3.4 Décomposition en éléments simples (DES)

3 POLYNÔMES

3 Polynômes

3.1 L’espace des polynômes

Définition 1 (Polynôme, Degré, Coefficient).

On appelle polynôme à coefficients réels (respectivement complexes) toute expression de la forme : P(X) =anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹ +· · ·+a2X²+a1X+a0 =

n

X

i=0

aiXⁱ

où :

⊲ n∈N est appelé degré de P et noté deg(P),

⊲ ∀i∈J0, nK, ai ∈R (respectivement ai ∈C),

⊲ ai est le coefficient de Xⁱ.

Définition 2 (Ensemble des polynômes).

On note R[X] (resp. C[X]) l’ensemble des polynômes à coefficients réels (resp. complexes).

Soit n∈N, on note R_n[X](resp. C_n[X]) l’ensemble des polynômesà coefficients réels (resp. complexes) de degré inférieur ou égal à n.

Exemple 3.

1. P(X) = 2X³−3X ∈R[X] et deg(P) = 3 2. Q(X) =iX²+ 1−i∈C[X] et deg(Q) = 2 3. R(X) = 1

X + 2

X² + 2∈/ R[X]

4. S(X) =√ X2

+ 2√

X−1∈/R[X]

Proposition 4 (Propriétés du degré).

Soient P et Q deux polynômes de R[X] (resp. C[X]).

1. P ×Q∈R[X] (resp. P ×Q∈C[X]), deg(P ×Q) = deg(P) + deg(Q).

2. ∀λ∈R, λP ∈R[X] (resp. ∀λ ∈C, λP ∈C[X]), deg(λP) = deg(P)⇔λ6= 0.

3. P +Q∈R[X] (resp. P +Q∈C[X]), deg(P +Q)≤max(deg(P),deg(Q)) avec égalité si deg(P)6= deg(Q).

4. P ◦Q∈R[X] (resp. P ◦Q∈C[X]), deg(P ◦Q) = deg(P)×deg(Q).

3.1 L’espace des polynômes 3 POLYNÔMES Exemple 5.

P(X) =X²+ 1, Q(X) =X³, R(X) =−X²+X

⊲ P ×Q=X⁵+X³, deg(P ×Q) = 3 + 2 = 5,

⊲ 4P = 4X²+ 4, deg(4P) = 2,

⊲ P +Q=X³+X²+ 1, deg(P +Q) =max(deg(P),deg(Q)) = 3,

⊲ P ◦Q= (X³)²+ 1 =X⁶+ 1, deg(P ◦Q) = 3×2 = 6,

⊲ P +R =X+ 1, deg(P +R) = 1≤max(deg(P),deg(R)) = 2,

Proposition 6.

Soient P et Q deux polynômes de R[X] (ouC[X]).

1. P(X) = 0⇔ tous les coefficients sont nuls

2. P(X) =Q(X)⇔ deg(P) = deg(Q) et tous les coefficients de P et Q sont égaux deux à deux Démonstration.

1. ⇐ : Si tous les coefficients ai deP sont nuls, on a P(X) =

deg(P)

X

i=0

aiXⁱ =

deg(P)

X

i=0

0×Xⁱ = 0

⇒ : On suppose maintenant que P(X) = 0.

En particulier, on a P(0) = a0 = 0. De plus, on a aussi P^′(X) = 0 et donc P^′(0) = a1 = 0. En dérivant deg(P)-foisP, on trouve que pour tout i∈ J0,deg(P)K,P⁽ⁱ⁾(0) = ai = 0 et donc tous les coefficients de P sont nuls.

2. On remarque d’abord que :

P(X) =Q(X)⇔P(X)−Q(X) = (P −Q)(X) = 0 Il suffit donc d’appliquer le point 1. au polynômeP −Q.

On noteP(X) =

deg(P)

X

i=0

aiXⁱ et Q(X) =

deg(Q)

X

i=0

biXⁱ.

⇐ : Supposons quen = deg(P) = deg(Q) et que tous les coefficients de P et Qsont égaux deux à deux, c’est à dire ∀i∈J0, nK, ai =bi.

P(X)−Q(X) =

n

X

i=0

aiXⁱ−

n

X

i=0

biXⁱ =

n

X

i=0

(ai−bi)Xⁱ =

n

X

i=0

0Xⁱ = 0 et doncP(X) =Q(X).

⇒ : On suppose maintenant que P(X) =Q(X).

On sait alors que deg(P) = deg(Q) et que (P −Q)(X) = 0. Les coefficients du polynôme P −Q étant les ai−bi, on sait grâce au point 1. que pour tout i∈J0,deg(P)K, ai−bi = 0 ⇔ai =bi.

3.2 Division euclidienne dans R[X] 3 POLYNÔMES

3.2 Division euclidienne dans R [X ]

Définition 7 (Division euclidienne, Quotient, Reste).

Soient P et D deux polynômes de R[X].

Faire la division euclidienne de P par D c’est trouver les polynômes Q et R tels que : P(X) =Q(X)×D(X) +R(X)

avec deg(R)<deg(D). Le polynôme Q est appelé quotient et le polynôme R est appelé reste.

Méthode : Pour effectuer la division euclidienne d’un polynômeP par un polynômeD, et donc trouver les polynômes Qet R, il faut poser la division.

Exemple 8.

Faire la division euclidienne de P(X) = X²+ 3X+ 2 par D(X) =X−5.

X²+ 3X+ 2

− (X²−5X) 8X+ 2

− (8X−40) 42 R(X)

X−5 X+ 8

Q(X)

Donc

P(X) = (X+ 8)(X−5) + 42

Remarques.

1. Les polynômes Q et R sont uniques.

2. Il faut au plus deg(P)−deg(D) + 1 étapes pour effectuer la division euclidienne de P par D.

3.3 Racines d’un polynôme

Définition 9 (Racine).

Soit a ∈R (resp. a ∈C) et soit P ∈R[X] (resp. P ∈C[X]).

On dit que a est une racine de P si et seulement si P(a) = 0.

Exemple 10.

1. P(X) =X³−1∈R[X] admet 1 comme racine.

2. Q(X) =X²+ 1 ∈C[X] admet i comme racine.

3.3 Racines d’un polynôme 3 POLYNÔMES Proposition 11.

Soit a ∈R (resp. a ∈C) et soit P ∈R[X] (resp. P ∈C[X]).

a est racine deP ⇔ ∃Q∈R[X] (resp. Q∈C[X]) tel que deg(Q) = deg(P)−1 etP(X) = (X−a)Q(X) C’est à dire que a est racine de P si et seulement si on peut factoriser P par (X−a).

Démonstration.

⇐ : Si P(X) = (X−a)Q(X)alors P(a) = 0×Q(a) = 0, donca est racine de P.

⇒ : Supposons maintenant que a est racine deP. On note P(X) =

deg(P)

X

i=0

ciXⁱ. On a alors

P(a) =

deg(P)

X

i=0

ciaⁱ = 0 d’où :

P(X) =P(X)−P(a) =

deg(P)

X

i=0

ciXⁱ−

deg(P)

X

i=0

ciaⁱ =

deg(P)

X

i=1

ci(Xⁱ−aⁱ)

Pour prouver qu’il existe un polynôme Q∈ R[X] (ou Q∈ C[X]) tel que deg(Q) = deg(P)−1 et P(X) = (X −a)Q(X), il suffit de montrer que pour tout i ∈ J1,deg(P)K, il existe un polynôme Qi ∈R[X](ou Qi ∈C[X]) tel que deg(Qi) =i−1et Xⁱ−aⁱ = (X−a)Qi(X).

En effet, si de tels polynômes existent, on a alors : P(X) =

deg(P)

X

i=1

ci(Xⁱ−aⁱ) =

deg(P)

X

i=1

ci(X−a)Qi(X) = (X−a)

deg(P)

X

i=1

ciQi(X)

et grâce aux propriétés du degré, on sait que

deg(P)

X

i=1

ciQi(X) ∈ R[X]



ou

deg(P)

X

i=1

ciQi(X)∈C[X]





etdeg





deg(P)

X

i=1

ciQi(X)



= max (deg(Qi)|i∈J1,deg(P)K) = deg(P)−1.

Prouvons alors par récurrence que pour touti∈N^∗, il existe un polynômeQitel quedeg(Qi) =i−1 etXⁱ−aⁱ = (X−a)Qi(X).

Initialisation : Pouri= 1, X−a= (X−a)×1. En posant Q1(X) = 1, on a bien deg(Q1) = 0 et X−a= (X−a)Q1(X). La propriété est donc vraie au rang 1.

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang n ∈ N^∗ et on prouve qu’elle est encore vraie au rang n + 1. Par hypothèse de récurrence, on sait qu’il existe un polynôme Qn tel que deg(Qn) =n−1 etXⁿ−aⁿ = (X−a)Qn(X). Pour trouver une expression reliant Xⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹ à Xⁿ−aⁿ, on effectue la division euclidienne de Xⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹ par Xⁿ−aⁿ.

3.3 Racines d’un polynôme 3 POLYNÔMES

Xⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹

− (Xⁿ⁺¹−aⁿX) aⁿX−aⁿ⁺¹

Xⁿ−aⁿ X

On trouve alors :

Xⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹ = (Xⁿ−aⁿ)X+aⁿX−aⁿ⁺¹

= (X−a)Qn(X)X+aⁿ(X−a)

= (X−a) (Qn(X)X+aⁿ)

et en posant Qn+1 = Qn(X)X +aⁿ, on vient de trouver un polynôme tel que deg(Qn+1) = n et Xⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹= (X−a)Qn+1(X) et donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : On vient de prouver que pour tout i∈J1,deg(P)K, il existe un polynôme Qi ∈R[X]

(ou Qi ∈C[X]) tel que deg(Qi) =i−1 etXⁱ−aⁱ = (X−a)Qi(X).

Finalement, en posant Q(X) =

deg(P)

X

i=1

ciQi(X), la proposition est prouvée.

Exemple 12.

1. Soit P(X) =X³−6X²+ 11X−6. Factoriser P dans R[X].

1 est une racine de P, on peut donc factoriser par (X−1).

P(X) = (X−1)(X²−5X+ 6)

2 est une racine de P, on peut donc factoriser par (X−2).

P(X) = (X−1)(X−2)(X−3)

2. Soit Q(X) = 2iX²+ (i+ 1)X+ 1 +i. Factoriser Q dans C[X].

i est une racine de Q, on peut donc factoriser par (X−i).

Q(X) = (X−i)(2iX−1 +i)

Remarque.

⊲ Factoriser P dans R[X], c’est trouver toutes les racines réelles de P et décomposer P en produit de polynômes de R[X].

⊲ FactoriserP dansC[X], c’est trouver toutes les racines complexes deP et décomposerP en produit de polynômes de C[X].

3.3 Racines d’un polynôme 3 POLYNÔMES Proposition 13.

Soit P ∈R[X] et soit a∈R.

Si le reste de la division euclidienne de P par (X−a) est nul, alors a est racine de P. Exemple 14.

Faire la division euclidienne de P(X) = X³+ 4X²−3X−2 par D(X) =X−1.

X³ + 4X²−3X−2

− (X³− X²)

5X²−3X−2

− (5X²−5X) 2X−2

− (2X−2) 0

X−1

X²+ 5X+ 2

Donc

P(X) = (X²+ 5X+ 2)(X−1) et donc 1est racine de P.

Définition 15 (Racine multiple, Multiplicité).

Soit a ∈R (resp. a ∈C) et soit P ∈R[X] (resp. P ∈C[X]).

On dit que a est une racine multiple de multiplicité m ∈ N^∗ si et seulement si il existe une polynôme Q∈R[X] (resp. Q∈C[X]) tel que P(X) = (X−a)^mQ(X) avec Q(a)6= 0.

Exemple 16.

1. P(X) =X²+ 4X+ 4 = (X+ 2)²,

−2 est une racine double de P.

2. Q(X) =X³+ 3X²−9X+ 5 = (X−1)(X²+ 4X−5) = (X−1)²(X+ 5), 1 est une racine double et −5 est une racine simple de Q.

Proposition 17.

Soit a ∈R (resp. a ∈C) et soit P ∈R[X] (resp. P ∈C[X]).

a est racine de multiplicitém ∈N^∗ de P ⇔ ∀k < m, P^(k)(a) = 0 et P^(m)(a)6= 0

Remarque.

Si a est une racine de P^′, a n’est pas forcément une racine de P ! Par exemple, si P(X) = X² + 1, P^′(X) = 2X. On a alors P^′(0) = 0 mais P(0)6= 0.

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES Proposition 18.

Soit P ∈R[X] et soit a∈C\R (i.e. a∈C mais a /∈R).

Si a est racine de P, alors ¯a est aussi racine de P. Remarque.

Il faut queP soit à coefficients réels.

Exemple 19.

1. P(X) =X²+ 1,

i et −i sont racines deP

2. Q(X) =iX²+ (3−i)X+ (−1−2i), i est racine de Q mais −i ne l’est pas.

Remarque.

Réciproquement, si les conjugués de toutes les racines de P sont également racine de P, alorsP ∈R[X].

3.4 Décomposition en éléments simples (DES)

On s’intéresse aux fonctions rationnelles, c’est à dire aux fonctions de la forme : f(x) = P(x)

Q(x) où(P, Q)∈R[X]² Une telle fonction f est définie pour toutx∈R tel que Q(x)6= 0.

Le but de cette décomposition, est de calculer des intégrales de fonctions rationnelles (dont on ne connait pas de primitive) telles que

Z x+ 1

x²+ 2x−3dx ou

Z x⁴

x³+ 3x²+x−5dx.

3.4.1 Partie entière et partie fractionnaire

Proposition 20.

Soit f(x) = P(x)

Q(x) une fonction rationnelle.

Il existe un unique couple (E, R)∈R[X]² tel que, f(x) =E(x) + R(x)

Q(x) avec deg(R)<deg(Q)

⊲ E est appelé partie entière de f.

⊲ R

Q est appelé partie fractionnaire de f.

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES Méthode : Pour trouver la partie entière et la partie fractionnaire d’une fonction rationnelle

f(x) = P(x)

Q(x), on fait la division euclidienne de P par Q.

Exemple 21.

Trouver la partie entière et la partie fractionnaire de f(x) = x⁴ −3x+ 2 x² −5x+ 1.

1. On fait la division euclidienne de P(X) =X⁴−3X+ 2 par Q(X) =X²−5X+ 1.

En posant la division, on trouve :

X⁴−3X+ 2 = (X²+ 5X+ 24)(X²−5X+ 1) + (112X−22) 2. On divise le résultat de la division euclidienne par Q.

On obtient alors :

X⁴−3X+ 2

X²−5X+ 1 =X²+ 5X+ 24 + 112X−22 X²−5X+ 1 3. On a donc :

f(x) =x²+ 5x+ 25 + 112x−22 x²−5x+ 1

La partie entièreE est facilement intégrable puisqu’il s’agit d’un polynôme. En revanche, ce n’est souvent pas le cas pour la partie fractionnaire. On cherche donc une manière de décomposer R

Q pour pouvoir intégrer facilement.

Dans toute la suite, f(x) = P(x)

Q(x) avec deg(P)<deg(Q).

L’idée de la DES est de transformer f(x) = P(x)

Q(x) avec deg(P)<deg(Q) en une somme de fractions, f(x) = P1(x)

Q1(x)+ P2(x) Q2(x) +· · · où :

⊲ deg(Pi)<deg(Qi)

⊲ deg(Qi) = 1 ou 2

⊲ Qi n’est pas factorisable dans R

Exemple 22.

La DES de f(x) = x

x²−3x+ 2 est

f(x) = −1

x−1 + 2 x−2

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES

3.4.2 Cas de première espèce Ordre 1

Si on peut factoriser Q en produit de polynômes de la forme (X − αi) tous distincts (i.e. Q(X) = β(X−α1)(X−α2)· · ·), alors il existe des constantes a1, a2, · · · telles que :

Q(x) = a1

x−α1

+ a2

x−α2

+· · · (1)

Exemple 23.

Soit f(x) = x²−3x+ 5

(x−1)(x−2)(x+ 3). La forme de la DES est : f(x) = a1

x−1 + a2

x−2 + a3

x+ 3 Il faut donc trouver les constantes a1, a2 et a3.

Méthode 1 : Par identification (à éviter)

Après avoir décomposé f en somme d’éléments de la forme a1

x−αi

, 1. On réduit f au même dénominateur.

2. On développe le numérateur.

3. On identifie les coefficients.

4. On résout le système pour trouver les ai. Exemple 23 (suite - Méthode 1).

On sait que

f(x) = a1

x−1 + a2

x−2 + a3

x+ 3 d’où en réduisant au même dénominateur, on obtient :

f(x) = a1(x−2)(x+ 3) +a2(x−1)(x+ 3) +a3(x−1)(x−2) (x−1)(x−2)(x+ 3)

En développant le numérateur, on a :

f(x) = (a1+a2+a3)x²+ (a1 + 2a2−3a3)x−6a1−3a2+ 2a3

(x−1)(x−2)(x+ 3) = x²−3x+ 5 (x−1)(x−2)(x+ 3) Par identification, on obtient le système :







a1+a2+a3 = 1 a₁+ 2a₂−3a₃ = −3

−6a1−3a2+ 2a3 = 5

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES Finalement, en résolvant le système, on trouve :























a₁ = −3 4 a₂ = 3

5 a₃ = 23

20 Méthode 2 :

Pour calculer ai,

1. On multiplie l’équation (1) par (x−αi).

2. On remplacex par αi.

Exemple 23 (suite - Méthode 2).

On sait que

f(x) = a1

x−1 + a2

x−2 + a3

x+ 3 = x²−3x+ 5

(x−1)(x−2)(x+ 3) (2)

Pour trouver a1, on multiplie l’expression (2) par(x−1), on obtient : a₁+a₂(x−1)

x−2 +a₃(x−1)

x+ 3 = x²−3x+ 5 (x−2)(x+ 3) Puis on remplace x par 1, on a alors :

a1 = −3 4

De la même manière, pour trouver a2 on multiplie l’expression (2) par(x−2), a1(x−2)

x−1 +a2+a3(x−2)

x+ 3 = x²−3x+ 5 (x−1)(x+ 3) puis on remplace x par 2,

a2 = 3 5 Et pour trouver a3, on multiplie (2) par (x+ 3),

a1(x+ 3)

x−1 +a2(x+ 3)

x−2 +a₃ = x²−3x+ 5 (x−1)(x−2) et on remplace x par −3,

a3 = 23 20 Finalement,

f(x) = −3

4 × 1 x−1+ 3

5× 1

x−2+ 23 20× 1

x+ 3

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES Ordre supérieur à 1

Si on peut factoriser Q en produit de polynômes de la forme (X−αi) et que Q possède au moins une racine multiple (i.e. Q(X) =β(X−α1)^m1· · ·(X−αn)^mn(X−αn+1)· · · avec mi >1), alors il existe des constantes a_1,1,· · · , a_1,m1,· · ·, a_n,1,· · · , an,mn, a_n+1,· · · telles que :

Q(x) = a1,1

x−α1

+ a1,2

(x−α1)² +· · ·+ a1,m₁

(x−α1)^m1 + an,1

x−αn

+· · · an,mⁿ

(x−αn)^mn + an+1

x−αn+1

+· · · (3) Exemple 24.

Soit f(x) = 2x

(x−2)²(x+ 1). La forme de la DES est : f(x) = a1,1

x−2+ a1,2

(x−2)² + a2

x+ 1 Il faut donc trouver les constantes a1,1, a1,2 et a2.

Méthode :

1. On calcule an+1, an+2, · · · en utilisant la méthode 2 du paragraphe précédent.

2. On calcule les constantes correspondant aux plus grandes puissance ai,mi. Pour cela, on multiplie l’équation (3) par (x−αi)^mi puis on remplace x par αi.

3. On calcule les constantes a1,1, a2,1, · · ·, an,1 (correspondant à la plus petite puissance). Pour cela, on multiplie l’équation (3) par x puis on fait tendre xvers +∞.

4. Finalement et si besoin, on remplace x par autant de valeurs que nécessaire pour déterminer les dernières constantes.

Exemple 24 (suite).

On sait que

f(x) = a1,1

x−2+ a1,2

(x−2)² + a2

x+ 1 = 2x

(x−2)²(x+ 1) (4)

Pour trouver a2, on multiplie l’expression (4) par(x+ 1), on obtient : a1,1(x+ 1)

x−2 + a1,2(x+ 1)

(x−2)² +a2 = 2x (x−2)² puis on remplace x par −1,

a₂ =−2 9

Pour trouver a_1,2 (coefficient de la plus grande puissance), on multiplie l’expression (4) par (x−2)², on obtient :

a1,1(x−2) +a1,2 +a2(x−2)²

x+ 1 = 2x (x+ 1) puis on remplace x par 2,

a_1,2 = 4 3

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES Pour trouver a1,1 (coefficient de la plus petite puissance), on on multiplie l’expression (4) par x, on obtient :

a1,1x

x−2+ a1,2x

(x−2)² + a2x

x+ 1 = 2x² (x−2)²(x+ 1) puis on fait tendre x vers +∞.

a1,1x

x−2 + a1,2x

(x−2)² + a2x

x+ 1 = 2x² (x−2)²(x+ 1)



 y^x

→+∞



 y^x

→+∞



 y^x

→+∞



 y^x

→+∞

a1,1 + 0 + a2 = 0 donc

a1,1 =−a2 = 2 9 Finalement,

f(x) = 2

9 × 1 x−2+ 4

3× 1

(x−2)² − 2 9× 1

x+ 1 3.4.3 Cas de seconde espèce

Si on peut factoriser Q sous la forme :

Q(X) = β(X²+γ1X+γ2)(X−α1)

oùX²+γ1X+γ2 est un polynôme irréductible dans R[X], alors il existe des constantesa1,a2 etb1 telles que :

Q(x) = b1x+a1

X²+γ1X+γ2

+ a2

X−α1

(5) Exemple 25.

Soit f(x) = 3x+ 2

(x²+ 2x+ 2)(x+ 3). La forme de la DES est : f(x) = b1x+a1

x²+ 2x+ 2 + a2

x+ 3 Il faut donc trouver a1, a2 et b1.

Méthode :

1. Pour trouver a2, on utilise la méthode 2 présentée précédemment.

2. Pour trouver b1, on multiplie l’équation (5) parx puis on fait tendre x vers +∞. 3. Pour trouver a₁, on remplace xpar 0dans l’équation (5).

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES Exemple 25 (suite).

On sait que

f(x) = b₁x+a₁

x²+ 2x+ 2 + a₂

x+ 3 = 3x+ 2

(x²+ 2x+ 2)(x+ 3) (6)

Pour trouver a2, on multiplie l’expression (6) par(x+ 3), on obtient : (b1x+a1)(x+ 3)

x²+ 2x+ 2 +a2 = 3x+ 2 (x²+ 2x+ 2) puis on remplace x par −3,

a2 = −7 5

Pour trouver b1, on multiplie l’expression (6) parx, on obtient : (b₁x+a₁)x

x²+ 2x+ 2 + a₂x

x+ 3 = (3x+ 2)x (x²+ 2x+ 2)(x+ 3) puis on fait tendre x vers +∞,

(b1x+a1)x

x²+ 2x+ 2 + a2x

x+ 3 = (3x+ 2)x (x²+ 2x+ 2)(x+ 3)



 y^x

→+∞



 y^x

→+∞



 y^x

→+∞

b1 + a2 = 0

donc

b1 =−a2 = 7 5 Pour trouver a1, on remplace x par 0dans l’expression (6),

a1

2 + a2

3 = a1

2 − 7 15 = 2

6 donc

a1 = 2× 2

6 + 7 15

= 2× 10

30+ 14 30

= 24 15 Finalement,

f(x) = 3

15× 7x+ 8

x²+ 2x+ 2 −7 5 × 1

x+ 3 Remarque.

On peut aussi travailler dans C et se ramener à un cas de première espèce.

Exemple 26.

Soit f(x) = x

(x²+ 1)(x−1). Dans C, on a :

x² + 1 = (x−i)(x+i)

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES d’où :

f(x) = x

(x−i)(x+i)(x−1)

Il s’agit d’un cas de première espèce d’ordre 1, la forme de la DES de f dans C est donc : f(x) = a1

x−i + a2

x+i+ a3

x−1 = x

(x−i)(x+i)(x−1) (7)

où a1, a2 et a3 peuvent être dans C.

On utilise la méthode 2 pour déterminer a1, a2 et a3. En multipliant (7) par (x−i) et en remplaçant x par i, on trouve :

a1 = i

2i(i−1) = 1 2(i−1) En multipliant (7) par (x+i) et en remplaçant x par −i, on trouve :

a2 = −i

2i(i+ 1) = −1 2(i+ 1) En multipliant (7) par (x−1) et en remplaçant x par 1, on trouve :

a3 = 1

(1−i)(1 +i) = 1 2 On a alors :

f(x) = 1

2(i−1)(x−i) − 1

2(i+ 1)(x+i) + 1 2(x−1)

Finalement, pour trouver la DES de f dans R, on regroupe les termes complexes. On a : 1

2(i−1)(x−i)− 1

2(i+ 1)(x+i) = (i+ 1)(x+i)−(i−1)(x−i) 2(i−1)(i+ 1)(x+i)(x−i)

= ix−1 +x+i−ix−1 +x−i

−4(x²+ 1)

= 2x−2

−4(x²+ 1)

= 1−x 2(x²+ 1)

donc

f(x) = 1−x

2(x²+ 1) + 1 2(x−1) 3.4.4 Application au calcul d’intégrales

Calculer l’intégrale

I = Z 0

−1

x⁴+ 3x³−2 x²+ 2x−3dx

3.4 Décomposition en éléments simples (DES) 3 POLYNÔMES

Pour trouver une primitive de f(x) = x⁴+ 3x³−2

x²+ 2x−3, on cherche la décomposition en élément simple de f.

Pour cela, on commence par déterminer la partie entière et la partie fractionnaire de f. En effectuant la division euclidienne de (X⁴+ 3X³−2) par (X²+ 2X−3), on trouve :

X⁴+ 3X³−2 = (X² + 2X−3)(X²+X+ 1) +X+ 1 d’où :

f(x) =x²+x+ 1 + x+ 1 x² + 2x−3 On cherche maintenant la DES de la partie fractionnaire x+ 1

x²+ 2x−3.

Comme x²+ 2x−3 = (x−1)(x+ 3), il s’agit d’un cas de première espèce d’ordre 1, la DES est donc de la forme :

x+ 1

x²+ 2x−3 = x+ 1

(x−1)(x+ 3) = a1

x−1+ a2

x+ 3 (8)

Pour trouver a1, on multiplie l’expression (8) par(x−1), puis on remplace x par 1. On trouve : a1 = 2

4 = 1 2

Pour trouver a2, on multiplie l’expression (8) par(x+ 3), puis on remplace xpar −3. On trouve : a₂ = −2

−4 = 1 2 Finalement, on a :

f(x) = x²+x+ 1 + 1

2(x−1)+ 1 2(x+ 3) On peut maintenant intégrer f.

I = Z 0

−1

f(x)dx= Z 0

−1

x² +x+ 1 + 1

2(x−1)+ 1 2(x+ 3)

dx

= Z 0

−1

x²dx+ Z 0

−1

xdx+ Z 0

−1

1dx+1 2

Z 0

−1

1

x−1dx+1 2

Z 0

−1

1 x+ 3dx

=

"

x³ 3

#0

−1

+

"

x² 2

#0

−1

+

"

x

#0

−1

+1 2

"

ln(|x−1|)

#0

−1

+ 1 2

"

ln(|x+ 3|)

#0

−1

= 0− −1

3 + 0− 1

2+ 0−(−1) + 1

2(ln(1)−ln(2)) +1

2(ln(3)−ln(2))

= 5 6 + ln

√3 2

!