Espaces de Sobolev fractionnaires H^(1/2).

Notes du cours d'Équations aux Dérivées Partielles de l'ISIMA, deuxième année http://www.isima.fr/leborgne

Complément : espaces de Sobolev fractionnaires

Gilles Leborgne 13 août 2007

Table des matières

1 Espaces de Sobolev H^s pour s∈R 1

1.1 Introduction . . . 1

1.2 Espaces de SobolevH^s(Rⁿ)pour s∈R . . . 1

1.3 Espaces de SobolevH^s(Rⁿ+)pours∈R. . . 3

1.4 Espaces de SobolevH^s(Ω) . . . 4

1 Espaces de Sobolev H

pour s ∈ R

1.1 Introduction

Références : principalement Lions et Magenes [4], et cours de l'Ecole Polytechnique de Gou- laouic [2] et de Goulaouic et Meyer [3]. Prérequis : cours de distribution, voir cours de 2ème année ou par exemple Schwartz [5] ou [2] ou [3].

SoitΩun ouvert deRⁿ de frontièreΓ. On noteD⁰(Ω)l'espace des distributions dénies surΩ, et on note S⁰ l'espace des distributions tempérées deRⁿ. On rappelle que pourm∈N, on a :

H^m(Ω) ={u∈ D⁰(Ω) :D^αu∈L²(Ω)pour toutα∈Nⁿ t.q.|α| ≤m}, où|α|=

Xn

i=1

αi quand α= (α1, ..., αn)∈Nⁿ et oùD^αu= ∂^|α|u

∂^α1x1...∂^αnxn. Et H^m(Ω)est muni du produit scalaire :

(u, v)H^m(Ω)= X

α∈Nⁿ,|α|≤m

(D^αu, D^αv)L²(Ω), (1.1) qui en fait un espace de Hilbert.

Les espacesH^m pourmentier ne sont pas susant pour obtenir des résultats optimaux pour les théorèmes de traces commeu∈H¹(Ω)→u|Γ∈H¹²(Γ). Par exemple le facteur ¹₂ est nécessaire pour contrôler les termes à ajouter dans le cadre d'une stabilisation de la condition inf-sup : Cf. Nitsche [?], Pitkäranta [?], Barbosa et Hughes [?], qui proposent une stabilisation optimale par des termes de typeh¹²||.||. On utilise pour cela l'estimation inverse :

∃c >0, ∀vh∈Vh, h¹² ||∂vh

∂n^|Γ||L²(Γ)≤c||gradv~ h||L²(Ω). (1.2) quand le maillage est quasi-uniforme, et Vh = Pk-continues (avec k ≥ 1), où on rappelle que

∂vh

∂n =^défgradv~ h.~nsurΓ.

On va caractériser les espacesH¹²(Γ) et H⁻¹²(Γ), et obtenir en particulier la continuité de la seconde application trace γ1:u∈H¹(Ω)→ ^∂u_∂n ∈H⁻¹²(Γ):

∃c >0, ∀v∈H¹(Ω), ||∂v

∂n^|Γ||_H−1

2(Γ)≤c||gradv||~ L²(Ω).

1.2 Espaces de Sobolev H

(R

) pour s ∈ R

On se sert du fait que la transformée de Fourier est un isomorphisme deL²(Rⁿ). Ici on est dans l'espaceRⁿ tout entier, et il n'y a pas de problème de bord (problème dû àΓ).

On rappelle que pour u ∈ L²(Rⁿ;R) =^notéL²(Rⁿ) ou bien u ∈ L²(Rⁿ;C) =^notéL²(Rⁿ), sa transformée de Fourier uˆ:Rⁿ →Cest donnée par exemple par u(ˆ ~ξ) =R

Rⁿe^−i~x.~ξu(~x)dx, et on a alorsu(~x) = _(2π)¹n

R

Rⁿe^+i~x.~ξu(ˆ ~ξ)dξ (formule d'inversion).

On rappelle que, par transformée de Fourier, la dérivation _∂x^∂u_k est transformée en l'expression algébrique d∂u

∂xk(~ξ) =iξku(ˆ ~ξ). Ainsiu∈H^m(Ω)équivaut à|ˆu(~ξ)~ξ^α| ∈L²(Ω)pour toutα∈Nⁿ t.q.

α≤m, où~ξ^α=ξ₁^α1...ξ_n^αn=Q_n

k=1ξ_k^αk, et donc : H^m(Rⁿ) ={u∈L²(Rⁿ) :

Z

Rⁿ

|ˆu(~ξ)|²|~ξ^α|²dξ <∞pour tout|α| ≤m}, Ou de manière équivalente :

H^m(Rⁿ) ={u∈L²(Rⁿ) : Z

Rⁿ

|u(ˆ ~ξ)|²(1 +||~ξ||²)^mdξ <∞}. (1.3) Exercice 1.1 Montrer qu'il existe deux constantesc1 etc2 telles que

c1(1 +||~ξ||²)^m≤P

|α|≤m(ξ~^α)²≤c2(1 +||ξ||~ ²)^m. En déduire (1.3).

Dénition 1.2 Pours∈R(positif ou négatif), on note : H^s(Rⁿ) ={u∈ S⁰:

Z

Rⁿ

|ˆu(ξ)|~ ²(1 +||ξ||~ ²)^sdξ <∞}.

On le munit du produit scalaire : (u, v)s=

Z

Rⁿ

ˆ

u(ξ)ˆ~v(~ξ)(1 +||~ξ||²)^sdξ.

(Les transformées de Fourier sont à valeurs complexes, d'où l'emploi du conjugué.) Ainsi H^s(Rⁿ) est un espace de Hilbert (voir Goulaouic [2] et remarque suivante).

Remarque 1.3 Si on noteωs(ξ) = (1 +~ ||ξ||~ ²)^s (un poids) et si on note : L²_ωs(Rⁿ) ={u∈L²_loc(Rⁿ;C) :

Z

Ω

|u(~ξ)|²ωs(ξ)~ dξ <∞},

alors H^s(Rⁿ) est l'espace de Hilbert des distributions tempérées v ∈ S⁰ dont la transformée de Fouriervˆ=uappartient àL²_ωs(Rⁿ).

Proposition 1.4 Le dual de H^s(Rⁿ)(l'ensemble des formes linéaires continues sur H^s(Rⁿ)) est l'espaceH^−s(Rⁿ)(pour la dualitéh., .iD⁰,D).

Preuve. On applique la remarque précédente : par Fourier il s'agit de montrer que le dual de L²_ωs(Rⁿ)estL²_ω−s(Rⁿ)dans la dualité h., .iL²,L².

Théorème 1.5 (Théorème de Sobolev.) Pourk∈Nets > k+ⁿ₂, l'espaceH^s(Rⁿ)est continûment plongé (injection canonique continue) dans B^k(Rⁿ)espace des fonctions bornées surRⁿ ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre k; H^s(Rⁿ)est inclu dansC^k(Rⁿ); et de plus :

||~x||→∞lim |D^αu(~x)|= 0 pour tout u∈H^s(Rⁿ)et |α| ≤k.

(Toute fonction u∈H^s(Rⁿ)est bornée, continue et s'annule à l'inni, de même que ses dérivées jusqu'à l'ordrek, quands > k+ⁿ₂.)

Preuve. Montrons que

∃c >0, ∀u∈H^s(Rⁿ), ||Dd^αu||_L1(Rⁿ)≤c||u||_Hs(Rⁿ).

Comme||D^αu||∞≤ ||Dd^αu||L¹(Rⁿ)on aura le caractère injection canonique continue, puisDdd^αuest continue, donc D^αuest continue, puis D^αu s'annule à l'inni carDd^αu∈L¹(Rⁿ) (voir début du cours sur les transformées de Fourier, poly distributions).

On a avec CauchySchwarz : Z

Rⁿ

|Dd^αu(~ξ)dξ = Z

Rⁿ

|~ξ^αu(ˆ ~ξ)|dξ≤³ Z

Rⁿ

~ξ^2α

(1+~ξ²)^s dξ´¹

2³ Z

Rⁿ

(1+~ξ²)^s|ˆu(ξ)|~ ²dξ´¹

2 =c||u||_H^s_(Rⁿ₎,

oùc=³ R

Rⁿ ξ~^2α (1+~ξ²)^s dξ

´¹

2.

Remarque 1.6 On a : sik, `∈Netk > ` alorsH^k(Rⁿ)⊂H^`(Rⁿ). De même on a : sis, t∈Ret s > t alorsH^s(Rⁿ)⊂H^t(Rⁿ). Voir Goulaouic [2].

Remarque 1.7 Pour la masse de Dirac en~0, on aδ~0 ∈ H^s(Rⁿ) ssis < −ⁿ₂. Ainsi dans Ron a δ0∈H⁻¹(R), et dansR² on aδ~0∈/ H⁻¹(R²).

1.3 Espaces de Sobolev H

(R

) pour s ∈ R

On introduit un ouvert avec bordΓ, le demi-espace supérieur Rⁿ₊ :

Ω =Rⁿ₊=Rⁿ⁻¹×R^∗₊={(~x, z)∈Rⁿ⁻¹×R t.q. z >0} ⊂Rⁿ. (1.4) Et doncΓ =Rⁿ⁻¹× {0}.

On note (application trace sur le plan horizontal, i.e. application restriction au bord) : γ0:

(D(Rⁿ) → D(Rⁿ⁻¹)

ϕ →ϕ(.,0), (1.5)

i.e.γ0(ϕ)∈ D(Rⁿ⁻¹)est donnée parγ0(ϕ)(~x) =ϕ(~x,0).

Théorème 1.8 Pours > ¹₂, l'applicationγ0 se prolonge par continuité et densité en une applica- tion (encore notéeγ0) :

γ0: (

H^s(Rⁿ) →H^s−12(Rⁿ⁻¹) ϕ →ϕ(.,0),

application linéaire continue qui de plus est surjective. De plus il existe un relèvement R0 : H^s−12(Rⁿ⁻¹) →H^s(Rⁿ) qui est bicontinu (bijectif continu d'inverse continu), et qui vérie donc γ0◦R0=I (identité deH^s−12(Rⁿ⁻¹)).

En particulierγ0:H¹(Ω)→H¹²(Γ)est linéaire, continue et surjective (cass= 1).

(N.B. : le résultat est faux pours= ¹₂.)

Preuve. La linéarité est immédiate. Pour la continuité, par densité deD(Ω)dansH^s(Ω), il sut de montrer :

∃c >0, ∀ϕ∈ D(Ω), ||γ0ϕ||

H^s−12(Rⁿ⁻¹)≤c||ϕ||_H^s_(Rⁿ₎. NotonsFz la transformée de Fourier partielle :Fz(ϕ)(~x, η) =R

z∈Re^−izηϕ(~x, z)dz, de transformée inverse donnantϕ(~x,0) = _2π¹ R

η∈RFzϕ(~x, η)dη. D'où :

||γ0ϕ||

H^s−12(Rⁿ⁻¹)= 1 2π

³Z

Rⁿ⁻¹

| Z

R

ˆ

ϕ(ξ, η)~ dη|²(1 +~ξ²)^s−12 dξ´¹

2

Et par CauchySchwarz :

| Z

R

ˆ

ϕ(~ξ, η)dη| =| Z

R

ˆ

ϕ(ξ, η)(1+~ ~ξ²+η²)^2s 1

(1+~ξ²+η²)^s2 dη|

≤( Z

R

|ϕ(ˆ ξ, η)|~ ²(1+~ξ²+η²)^sdη)¹²( Z

R

1

(1+ξ~²+η²)^sdη)¹²

≤( Z

R

|ϕ(ˆ ξ, η)|~ ²(1+~ξ²+η²)^sdη)¹² g(ξ)~ ¹²,

oùg(~ξ) =R

R 1

(1+~ξ²+η²)^sdη. D'où, avec Fubini :

||γ0ϕ||

H^s−12(Rⁿ⁻¹)≤ 1 2π

Z

Rⁿ

(1 +~ξ²)^s−12g(ξ)~ |ϕ(ˆ ξ, η)|~ ²(1+~ξ²+η²)^sdξdη≤c||ϕ||_H^s_(Ω)

oùc=_2π¹ R

R 1

(1+t²)^sdt car : (1 +ξ~²)^s−12g(~ξ) = (1 +ξ~²)^s−12

Z

R

1

(1+~ξ²+η²)^sdη= 1 (1+~ξ²)¹²

Z

R

1

(1+_1+ξ^η22)^sdη= Z

R

1 (1 +t²)^sdt,

indépendant de ~ξ.

Pour le caractère surjectif, il s'agit de construire un relévement R0u ∈ D(Rⁿ) quand u ∈ D(Rⁿ⁻¹). On pose :

R₀u(~x, z) =F_~x⁻¹(ϕ((1+~ξ²)z)ˆu(ξ))~

oùϕ∈ D(R)est une fonction qui vérieϕ(0) = 1. On a doncγ0(R0u) =ucomme souhaité, et par transformée de Fourier on obtient :

||R0u||_H^s_(Rⁿ₎≤c||u||

H^s−12(Rⁿ⁻¹), oùc est une constante indépendante deu.

Remarque 1.9 On dispose d'un isomorphisme simple de rélèvement J :H¹²(Rⁿ⁻¹)→H_∗¹(Rⁿ₊) un sous-espace deH¹(Rⁿ₊)donné par :

H_∗¹(Rⁿ₊) ={u∈H¹(Rⁿ₊) : ∆u=u}:

on pose u=Jg la solutionu∈H_∗¹(Rⁿ₊) qui vérie (au bord)u(x1, ..., xn−1,0) = f(x1, ..., xn−1).

Dans la démonstration précédente, on prend ϕ(z) =e^−z√

|~ξ|²+1, et on vérie queuest la solution cherchée : on veut vérier que ^∂_∂z^2u2 +P_n−1

i=1 ∂²u

∂x²_i =u, i.e. par transformée de Fourier partielle en (x1, ..., xn−1), en posantv =F_~xu, que ^∂_∂z^2v2 −~ξ²v =v avecv(~ξ,0) = ˆg(ξ)~. Et la seule solution de cette équation diérentielle ordinaire estv=e^−z

√|ξ|~²+1g(ˆ ~ξ).

On note (lak+1-ème application trace) :

γk :





D(Ω) → D(Ω) ϕ → ∂^kϕ

∂z^k(.,0), (1.6)

i.e.γk(ϕ)∈ D(Ω) est donnée parγk(ϕ)(~x, z) = ^∂_∂z^kϕk(~x,0).

Corollaire 1.10 Pour s >¹₂ et pour0≤k < s−¹₂, l'applicationγk se prolonge par continuité et densité en une application (encore notée γk) :

γk:





H^s(Ω) →H^s−k−12(Rⁿ⁻¹) ϕ → ∂^kϕ

∂z^k(.,0),

avecγksurjective. En particulierγ1:u∈H¹(Ω)→ ^∂u_∂n ∈H⁻¹²(Γ)est linéaire, continue et surjective où ^∂u_∂n =gradu.~n~ avec~nla normale extérieur àΩqui vaut ici(~0,−1)(vecteur normal unitaire vers le bas).

Preuve. On applique le théorème de Sobolev 1.5 au théorème 1.8.

1.4 Espaces de Sobolev H

(Ω)

On considère un ouvertΩrégulier, i.e. susamment régulier pour que toute fonctionu∈H^m(Ω) puisse être prolongée en une fonction u∈H^m(Rⁿ).

Remarque 1.11 On reprend l'exemple de Goulaouic [2] : pour Ω quelconque on ne peut pas toujours prolonger une fonction u ∈ H^m(Ω) en une fonction u ∈ H^m(Rⁿ). Dans R², soit Ω = {(x, y)∈ R² : 0 < x < 1, 0 < y < x⁴} (faire un dessin). Soitu(x, y) = _x¹ε avecε ∈]0,¹₂[. On a u∈H²(Ω), maisun'est pas bornée et donc n'est pas dansH²(Rⁿ), cf théorème de Sobolev 1.5.

Ensuite on se ramène au cas de Rⁿ+ à l'aide d'une partition de l'unité (vour cours de distri- butions) : on prend Ωouvert borné de bord Γ de classe C^m; on peut alors recouvrir Ω par des

ouverts (Ωi)i=1,...,N tels queΩ0⊂Ωet Ω⊂S_N

i=0Ωi, et tels queΓ⊂S_N

i=1Ωi et on dispose de N diéomorphismes de classe C^m θi: Ωi→Bi pour Bi un ouvert deRⁿ tels que :



 θi(Ωi

\Γ) ={(~x, z)∈Bi:z= 0},

θi(Ωi

\Ω) ={(~x, z)∈Bi:z >0}.

On se ramène ainsi localement à l'étude de H^m(Rⁿ+), pour lequel on commence par montrer que toute fonctionu∈H^m(Rⁿ+)peut être prolongée en une fonctionP u∈H^m(Rⁿ)(prolongement par réexion après l'avoir fait pour toute fonction u∈ D(Rⁿ₊)espace dense dansH^m(Rⁿ+)).

Pour pouvoir se ramener àRⁿ₊ il faut montrer l'invariance de H^s(Rⁿ+)par diéomorphisme : Proposition 1.12 Soit s > 0. Si Φ est un changement de variables (un diéomorphisme) d'un voisinage Ω~a de~a∈Rⁿ sur un voisinage Ω_~b de~b∈Rⁿ, et sif ∈H^s(Rⁿ)au voisinage de~b, alors f ◦Φ∈H^s(Rⁿ)au voisinage de~a.

(Dire que f ∈H^s(Rⁿ)au voisinage de~b signie quef ∈ S⁰ et qu'il existeϕ∈ D(Rⁿ)tel que ϕ(~b)6= 0 et tel queϕf ∈H^s(Rⁿ).)

Preuve. On se sert du lemme suivant 1.13 (caractérisation deH^s(Rⁿ)n'utilisant pas la trans- formée de Fourier car on ne sait pas calculer la transformée de Fourier def◦Φ) et du changement de variablesΦdans (1.7) (idem avec (1.8)). On a, avec ˜~x= Φ(~x) :

Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|f(˜~x)−f(˜~y)|²

||~x˜−˜~y||^2(s+n2) d˜xd˜y= Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|f(Φ(~x))−f(Φ(~y))|²

||Φ(~x)−Φ(~y)||^2(s+n2)|JΦ(~x)| |JΦ(~y)|dxdy.

Et avecf de la formeϕf avecϕ∈ D(Ωb)tel queϕ(~b)6= 0, et avec Φ : Ω~a→Ω_~b diéomorphisme, on intègre enx, ysur Ω~a×Ω~a, et il sut de montrer qu'il existec >0t.q. pour tout~x, ~y∈Ω~a:

c||~x−~y|| ≤ ||Φ(~x)−Φ(~y)||.

Mais Φest un diéomorphisme, doncΦ⁻¹ également, et||Φ⁻¹(˜~x)−Φ⁻¹(˜~y)|| ≤ ¹_c||˜~x−˜~y||est vrai localement puisque Φ⁻¹(˜~x)−Φ⁻¹(˜~y) =d(Φ⁻¹)(˜~y).(~x−~y) +o(||~x−~y||).

Lemme 1.13 (Caractérisation deH^s(Rⁿ)pours >0.) Soits∈]0,1[. On a : H^s(Rⁿ) ={u∈L²(Rⁿ) :

Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|u(~x)−u(~y)|²

||~x−~y||^2(s+n2) dxdy <∞}, ∀|α|=m, et la norme deH^s(Rⁿ)est équivalente à :

³

||u||²_L2(Rⁿ)+ Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|u(~x)−u(~y)|²

||~x−~y||^2(s+n2) dxdy´¹

2. (1.7)

Et sis=m+σoùm∈Netσ∈]0,1[. On a : H^s(Rⁿ) ={u∈H^m(Rⁿ) :

Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|D^αu(~x)−D^αu(~y)|²

||~x−~y||^2(σ+n2) dxdy <∞, ∀|α|=m}, et la norme deH^s(Rⁿ)est équivalente à :

³

||u||²_Hm(Rⁿ)+ X

|α|=m

Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|D^αu(~x)−D^αu(~y)|²

||~x−~y||^2(σ+n2) dxdy

´¹

2, (1.8)

où||u||_H^m_(Rⁿ₎ est la norme associée au produit scalaire donné dans (1.1).

Et la norme||.||sest équivalente à la norme donnée par (1.8).

Preuve. Traitons le casm= 0, le casm6= 0 s'en déduisant. Soitu∈L²(Rⁿ). Par translation des transformées de Fourier, on a :

Z

~x∈Rⁿ

|u(~x+~y)−u(~x)|²dx= 1 (2π)ⁿ

Z

~ξ∈Rⁿ

|ˆu(ξ)|~ ²|e^i~y.~ξ−1|²dξ,

et donc : Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|u(~x)−u(~y)|

||~x−~y||^2s+n dxdy = 1 (2π)ⁿ

Z

Rⁿ

Z

Rⁿ

|u(~x+~y)−u(~x)|

||~y||^2s+n dxdy

= 1

(2π)ⁿ Z

Rⁿ

|ˆu(ξ)|~ ²³Z

Rⁿ

|e^i~y.~ξ−1|²

||~y||^2s+n dy´ dξ.

Or : Z

Rⁿ

|e^i~y.~ξ−1|²

||~y||^2s+n dy=C||~ξ||^2s, (1.9) voir exercice suivant 1.14, d'où u∈H^s(Rⁿ), cf. exercice 1.1, et on en déduit que les normes sont équivalentes.

Exercice 1.14 CalculerC dans (1.9).

Réponse. Pour calculer C on passe en sphérique : soit~y =r~noùr =||~y||et~n∈Sⁿ⁻¹ la sphère unité deRⁿ. Soitdσla mesure de Lebesgue sur la sphère unité. Ainsi l'élément de volume estdy=rⁿ⁻¹dr dσ.

On dénitλtel que~y.~ξ=rλ, i.e.λ=~n.~ξ (indépendant der). On a : Z

Rⁿ

|e^i~y.~ξ−1|²

||~y||^2s+n dy= Z

Sⁿ⁻¹

Z

R

|e^irλ−1|² r^2s+1 dr dσ.

On commence par le casλ >0. On fait le changement de variables r→uoùu=rλ, d'oùdu=λ dr, et

on a : Z

R

|e^irλ−1|²

r^2s+1 dr=λ^2s Z

R

|e^iu−1|² du

u^2s+1 = 4λ^2s Z

R

sin² u 2

du u^2s+1.

Siλ <0on poseu=−rλet comme|e^−iu−1|=|e^iu−1|le résultat est conservé en prenant|λ|au lieu deλ. Et siλ= 0 l'intégrale est nulle. D'où :

Z

Rⁿ

|e^i~y.~x−1|²

||~y||^2s+n dy= ( Z

R

sin^{2 u}₂ u^2s+1 du)

Z

Sⁿ⁻¹

4|~n.~ξ|^2sdσ=C|~ξ|^2s. En eet, posant~ξ=R~n0oùR=||~ξ||, on aR

Sⁿ⁻¹|~n.~ξ|^2sdσ=R

Sⁿ⁻¹R^2s|~n.~n0|^2sdσ=R^2sR

Sⁿ⁻¹|~n.~e1|^2sdσ= R^2sC0=|~ξ|^2sC0.

Références bibliographiques

1 Brézis H. : Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Collection mathématiques appliquées pour la maîtrise, Masson (1983).

2 Goulaouic C. : Analyse fonctionnelle et calcul diérentiel. Ed. de l'Ecole Polytechnique, 1982.

3 Goulaouic C., Meyer Y. : Analyse fonctionnelle et calcul diérentiel. Ed. de l'Ecole Polytech- nique, 1984.

4 Lions J.L., Magenes E. : Problèmes aux limites non homogènes et applications, Vol 1. Dunod (1968).

5 Schwartz L. : Méthodes mathématiques pour les sciences physiques. Collection enseignement des sciences, Hermann (1993).