, le faisceau _SG:

S◆V _S W;G = 2 (W;G)| | |✓S =: (V; _SG)

o`uW est un ouvert dans X tel queV est ferm´e dansW etV =S\W (le terme de droite est alors ind´ependant du choix d’un tel W).

Remarque.Un ouvertV deS admet toujours une base de voisinagesW ouverts dansX tels que V est ferm´e dansW etV =S\W; on a donc

(V;ı_S¹G^{) = lim}_!V✓W (W;G⁾

d’o`u une injection canonique de foncteurs _S,!ı_S¹ qui est bijective lorsqueS est ouvert.

Pour S1✓S2, on a S1= S1 S2.

1.2.3 Exactitudes de foncteurs. Avec les notations pr´ec´edentes : 8>

><

>>

:

ıS!, ı_A¹ exacts ;

S, ıA⇤ exacts `a gauche ;

S=ı_S¹ lorsqueS est ouverte, donc _S est exact dans ce cas.

ı_S⇤=ı_S! lorsqueS est ferm´ee, doncı_S⇤ est exact dans ce cas.

1.2.4 Adjonctions. On a des isomorphismes naturels (²) :

Hom_AX(ıS! , )⌘Hom_AS( , S ) et Hom_AA(ı_A¹ , )⌘Hom_AX( , ıA⇤ )

et S (resp.ıA⇤) est adjoint `a droite de ıS! (resp.ı<sub>A</sub><sup>1</sup>). En particulier, pour toutG 2Faisc<sub>A</sub>(X), l’isomorphisme Hom<sub>AS</sub>( SG, SG)⌘Hom<sub>AX</sub>(ıS! SG,G) fait correspondre `a id _SG un morphisme de faisceaux ıS! SG !G dit«d’adjonction». On obtient par ce proc´ed´e quatre morphismes d’ad- jonction dont deux sonta priori des isomorphismes :

ıS! S ! idFaisc(X) et idFaisc(X) !ıA⇤ı_A¹

id_{Faisc(S) ⌘}! Sı_S! et ı_A¹ı_{A⇤ ⌘}! id_Faisc(A) (⇤)

2Le terme “naturel” est employ´e au sens de “transformation naturelle entre foncteurs”. Les isomorphismes naturels seront indiqu´es par le symbole ‘⌘’.

1.2.5 Compte tenu de l’exactitude des foncteurs ı_S! et ı_A¹, leurs adjoints `a droite <sub>S</sub> et ı<sub>A⇤</sub> transforment un faisceau injectif en faisceau injectif. En e↵et, un faisceau I 2Faisc<sub>A</sub>(X) est injectif si et seulement si le foncteur Hom<sub>AX</sub>( ,I<sup>) : Faisc</sup>A(X) Mod(A) est exact. En compo- sant ce foncteur avec le foncteur exact ıS!: Faisc<sub>A</sub>(S) Faisc<sub>A</sub>(X), on obtient un foncteur exact Hom<sub>AX</sub>(ıS! ,I ) : Faisc<sub>A</sub>(X) Mod(A) qui est isomorphe `a Hom_AS( , SI). Par cons´equent

SI est injectif dans Faisc_A(S). La mˆeme id´ee s’applique pourıA⇤.

1.2.6 Suite exacte courte fondamentale. Pour toute partie localement ferm´ee S dans X de compl´ementaire not´e A:=X\S, les morphismes d’adjonction 1.2.4-(⇤) donnent lieu, pour F 2 Faisc(X), `a une suite exacte`a gauche:

0!ı_{S! S}(F)!F _!ı_A⇤ı_A¹(F)!0 (?) qui est exacte lorsque S est ouverte dans X, ou bien pour tout S, lorsque F estinjectif (plus g´en´eralement flasque).

1.2.7 Foncteurs d´eriv´es `a droite. Pour tout foncteur additif F :A Bentre deux cat´egories ab´eliennes, et pour chaquem2N, on noteIR<sup>m</sup>F :A Ble«m-i`eme foncteur d´eriv´e `a droite de F». On rappelle que pour toutA2Ob(A) et toute suite exacte :

0!A ^" !I^{0 d0}!I^{1 d1}!· · · ^{dm 1}!I^{m dm}!· · ·, (‡)

o`u lesI<sup>k</sup> sont injectifs, l’objetIR<sup>m</sup>F A est canoniquement isomorphe aum-i`eme objet de cohomo- logie, appel´e aussi«m-i`eme objet d´eriv´e», du complexe

0!F I^{0 Fd0}!F I^{1 Fd1}!· · · ^Fdm!¹ F I^{m Fdm}!· · ·, soit :

IR^mF A⌘H^m(F I^•) := kerFdm

imFd_{m 1}·

Lorsque F est exact `a gauche on a toujours IR⁰F ⌘F, et lorsque F est exact on a, en plus, IR^mF = 0 pour toutm >0.

1.2.8 R´esolutions. Les suites exactes (‡), not´eesA,!^" I^•, sont appel´es«r´esolutions injectives de A»et le morphisme"l’«augmentation»de la r´esolution. Lorsque les termesI^k sontF-acycliques, i.e. tels que IR^mF I^k= 0 pour tout m >0, la r´esolution est dite«F-acyclique». Un th´eor`eme de Leray d´emontre que IR<sup>m</sup>F A est ´egalement canoniquement isomorphe aum-i`eme objet de coho- mologie du complexe F K^•pour toute r´esolution F-acycliqueA,!K^•.

1.2.9 Les foncteurs d´eriv´es du foncteur des sections globales (X; ) : Faisc_Z(X) Mod(Z) sont not´es H^m(X; ). Il est important d’observer que dans la mesure o`u pour tout anneau A on a l’inclusion de cat´egories ab´eliennes Faisc<sub>A</sub>(X)✓Faisc<sub>Z</sub>(X), le foncteur (X; ) est aussi natu- rellement d´efini sur Faisc<sub>A</sub>(X) et a des foncteurs d´eriv´es par rapport `a cette cat´egorie qui sont canoniquement isomorphes aux foncteurs H^m(X; ) ; c’est une cons´equence du fait que tout fais- ceau injectif de Faisc_A(X) est flasque donc (X; )-acyclique dans Faisc_Z(X).

1.2.10 Dimension cohomologique d’un espace topologique.(³) Un espace topologique X g´en´eral (i.e.non soumis aux conditions 1.1) est dit «de dimension cohomologique finie»lorsqu’il existe un entier n2N tel que pourtoutfaisceauF ₂Faisc_Z(X) on ait :

H^m(X;F^{) = 0, pour toutm > n.}

Le plus petit de tels entiersnest«la dimension cohomologique de X»not´ee dimch(X).

Le th´eor`eme suivant est fondamental.

Th´eor`eme.(<sup>4</sup>) Soit X une vari´et´e topologique de dimensionn(<sup>5</sup>). Pour toutF 2Faisc<sub>Z</sub>(X): a)Il existe une r´esolution F ,!K<sup>0</sup><sub>!</sub>K<sup>1</sup><sub>!· · ·</sub>⇣K<sup>n</sup> o`u chaque K^j est un faisceauc-mou(⁶).

b)Il existe une r´esolution F ,!G⁰!G¹!· · ·⇣Gⁿ⁺¹ o`u chaque G^j est un faisceau flasque.

c) H^m(X;F) = 0 =H_c^m(X;F) pour toutm > n.

On en d´eduit :

Proposition. Soit X un espace topologique admettant une filtration ferm´ee finie : X=X₀◆X₁◆· · ·◆X_r◆X_r+1=?

o`u,Xi\Xi+1 est une vari´et´e topologique de dimension d_i. Alors dim_ch(X) = sup{d_i}.

Indications. En raisonnant par r´ecurrence, on suppose la proposition v´erifi´ee pour X1. Notons U :=X\X1. La suite exacte `a gauche 1.2.6-(?) avec S=U et A:=F, donne lieu a une suite exacte longue de cohomologie :

H^{i 1}(X1;F _X1)!Hⁱ X;ıU!F _U !Hⁱ(X;F)!Hⁱ(X1;F _X1)!Hⁱ⁺¹ X;ıU!F _U Il suffit donc de montrer que Hⁱ X;ıU!F _U = 0 pour i > d0. Or, F _U admet une r´esolution c- molle F _U ,!K ^• de longueur d0 d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent ; ıU! et exact et transforme c- mou en c-mou (loc.cit.§2.5.7) ; et, pour terminer, un faisceauc-mou sur X est acyclique pour le foncteur des sections globales (loc.cit.§2.5.10). Par cons´equent Hⁱ(X;ıU!F _U) est isomorphe au i-i`eme groupe de cohomologie du complexe (X;ı<sub>U!</sub>K <sup>•</sup>) dont les termes sont nuls en tout degr´e sup´erieur `a d₀. On en d´eduit que dim_ch(X)6sup{d_i}. La majoration inverse est laiss´ee au soins du lecteur.

1.2.11 Dimension injective de Faisc_A(X). On dit qu’une cat´egorie ab´elienne A est de

«dimension injective finie» lorsqu’il existe un entier d2N tel que tout objet A2Ob(A) ad- met une r´esolution injective finie : A,!I⁰!I¹!· · ·⇣Ir avec r6d. Le plus petit des tels

3Cf.[Go]§4.13–14 pp. 194–197.

4Cf.[KS] prop.§3.2.2 p. 149.

5On appellera«vari´et´e topologique de dimensionn»tout espace topologique d´enombrable `a l’infini et locale- ment hom´eomorphe `aRⁿ.

6On rappelle que un faisceauF ^{sur X est dit«c-mou»}lorsque pour toute partie compacteK✓X, le mor- phisme de restriction (X;F)! (K;F) estsurjectif ([KS] def.§2.5.5 p. 104). Une application continue f :X!Y entre deux espaces m´etrisables et localement compacts respecte la propri´et´e d’ˆetrec-mou, autre- ment ditf!(c-mou) =c-mou, et un faisceauc-mou surXest toujoursf!-acyclique (cf.1.5.1 puis [BoAl] Grivel

§2.10 et suivants). Enfin, si X est en plus d´enombrable `a l’infini, un faisceau c-mou est aussi f_⇤-acyclique ([KS] prop.§2.5.10, p. 106).

entiers dest «la dimension injective de A»not´ee dim_inj(A). Dans le cas o`u A= Faisc_A(X), on notera diminj(X/A) plutˆot que diminj(Faisc_A(X)).

Th´eor`eme.(⁷) dim_ch(X)6dim_inj(X/A⁾6dim_ch(X) + dim_chA ^{+ 1.}

1.2.12 Remarque. Soulignons que lorsque une cat´egorie ab´elienneAest de dimension injective finied, on aIR^mF = 0 pour toutm > det pourtout foncteur additifF :A B. Dans le cas o`u A= Faisc<sub>A</sub>(X) on a mieux : si le foncteur F est de«nature topologique», par exemple (X; ) o`u d´esigne une famille de supports, la dimension cohomologique de X donne des conditions d’annulation des foncteurs d´eriv´es a priori plus fortes et ind´ependantes de l’anneau A ^{dans la} mesure o`u dim<sub>ch</sub>(X)6dim<sub>inj</sub>(X/A) d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent(⁸).

1.2.13 Le bifoncteurH om surFaisc_A(X). PourF,G ₂Faisc_A(X), on noteH omAX(F,G) (et mˆemeH om(F,G) lorsque A est sous-entendu) le faisceau associ´e au pr´efaisceau qui fait cor- respondre `a un ouvert U ✓X le A-module Hom<sub>AU</sub>(F <sub>U</sub>,G <sub>U</sub>). On obtient ainsi un bifoncteur biadditif H om <sup>: Faisc</sup>A(X)⇥Faisc<sub>A</sub>(X) Faisc<sub>A</sub>(X) contravariant par rapport `a la premi`ere coordonn´ee et covariant par rapport `a la seconde coordonn´ee. Pour tout F ₂Faisc_A(X), le fonc- teur H om(F, ) : Faisc_A(X) Faisc_A(X) est exact `a gauche et inversement pourH om( ,F).

1.2.14 On prendra garde du fait que pour x2X, le morphisme naturel : H omAX(F,G)x

"x(F,G)

!Hom_A(Fx,Gx)

n’est g´en´eralement pas un isomorphisme, mais il l’est lorsque F est un faisceau localement constant de fibres de type fini sur A⁽⁹), ce qu’on appellera un«syst`eme local». En e↵et, siL <sup>est</sup> un syst`eme local, il admet des pr´esentations finies locales (A est suppos´e nœth´erien !),i.e.pour tout x2X, il existe un voisinage ouvert x2U✓X et une suite exacte `a droite A<sup>r</sup><sub>U</sub>! A<sup>s</sup><sub>U</sub>! L <sub>U</sub> !0 ; d’autre part, les foncteurs H omAU( ,G<sup>)</sup>x et Hom<sub>A</sub>( <sub>x</sub>,Gx) sont exacts `a droite et alors "_x(F,G) est un isomorphisme si"_x(Aⁿ_U,G _U) est un isomorphisme pour toutn2N ce qui est ´evident puisque H omAU(Aⁿ_U,G_U) = (G _U)ⁿ (cf.1.11.2).

1.2.15 Dans le mˆeme ordre d’id´ees, on d´emontre (cf.[Go]§7.4 p. 265) que pour tout syst`eme local L localement libre, le foncteur H omAX(L , ) : Faisc(X) Faisc(X) est exact, donc

IR^mH omAX(L,G) =Ext^m_AX(L,G) = 0, pour toutm >0, et alors IRH omAX(L^{, )}⌘H omAX(L^{, ).}

1.3 Cat´egorie des complexes de faisceaux

1.3.1 Cat´egorie des complexes. SoitAune cat´egorie additive. On noteC(A) la cat´egorie dont les objets sont les «complexes d’objets de A»:

A^•= (A^m;d_A,m)_m2Z : ⇣

· · · ^dA,m!¹ A^{m dA,m}!A^{m+1 dA,m+1}!A^{m+2 dA,m+2}!· · ·⌘

7Cf.[BoAl] Borel§V.1.17–18 pp. 55–59, et [Ha₁]§I.4.6 p. 42.

8Voir l’exercice§II.9, p. 132 de [KS].

9Ce qui n’est pas sans rappeler les faisceauxOX-coh´erents sur les vari´et´es alg´ebriques, auquel cas l’assertion est vraie pour les mˆemes raisons.

o`u d_A,m2MorA(A^m,A^m+1) et d_A,m d_{A,m 1}= 0 pour tout m2Z. Un «morphisme de com- plexes»↵_•:A^•!B^• est une famille{↵_m2MorA(A^m,B^m)}m2Z v´erifiant↵_m+1 d_A,m=d_B,m

↵_mpour toutm2Z; on note Mor_C(A)(A^•,B^•) l’ensemble de tels morphismes muni de sa structure naturelle de groupe ab´elien. La cat´egorie C(A) est ab´elienne lorsqueAl’est.

Dans le cas o`u A= Faisc<sub>A</sub>(X), on notera C<sub>A</sub>(X) plutˆot que C(Faisc<sub>A</sub>(X)). Le groupe ab´e- lien MorC<sub>A</sub>(X)(F <sup>•</sup>,G<sup>•</sup>) est muni d’une structure naturelle de A-module. On omettra souvent de pr´eciser l’anneau A dans ces notations et lorsque X sera r´eduit `a un point, la notation C_A(•) sera abr´eg´ee `a C_A.

1.3.2 Foncteur de translation. Soit A une cat´egorie additive. Le foncteur de «translation»

T :C(A) C(A) associe `aA<sup>•</sup>= (A<sup>m</sup>;d<sub>A,m</sub>)<sub>m2Z</sub>le complexeT A<sup>•</sup>= (B<sup>m</sup>;d<sub>B,m</sub>)<sub>m2Z</sub>, avecB<sup>m</sup>= A<sup>m+1</sup> et dB,m= dA,m+1, et `a ↵•2MorC(A)(A^•,B^•) le morphisme de complexes T↵•:= •: T A^•!T B^•, avec m=↵m+1.

Nous adoptons la notation tr`es r´epandue suivante pour l’it´erationT^d=

z }|d { T · · · T: A^•[d] :=T^dA^• et ↵_•[d] :=T^d↵_•

L’entier dest le«d´ecalage»(vers la gauche si d >0) de la translation T^d.

1.3.3 Complexes concentr´es en un seul degr´e. SoientAune cat´egorie additive etd2Z. Un complexe A^• de C(A) est dit«concentr´e en degr´e d», lorsqueA^m= 0 pour toutm6=d.

1.3.4 Remarque et notation. Soient Aune cat´egorie additive et d2Z. Pour toutA2A, on note A[d] le complexe (A^m;dm) o`u A <sup>d</sup>=A et A<sup>m</sup>= 0 pour tout m6= d, puis dm= 0, pour toutm. Pour↵2MorA(A,B), on note↵[d] :A[d]!B[d] le morphisme de complexes nul en tous degr´es sauf en d o`u il est ´egal `a ↵. On obtient ainsi un foncteur pleinement fid`ele ( )[d] :A C(A) d’inverse `a gauche le foncteur ( ) ^d:C(A) A qui fait correspondre A^• A ^d et ↵_•

↵ d. L’image essentielle du foncteur ( )[d] est la sous-cat´egorie pleine des complexes concentr´es en degr´e d. Lorsque d= 0, on omettra souvent la notation ; par exemple, on ´ecrira Mor_C(A)(A,B^•)

`

a la place de Mor_C(A)(A[0],B^•).

1.3.5 Foncteurs induits. Un foncteur additif entre deux cat´egories additives F :A₁ A₂ in- duit naturellement un foncteur additif entre les cat´egories des complexes C(A_i). En e↵et, si A^•:= (A^m, d_m)_m2Z est un complexe d’objets de A1, la famille F A^•:= (F A^m,Fd_m)_m2Z est un complexe d’objets de A2 et si '•:={'m:A^m₁ !A^m₂ }m2Z est un morphisme de complexes, il en est de mˆeme de F'•:={F'm:F A^m₁ !F A^m₂}m2Z. Le foncteur ainsi d´efini sera d´esign´e (par abus) par la mˆeme notation F :C(A1) C(A2) ; c’est un foncteur additif qui a le mˆeme type d’exactitude que F :A1 A2 lorsque les cat´egoriesAi sont ab´eliennes.

1.3.6 Objets d´eriv´es. Soit Aune cat´egorie ab´elienne. Pour tout complexe de C(A) : A^•= · · ·A^{m 1 dm}!¹ A^{m dm}!A^{m+1 dm+1}!· · · ,

et tout m2Z, on appelle«m-i`eme objet d´eriv´e de A^•»l’objet : H^mA^•:= ker(dm)

im(dm 1)

Pour tout morphisme de complexes (de degr´e 0) ↵_•:A^•!B^•, on note H^m↵_•:H^mA^• !H^mB^•

le morphisme induit en cohomologie par ↵•. Ces d´efinitions font de H^m:C(A) A un foncteur additif.

Dans le cas o`u A= Faisc_A(X), on noteH ^mF ^•plutˆot que H^mF^• pour insister sur le fait que H ^mF ^•est un faisceau sur X et pour ´eviter une ´eventuelle confusion avec H^m( (X;F^•)).

1.3.7 D´efinitions. Soit Aune cat´egorie additive.

1) Un morphisme ↵_•2Mor_C(A)(A^•,B^•) est dit«homotope `a z´ero»lorsqu’il existe une famille de morphismes h_m2MorA(A^m,B^{m 1}) _m2Z, telle que

↵m=hm+1 d_A,m d_B,m 1 hm, pour toutm2Z.

Deux morphismes↵•, •2Mor_C(A)(A^•,B^•) sont dits«homotopes»lorsque leur di↵´erence (↵•

•) est homotope `a z´ero, on note alors ↵<sub>•</sub>⇠ •. La relation ‘⇠’ est une congruence de groupe ab´elien sur Mor<sub>C(A)</sub>(A<sup>•</sup>,B<sup>•</sup>) qui poss`ede deux propri´et´es fondamentales :

a)Si↵_•⇠ •2Mor_C(A)(A^•,B^•)alors F(↵_•)⇠F( _•)2Mor_C(B)(F A^•,F B^•), pourtoutfonc- teur additif F :A B.

b)LorsqueAest ab´elienne, si↵•⇠ •2MorC(X)(F ^•,G^•)alorsH^m↵•=H^m •pour toutm2 Z.

2) Lorsque A est ab´elienne, deux complexes A^• et B^• sont dits «quasi-isomorphes» s’il existe

↵_•2Mor_C(A)(A^•,B^•) tel queH^m↵_•:H^mA^•!H^mB^• est un isomorphisme pour tout m. Un tel morphisme est appel´e«un quasi-isomorphisme».

3) Lorsque A est ab´elienne, un quasi-morphisme ↵_•2Mor_C(A)(A^•,B^•) o`u chaque terme de G^• est injectif est appel´e«une r´esolution injective de A^•».

Lorsque A= Faisc_A(X), un quasi-morphisme ↵•2Mor_C(X)(F ^•,G^•) o`u chaque terme de G^• est flasque,c-mou,. . ., est appel´e«une r´esolution flasque, c-molle,. . ., de F^•»

1.3.8 Pour tout foncteur additif et exact entre cat´egories ab´eliennes F :A B, le foncteur induit F :C(A) C(B) transforme morphismes homotopes en morphismes homotopes et quasi- isomorphismes en quasi-isomorphismes.

1.3.9 Troncatures intelligentes. Soit A une cat´egorie ab´elienne. On rappelle la d´efinition du foncteur de «troncature(intelligente)`a l’ordre m», not´e⌧₆m:C(A) C(A), pourm2Z.

Pour tout complexe de C(A) : A^•= ⇣

· · ·A^{m 1 dm}!¹ A^{m dm}! A^{m+1 dm+1}!A^{m+2 dm+2}! · · ·⌘ ,

on pose : || || ✓" ⁰"

⌧_6mA^•:=⇣

· · ·A^{m 1 dm}!¹ A^{m dm}! im(d_m) ⁰! 0 ⁰! · · ·⌘ ,

(¹⁰). Pour tout morphisme de complexes↵_•:A^•!B^•, on note⌧_6m↵_•:⌧_6mA^•!⌧_6mB^•le mor- phisme de complexes d´efini par :

8<

:

(⌧_6m↵_•)_k =↵_k sik6m, (⌧₆m↵•)m+1=↵m+1 im(dm)

(⌧₆m↵_•)k = 0 sik > m+ 1.

1.3.10 Le complexe ⌧₆mA^• est un sous-complexe deA^• qui v´erifie par construction

⇢H^k(⌧_6mA^•)⌘ H^kA^•, sik6m, H^k(⌧₆mA^•) = 0, sinon.

L’injection⌧₆mA^•✓A^•est naturelle par rapport `aA^•,i.e. provient d’un morphisme de foncteurs qu’on notera ‘✓ :⌧₆m!id’.

1.3.11 Les foncteurs de troncaturene sont pas exacts; en e↵et, apr`es troncature des termes d’une suite exacte de complexes la suite de complexes obtenue n’est pas toujours exacte.

1.3.12 Cˆone d’un morphisme de complexes. SoitA une cat´egorie additive. Pour tout ↵_•2 Mor_C(A)(A^•,B^•), on appelle «cˆone de ↵_•», la donn´ee du complexe C(↵_•)^• de termes C(↵_•)^k= A^k B^k+1 et de di↵´erentielle (f, e)7! d_A(f) ↵(e), d_B(e) , et des morphismes de complexes

•:B^•!C(↵_•)^•, (f) = (f,0), et _•:C(↵_•)^•!A^•[1], (f, e) =e. On repr´esente ces donn´ees sous la forme :

A^{• ↵•}!B^{• •}!C(↵_•)^• _[+1]^•!A^•[1] (⇧) Deux propri´et´es du cˆone d’un morphisme de complexes :

• F(C(↵_•)^•) =C(F↵_•)^•, pour tout foncteur additifF :A B.

• LorsqueA est ab´elienne, la suite longue qui se d´eduit de (⇧) :

H^{m 1}C(↵_•)^{• Hm}_[+1]¹!^• H^mA^{• Hm↵}!^• H^mB^{• Hm} !^• H^mC(↵_•)^{• H}_[+1]^m !^• H^m+1A^• estexacte.

1.4 Cat´egorie d´eriv´ee(¹¹)

1.4.1 Soit Aune cat´egorie ab´elienne. On note D(A) la cat´egorie d´eriv´ee de A. On rappelle que les objets de D(A) sont les mˆemes que pour C(A) et que Mor_D(A)(A^•,B^•) est d´efini `a partir de Mor_C(A)(A^•,B^•) en identifiant les morphismes homotopes et en inversant formellement ses quasi- isomorphismes. Les quasi-isomorphismes de complexes sont donc des isomorphismes en cat´egorie d´eriv´ee.

Lorsque A= Faisc_A(X), on notera D_A(X) plutˆot que D(Faisc_A(X)). Le groupe ab´elien Mor_DA(X)(F^•,G^•) est muni d’une structure de A-module. On omettra souvent de pr´eciser l’an- neau A dans ces notations et lorsqueX sera r´eduit `a un point, la notation D<sub>A</sub>(•) sera abr´eg´ee `a D_A.

10L’appellation de«troncature intelligente»est par opposition `a la troncature dite«bˆete»qui di↵`ere de⌧₆mA^• par le fait que tous les termes en degr´es sup´erieurs `amsont nuls.

11Cf.[Ha1] chapitre I, pp. 19–84.

1.4.2 Le foncteur de translation T :C(A) C(A) est clairement une ´equivalence de cat´egories qui passe en cat´egorie d´eriv´eeT :D(A) D(A).

1.4.3 Lorsque↵_•, _•:A^•!B^•sont deux morphismes homotopes, on aH^m↵_•=H^m _•et comme H^mtransforme (par d´efinition) un quasi-isomorphisme en isomorphisme, le foncteurH^m:C(A) Ainduit un foncteurH^m:D(A) A.

1.4.4 Triangles exacts. Un «triangle»de D(A) est la donn´ee d’un triplet (↵_•, _•, _•) de mor- phismes de D(A) dont les sources et buts se correspondent de la mani`ere suivante :

A^{• ↵•}!B^{• •}!C^• _[+1]^•!A^•[1]

Les complexes A^•,B^•,C^• sont appel´es les «sommets»du triangle. Un morphisme d’un triangle (↵_1•, _1•, _1•) vers un triangle (↵_2•, _2•, _2•) est la donn´ee d’un triplet (a_•, b_•, c_•) de morphismes de D(A) dont les sources et buts correspondent au diagramme :

A₁^{• ↵1•}!B₁^{• 1•}!C₁^• _[+1]^1•!A₁^•[1]

??

y^a• ??y^b• ??y^c• ??y^a•[1]

A₂^{• ↵2•}!B₂^{• 2•}!C₂^• _[+1]^2•!A₂^•[1]

et tels que ce diagramme est commutatif (dansD(A)). Le morphisme (a_•, b_•, c_•) est un«isomorphisme de triangles»lorsque ses composantes sont des isomorphismes (dans D(A)).

D´efinition. Un triangle de D(A) est dit«exact»(ou «distingu´e») s’il est isomorphe au triangle associ´e au cˆone d’un morphisme de C(A) (1.3.12-(⇧)).

1.4.5 Dans un triangle exact (↵_•, _•, _•) la composition de deux morphismes cons´ecutifs est tou- jours nulle et dans un morphisme de triangles exacts (a_•, b_•, c_•), il suffit que deux morphismes soient des isomorphismes pour que le troisi`eme le soit.

1.4.6 Cat´egories triangul´ees. On rappelle de mani`ere tr`es succincte que l’on appelle«cat´egorie triangul´ee»une cat´egorie additive munie d’un automorphisme de«translation» T et d’une classe de «triangles exacts» le tout satisfaisant quatre axiomes (cf. [Ha1] ch. I §1 p. 20). La cat´egorie D(A) munie de la classe des “triangles exacts” est une cat´egorie triangul´ee (loc.cit.I§2 p. 25).

1.4.7 Un foncteur additif entre deux cat´egories triangul´ees est dit«exact»lorsque : (a) il commute aux foncteur de translation, et (b) il transforme un triangle exact en un triangle exact.

1.4.8 Comme dans 1.3.12, tout triangle exact de D(A) : A^{• ↵•}!B^{• •}!C^• _[+1]^•! donne lieu `a une suite exacte longue deA:

· · · ^{Hm 1}!^• H^mA^{• Hm↵}!^• H^mB^{• H}

m •

!H^mC^{• H}

m •

!H ^m+1A^{• Hm+1↵}!^• · · ·

Propri´et´e qui est ´egalement v´erifi´ee par les foncteurs Mor_D(A)(M^•, ) et Mor_D(A)(,M^•) pour tout M^•2D(A) ; a savoir, la suite longue :

· · ·!Mor_D(A)(M^•,A^•)!Mor_D(A)(M^•,B^•)!Mor_D(A)(M^•,C^•)!Mor_D(A)(M^•,A^•[1])!· · ·

est exacte de mˆeme que celle (contravariante) associ´ee `a Mor_D(A)( ,M^•).

1.4.9 Amplitude cohomologique d’un complexe. SoitAune cat´egorie ab´elienne. Pour tout A^•2D(A), on appelle«amplitude cohomologique de A^•», not´ee [[A^•]]_coh, le plus grand intervalle [[a, b]]✓Z tel queH^aA^•6= 0 et H^bA^•6= 0. On a

[[A^•[m]]]_coh+m= [[A^•]]_coh.

1.4.10 Support cohomologique d’un complexe de faisceaux. Pour tout F ^•₂D(X), on appelle«support cohomologique de F ^•»: l’ensemble |F^•_|:=[^m2Z|H ^mF ^•_| (1.2.1). Comme dans le cas des faisceaux, le support cohomologique d’un complexe de faisceaux n’a aucune raison a priori d’ˆetre localement ferm´e.

1.4.11 LorsqueF :A Best un foncteur additif et exact, son action sur les complexes passe en cat´egories d´eriv´eesF :D(A) D(B) (1.3.8) et l’on a un diagramme commutatif de foncteurs :

D(A) ^F!D(B)

H^m

??

y ??y^Hm A ^F! B

En particulier, lorsque A= Faisc_A(X), on a pour toute partie A✓X et tout localement ferm´e S✓X:

ı_S! H ^mF^• ⌘H ^{m ı}S!F ^{•) et} H ^mF ^• _A⌘H ^m F ^•_A (La notation H ^mF ^•_Asera donc non ambigu¨e.)

1.4.12 Notation. Pour toute cat´egorie ab´elienne A, on note on note D⁺(A) (resp. D (A)) la sous-cat´egorie pleine de D(A) dont les objets sont les complexes A^• v´erifiant H^mA^•= 0, pour m⌧0 (resp. m 0). On pose alors D^b(A) :=D⁺(A)\D (A).

1.4.13 La cat´egorieD⁺(A) est clairement stable par le foncteur de translation deD(A) et, munie des triangles exacts de D(A) `a sommets dans D<sup>+</sup>(A), c’est une cat´egorie triangul´ee et mˆeme une«sous-cat´egorie triangul´ee de D(A)», ce qui signifie que si deux sommets d’un triangle exact de D(A) appartiennent `a D⁺(A), le troisi`eme sommet lui appartient ´egalement. Cette remarque s’applique ´egalement aux sous-cat´egories D (A) et D^b(A).

1.4.14 Foncteurs d´eriv´es `a droite. Pour tout foncteur F :A B, additif et exact `a gauche entre cat´egories ab´eliennes, il existe un «le foncteur d´eriv´e `a droite de F», not´e IRF, d´efini de D⁺(A) vers D⁺(B). Le foncteur IRF :D⁺(A) D⁺(B) est caract´eris´e par les deux propri´et´es suivantes :

IR-i) IRF est exact entre cat´egories triangul´ees(1.4.7,1.4.13).

IR-ii)IRF “prolonge” les foncteursIR^mF :A B,i.e.il existe un isomorphisme naturel IR^mF(A)⌘H^mIRF(A[0]),

pour tout A2Ob(A) (1.2.7,1.3.4).

Pour tout complexe I^•2D⁺(A) `a termes injectifs, on a IRF(I^•) =F(I^•). En particulier pour chaque A^•2D⁺(A), tout quasi-isomorphisme de complexes ":A^•!I^• d´etermine un isomor- phisme :

IRF(A^•) _(")!^⇠ F(I^•)2D⁺(A).

De mˆeme, un quasi-isomorphisme ":A^•!K^•, o`u K<sup>•</sup>2D<sup>+</sup>(A) et o`u chaque terme de K^• est F-acyclique (1.2.8), donne lieu `a un isomorphisme (") :IRF(A^•)⇠F(K^•).

1.4.15 L’exactitude des foncteurs IRF `a une cons´equence pratique tr`es utile qui rel`eve de la pro- pri´et´e g´en´erale suivante. ´Etant donn´e un morphisme ⌅:F1!F2 entre deux foncteurs exacts de cat´egories triangul´ees F1,F2:D⁺(A) D(B), le morphisme ⌅ est un isomorphisme si et seule- ment si⌅(A[0]) :F1(A[0])!F2(A[0]) est un isomorphisme pour tout A2Ob(A), et mˆeme pour tout A2Ainjectif.

1.4.16 Subtilit´e. Soient A ^F!B ^G!Cdeux foncteurs additfs exacts `a gauche entre cat´egories ab´eliennes. Il existe un morphisme naturel de foncteursIR(G F)!IRG IRF. Ce morphisme est un isomorphisme si et seulement si F transforme un objet injectif de A en un objetG-acyclique de B.

1.4.17 Lorsque A est de dimension injective finie d(1.2.11), tout objet de A admet des r´esolu- tions injectives de longueur born´ees pard. On en d´eduit que tout complexe deC(A) `a cohomologie born´ee est isomorphe dans D(A) `a un complexe de longueur finie `a termes injectifs. Dans ce cas, pourtoutfoncteur additif exact `a gauche F :A B, le foncteur d´eriv´eIRF :D⁺(A) D⁺(B) v´erifie IRF(D^b(A))✓D^b(B).

1.4.18 Comme cons´equence des deux derni`eres remarques, les foncteurs additifs exacts `a gauche ıA⇤: Faisc_A(A) Faisc_A(X) et S: Faisc_A(X) Faisc_A(S) (1.2.3), v´erifient pour tous F : Faisc_A(X) Aet G: Faisc_A(S) Aadditifs et exacts `a gauche :

8>

<

>:

i)IRı_A⇤:D⁺(A) D⁺(X) ii)IRıA⇤(D^b(A))✓D^b(X) iii)IRF IRı_A⇤⌘IR(F ı_A⇤)

et 8>

<

>:

i)IR _S:D⁺(X) D⁺(S) ii)IR S D^b(X) ✓D^b(S) iii)IRG IR _S⌘IR(G _S)

puisque les foncteurs ıA⇤ et S transforment injectifs en injectifs (1.2.5) et compte tenu des hypo- th`eses de finitude cohomologique impos´ees `aX (1.1).

Notation. Le foncteur d´eriv´e IR _S sera not´e ı^!_S conform´ement `a l’usage (cf.1.5.4).

1.4.19 Changement de base pour les inclusions localement ferm´ees. On reprend les nota- tions de 1.2.2. Soient S et T deux parties localement ferm´ees de X et consid´erons le diagramme d’inclusions :

S\T ^ı

TS\T

, ! T

ı^S_S\T

??

y^✓ ⇤ ^✓??y^ıXT S , _ıX !

S

X

Pour tout F 2Faisc(S) la restriction d’une section de ı^X_S!F `a T est clairement, par d´efinition, une section de ı^T_S\T!(F _S\T). On a ainsi un morphisme naturel dans Faisc(T) :

ı^X_T ¹ı^X_S!F _⌘^⇧!!ı^T_S\T!ı^S_S\T¹F